王 成，王解先

（同濟大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院，上海200092）

在高精度GPS（global positioning system）數(shù)據(jù)處理中，周跳探測一直是GPS載波相位觀測數(shù)據(jù)預(yù)處理中比較重要的問題.周跳的探測與修復(fù)對于后續(xù)模糊度的確定以及最終定位結(jié)果的精度至關(guān)重要.針對相關(guān)內(nèi)容，國內(nèi)外學(xué)者做了一系列研究，目前常用的周跳探測方法有：多項式擬合法、高次差法、雙頻碼相組合法、電離層殘差法以及各種星間或站間差分方法等［1－2］.其中比較有效的周跳探測方法如電離層殘差法、MW（Melbourne－Wübbena）組合探測法等都是基于雙頻觀測數(shù)據(jù)的，而單頻接收機數(shù)據(jù)無法構(gòu)成MW 組合以及電離層殘差組合，因此周跳的探測與修復(fù)是單頻精密單點定位技術(shù)的難點之一.非差相位觀測值的周跳探測方法相比雙差模式的少，而單頻非差相位觀測值的周跳探測則更加困難，一些經(jīng)典的周跳探測方法對于單頻非差相位觀測值的周跳探測不再適用.針對這一問題，國內(nèi)一些學(xué)者提出了相應(yīng)的處理方法.2001年，賈沛璋采用3階多項式模型的卡爾曼濾波檢測周跳，該方法適用于采樣率為1Hz的觀測數(shù)據(jù)［3］.2009年，曹佚之提出基于信息向量的自適應(yīng)兩步階段卡爾曼濾波，克服了濾波容易發(fā)散的特點，對于高采樣率的單頻GPS周跳探測與修復(fù)具有良好的效果，但隨著采樣間隔加大，該方法周跳探測能力隨之下降［4］.2010年，陶庭葉采用一類支持向量機可有效探測靜態(tài)或低動態(tài)情況下的周跳，但核函數(shù)及其參數(shù)的選擇對于周跳探測準確率有較大影響，如何合理選擇模型參數(shù)需要進一步研究［5］.2011年，騰云龍將時間序列分析用于周跳探測與修復(fù)，該方法由于采用的差分次數(shù)較多，對于1～3周的小周跳，差分序列跳變幅度不明顯從而難以準確判定是否發(fā)生周跳［6］.傳統(tǒng)的多項式擬合和高次差分法對采樣率要求較高，且難以探測小周跳［2］.在低采樣率下，利用多普勒觀測值計算的相位變化無法反應(yīng)歷元間觀測值的實際變化，從而影響周跳探測的可靠性［7］.本文對偽距與載波相位觀測值做二次差分進而構(gòu)造周跳檢驗量，并基于灰色理論對周跳檢驗量進行預(yù)測，然后判定下一歷元的周跳檢驗量是否在預(yù)測的數(shù)值區(qū)間內(nèi)，如果在預(yù)測范圍內(nèi)，則認為觀測數(shù)據(jù)正常，否則認為發(fā)生周跳.試驗結(jié)果表明，該方法簡單易行，不僅能有效適用于不同采樣率數(shù)據(jù)的周跳探測，還可對載波相位值進行修復(fù)，為單頻非差精密單點定位提供了良好的數(shù)據(jù)質(zhì)量控制.

1 周跳探測的數(shù)學(xué)模型

1.1 周跳檢驗量的構(gòu)造

偽距觀測方程與載波相位觀測方程分別為

式中：ρ為偽距觀測值；R0為站星幾何距離；c為光速；VR為接收機鐘差；VS為衛(wèi)星鐘差；I為電離層延遲量；T為對流層延遲量；eρ為包含多路徑效應(yīng)影響與偽距觀測噪聲等綜合誤差；λ為載波波長；N為整周模糊度；eφ為包含多路徑效應(yīng)影響與載波相位噪聲等綜合誤差.

將式（1）與式（2）作差，消去了站星幾何距離、接收機鐘差、衛(wèi)星鐘差和對流層延遲量得

將式（3）在歷元間作差，可消去整周模糊度這一項，得

式中：ΔI為電離層延遲量的變化量；Δe為差分綜合誤差.

假設(shè)第t＋1歷元發(fā)生周跳，設(shè)周跳參數(shù)為v，則

將式（5）兩邊同時除以波長λ，得

根據(jù)式（6）構(gòu)造周跳檢驗量為

由式（6）和式（7）可知，如果電離層延遲量的變化量和差分綜合誤差在時間序列上表現(xiàn)為平滑的特性，即可使用式（7）的周跳檢驗量來探測周跳.

1.2 周跳檢驗量的時間序列

一般來說，如果沒有發(fā)生周跳，由式（7）構(gòu)造的周跳檢驗量在時間序列上表現(xiàn)為相對平滑的曲線，如圖1；若發(fā)生周跳時，這種平滑的特性將被破壞進而使周跳檢驗量在時序上發(fā)生突變，如圖2.

由圖1和圖2可知，如果沒有發(fā)生周跳，周跳檢驗量在短時段內(nèi)變化不大，在時序上比較平緩，一旦發(fā)生周跳，則會破壞原有的平滑特征.

1.3 灰色預(yù)測

灰色系統(tǒng)理論把一切隨機過程看作是在一定范圍內(nèi)變化的、與時間有關(guān)的灰色過程，用數(shù)據(jù)生成的方法，將雜亂無章的原始數(shù)據(jù)整理成規(guī)律性較強的生成數(shù)列后再作研究.累加生成與累減生成是灰色系統(tǒng)理論與方法中的兩種數(shù)據(jù)生成方法，常用于建模［8］.設(shè)原始數(shù)列為

對x（0）作一次累加生成

即可得到一個生成序列

對此生成序列建立1階微分方程

式中，?a和?u是灰參數(shù)，其白化值為a＾＝［au］T.用最小二乘法求解，得

式中：

求得a＾后帶入式（11），解微分方程得

對x＾（1）（k＋1）作累減生成，可還原數(shù)據(jù)

當(dāng)k＜n時，稱x＾（0）（k）為模型模擬值；當(dāng)k＝n時，稱x＾（0）（k）為模型濾波值；當(dāng)k＞n時，稱x＾（0）（k）為模型預(yù)測值.

對于模型精度即模型擬合程度評定的方法有殘差大小檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗3種.其中殘差大小檢驗是對模型值和實際值的誤差進行逐點檢驗；關(guān)聯(lián)度檢驗是考察模型值與建模序列曲線的相似程度；后驗差檢驗是對殘差分布的統(tǒng)計特性進行檢驗［9－10］.本文采用殘差大小檢驗方法來檢驗周跳檢驗量預(yù)測值與實測值的符合接近程度.灰預(yù)測包含數(shù)列灰預(yù)測、災(zāi)變灰預(yù)測、季節(jié)災(zāi)變灰預(yù)測、拓撲灰預(yù)測和系統(tǒng)灰預(yù)測［8］.本文根據(jù)周跳檢驗量的時序特征選擇數(shù)列灰預(yù)測方法.

2 周跳探測與修復(fù)

利用灰色理論建模的主要目的是預(yù)測，但隨著預(yù)報步數(shù)的增加，預(yù)報準確性越差，所以預(yù)報的步數(shù)應(yīng)盡可能小.為了提高預(yù)測的精度和可靠性，本文選擇由若干歷元（一般取10～30）周跳檢驗量構(gòu)成灰色理論的原始數(shù)列窗口，對窗口內(nèi)的數(shù)據(jù)進行灰色建模并計算灰色預(yù)測值與預(yù)測區(qū)間，之后對實測值進行檢驗，具體步驟如下：

（1）對當(dāng)前歷元窗口內(nèi)的周跳檢驗量進行灰色建模計算預(yù)測值，并與窗口內(nèi)周跳檢驗量的3倍中誤差構(gòu)成預(yù)測區(qū)間；

（2）判定歷元窗口之后的下一個歷元周跳檢驗量是否在預(yù)測區(qū)間內(nèi)，如果在范圍內(nèi)則表明沒有發(fā)生周跳，否則認為發(fā)生周跳；

（3）如果發(fā)生周跳，需要對該歷元進行周跳修復(fù)，即用預(yù)測值減去該歷元周跳檢驗值四舍五入取整，然后對該歷元及后續(xù)所有相位觀測值減去這個數(shù)值；

（4）加入一個最新歷元的周跳檢驗量，去掉一個最舊歷元的周跳檢驗量，構(gòu)造新的歷元窗口，重復(fù)上述步驟，依次進行周跳探測與修復(fù).

周跳探測與修復(fù)的流程圖見圖3.

圖3 周跳探測流程圖Fig.3 Flow diagram of cycle slip detection

3 實驗分析

采 用2009 年5 月10 日 某 測 站GPS 觀 測 數(shù) 據(jù)26號衛(wèi)星一個弧段的干凈數(shù)據(jù)，歷元窗口選擇為10，使用上述周跳探測方法分別對以下3種方案進行算例分析，各方案周跳檢驗量及殘差如圖4—9，周跳探測及修復(fù)信息如表1.

（1）采樣間隔為5s，對載波在第800，1 800，2 700歷元分別加入1周、8周和6周；

（2）采樣間隔為15s，對載波在第300，550，700歷元分別加入10周、1周和8周；

（3）采用間隔為30s，對載波在第100，230，400歷元分別加入25周、10周和3周.

由圖4—9及表1可知，在高采樣率下，灰色模型的建模精度較高，預(yù)測值與實際周跳檢驗量的符合程度較好，當(dāng)發(fā)生周跳時，實測周跳檢驗量會超出預(yù)測范圍進而探測出周跳，同時將預(yù)測值與實測值

作差即可得到周跳改正量，從而實現(xiàn)周跳的快速修復(fù).當(dāng)采樣間隔增大到30s時，建模精度有所下降，預(yù)測值與實際周跳檢驗量的符合程度降低，歷元窗口內(nèi)的周跳檢驗量的方差增大，從而使預(yù)測區(qū)間增大，導(dǎo)致不能探測小于3周左右的周跳，并且周跳修復(fù)存在1周左右的偏差.

表1 各方案周跳探測與修復(fù)信息Tab.1 Slip detection and correction information of different projects 周

此外，當(dāng)衛(wèi)星高度角鄰近最大時，衛(wèi)星相對于測站的運動趨勢有所變化，周跳檢驗量由正到負，此時建模精度較差.根據(jù)灰理論中的級比判斷準則也可驗證方案一中的周跳檢驗量序列不具備GM（1，1）建模的可行性［8］.為此，可將方案一周跳檢驗量序列的每一個值分別減去序列最小值從而得到一組非負的序列，然后用灰理論建模得到模型值，最后加上原序列最小值即可.另外，可采用內(nèi)生控制灰數(shù)u近似作為預(yù)測值，如果事后處理，可在高度角鄰近最大前后分別建模.采用26號衛(wèi)星的一段數(shù)據(jù)，采樣間隔為30s，歷元窗口為10，最大高度角位于314歷元，分別對以下4種方案進行算例分析：①歷元窗口為285至294，位于鄰近最大高度角；②歷元窗口為251至260，位于最大高度角前；③歷元窗口為315至324，位于最大高度角后；④數(shù)據(jù)同方案一，采用改進灰色模型.其中衛(wèi)星高度角如圖10，周跳檢驗量樣本如圖11，殘差如圖12，相關(guān)計算結(jié)果如表2.

圖10 衛(wèi)星高度角Fig.10 Altitude angle of satellite

由圖11，12及表2可知當(dāng)周跳檢驗量序列的數(shù)值都為正數(shù)或負數(shù)時，GM（1，1）模型的建模精度較好，而同時包含正數(shù)和負數(shù)的方案一建模精度較差.表2中方案一的第2行為預(yù)測值采用內(nèi)生控制灰數(shù)的相關(guān)信息，可知當(dāng)數(shù)據(jù)序列不具備建立GM（1，1）模型時也可近似采用內(nèi)生控制灰數(shù)作為預(yù)測值，但卻違背了灰理論建模的條件，而改進的灰色模型不僅能夠符合灰建模的條件，其建模精度和通常的序列建模精度基本一致，能夠有效用于周跳探測.

表2 4種方案周跳探測信息Tab.2 Slip detection information of 4projects 周

4 結(jié)語

本文使用單頻單測站的偽距與載波相位觀測值構(gòu)造周跳檢驗量，采用灰色理論對歷元窗口內(nèi)周跳檢驗量進行建模計算預(yù)測值以及預(yù)測區(qū)間，通過檢驗實測周跳檢驗量是否落在預(yù)測范圍內(nèi)來判斷是否發(fā)生周跳.通過算例分析表明，該方法計算簡單，易于實現(xiàn)，對于5s，15s采樣間隔的非差載波相位觀測值能夠有效地探測1周及以上的周跳，并且能夠較好地修復(fù)周跳，對于30s采樣間隔的數(shù)據(jù)能夠探測3周及以上的周跳，但周跳修復(fù)存在1周左右的偏差.當(dāng)衛(wèi)星高度角不斷增大，電離層延遲量的變化量和差分綜合誤差歷元間差分出現(xiàn)負值，此時建模精度較差，當(dāng)周跳檢驗量序列中同時含有正負數(shù)時，不具備灰色建模的可行性，而采用改進灰色模型先將序列編輯為非負數(shù)從而能夠符合灰建模的條件，然后建模得到模型值及預(yù)測值，并能夠用于周跳探測.由于本文實驗所采用的單頻數(shù)據(jù)是從雙頻接收機所接收數(shù)據(jù)中提取的單個頻率的觀測值，而一般情況下單頻接收機所獲取的數(shù)據(jù)質(zhì)量通常比雙頻接收機的差，因此，在實際應(yīng)用中，使用單頻非差載波相位觀測值進行周跳探測時，其精度水平可能低于上述精度指標(biāo).

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