李亞平 劉思峰 方志耕 徐 雷 陶良彥

南京航空航天大學，南京，210016

0 引言

穩(wěn)健設計作為一種提高產品質量和降低產品成本的有效的工程方法，已經(jīng)在電子、機械等諸多領域得到推廣和應用［1］。穩(wěn)健設計是使所設計的產品無論在制造還是在使用中當結構參數(shù)發(fā)生變差，或在規(guī)定壽命內結構發(fā)生老化和變質（在一定范圍內）時都能保持產品性能穩(wěn)定的一種工程設計方法［2］。穩(wěn)健設計的目的：①使產品質量特性的均值盡可能達到目標值；②使各種干擾因素引起的功能特性波動的方差盡可能小，這兩個目的決定了產品的質量穩(wěn)健性［1］。相對而言，參數(shù)設計階段更注重產品質量，而容差設計階段更注重產品的制造成本，容差越小，制造成本越高。因此，現(xiàn)代穩(wěn)健設計應該在質量和成本的混合視角下進行，即混合穩(wěn)健設計［2］。

關于混合穩(wěn)健設計的研究有：陳立周［2－3］提出基于成本－質量模型的混合穩(wěn)健設計，并給出交互進行優(yōu)化設計的模型求解方法。耿金花等［4］將與波動相關的質量損失和與容差相關的制造成本綜合平衡，基于多響應優(yōu)化建立了一種多因素、多指標優(yōu)化的混合穩(wěn)健設計模型。而關于質量特性和參數(shù)隱式函數(shù)關系下的穩(wěn)健設計方法的研究多以響應面法為主，響應面法自Box和 Wilson提出以來，相關的研究非常多［2，4－15］，有一階響應面模型、二階響應面模型、雙響應面法、多響應面法、混合響應面法、隨機響應面法等。不難看出，目前穩(wěn)健設計模型的研究仍存在以下幾方面不足：①文獻［2－3］提出的混合穩(wěn)健設計模型局限于質量特性與參數(shù)顯式函數(shù)關系的情況，并不能解決隱式函數(shù)關系問題；②目前解決質量特性與參數(shù)隱式函數(shù)關系問題的響應面模型存在很大局限性，比如響應值對未考慮到的因素的影響不靈敏以及對擬合的良好性和可檢測性要求較高等；③響應面模型并沒有考慮容差的制造成本，這不符合穩(wěn)健設計需要在質量－成本混合視角下研究的實際情況。

針對以上不足，本文提出基于質量特性與參數(shù)隱式函數(shù)關系的混合穩(wěn)健設計模型，考慮到探索質量特性和參數(shù)顯式函數(shù)關系的局限性，本模型并不研究質量特性和參數(shù)函數(shù)關系，而是直接進行穩(wěn)健設計，利用正交試驗工具和數(shù)據(jù)包絡分析（data envelopment analysis，DEA）相對效率評價方法構建一類新的DEA混合穩(wěn)健設計模型。

1 基于正交試驗的參數(shù)－容差并行設計

定義1 稱y＝（y1，y2，…，ys）為關于產品的質量特性向量，x ＝（x1，x2，…，xm）為關于產品的設計參數(shù)向量，Δx ＝ （Δx1，Δx2，…，Δxm）為關于設計參數(shù)的容差向量。

由于產品質量問題而導致的損失稱為質量損失，質量損失函數(shù)是度量質量損失的一種典型方法［2］。 質 量 損 失 函 數(shù) 的 通 用 模 型 為：L（y）＝K（y－y0）2，K 是不依賴于y的常數(shù)，稱為質量損失系數(shù)，y為質量特性值，y0是其目標值。y離y0愈近，則L（y）值愈小，表明該項設計的質量損失愈小，功能質量愈好。

定義 2 稱 L（y）的期望值 E（L（y））＝K（E（y－y0）2）＝K［σ2y＋（μy－y0）2］為產品關于質量特性的質量損失。

定 義 3 稱 E（L（y））＝ （E（L（y1）），E（L（y2）），…，E（L（ys）））為產品關于質量特性的質量損失向量。

定 義 4 稱 u（L（y））＝ （1／E（L（y1）），1／E（L（y2）），…，1／E（L（ys）））為產品關于質量特性的用戶滿意度向量。

由于用戶滿意度為質量損失的倒數(shù)，顯然質量特性的質量損失越小，用戶滿意度越高。

定義5 稱c（Δx）＝（c（Δx1），c（Δx2），…，c（Δxm））為產品關于設計參數(shù)容差的制造成本向量。

按照正交試驗的一般步驟，對參數(shù)－容差進行并行試驗設計，步驟如下：①選定設計參數(shù)，制作參數(shù)－容差水平表。選擇需要設計的參數(shù)，設計參數(shù)－容差并行設計的水平表。設各變量的水平數(shù)相等，均為p個水平，則參數(shù)－容差并行水平表安排見表1。②確定正交試驗指標。由于產品關于質量特性的用戶滿意度體現(xiàn)質量穩(wěn)健性，產品關于設計參數(shù)容差的制造成本體現(xiàn)產品成本，因此將s個用戶滿意度和m個容差的制造成本作為試驗指標。根據(jù)設計參數(shù)和容差的數(shù)目及其水平表，選擇合適的正交表安排試驗。

表1 參數(shù)－容差并行水平表

根據(jù)每組試驗得到的質量特性值y及其目標值y0，結合質量損失的定義，得到各組試驗方案關于s個質量特性的質量損失向量E（L（y））。

關于制造成本與容差之間的關系已有廣泛的研究，常用的模型有指數(shù)模型、冪指數(shù)模型、多項式模型以及各種復合模型。根據(jù)國內中型機械企業(yè)的制造水平，中等批量加工時，各類加工特征尺寸的最適用模型［2］已經(jīng)給出，可根據(jù)產品的實際情況選擇適當?shù)哪Ｐ?，給出每組試驗方案m個容差的制造成本向量c（Δx）。

2 DEA混合穩(wěn)健設計模型

數(shù)據(jù)包絡分析方法［16］是一種用來評價一組具有多輸入和多輸出的決策單元（decision making units，DMUs）之間的相對效率的數(shù)學規(guī)劃方法。該方法能夠體現(xiàn)最優(yōu)性價比的思想，將質量和成本融合在一起考慮，最終得到質量－成本相對效率最高的方案。由于交叉效率是利用DEA對決策單元進行充分排序的優(yōu)化方法，而博弈交叉效率是解決交叉效率解不唯一問題的有效手段［17］，因此，本文采用DEA博弈交叉效率來獲得唯一的參數(shù)－容差最佳組合。

定義6 設正交試驗方案有n組，則稱這n組試驗方案為n個決策單元，用戶滿意度和容差的制造成本分別為每個決策單元DMUj的輸出指標和輸入指標，DMUj的第i種輸入和第r種輸出分別記作xij（i＝1，2，…，m）和yrj（r＝1，2，…，s）。

基于DEA博弈交叉效率的混合穩(wěn)健設計模型構建步驟如下。

（1）根據(jù)試驗結果，建立原始DEA模型。對于任意給定的試驗方案DMUd（d ∈ （1，2，…，n）），建立原始DEA模型：

式中，Edd為試驗方案DMUd的DEA效率值；wi為第i種輸入指標的權重；μr為第r種輸入指標的權重。

（2）計算每組試驗方案的交叉效率值，實現(xiàn)對n組方案的充分排序。首先計算各試驗方案的效率值，得到每組被評價試驗方案DMUd的一組最 優(yōu) 權 重 （ω1＊d，ω2＊d，…，ωm＊d，μ1＊d，μ2＊d，…，μs＊d）。再利用這n組最優(yōu)權重，求解每組試驗DMUj相對于第d組試驗DMUd的交叉效率，即

（3）利用DEA博弈交叉效率構建DEA混合穩(wěn)健設計模型。對于每組試驗方案DMUj，在保證第d組試驗方案的效率αd不降低的基礎上，建立DEA混合穩(wěn)健設計模型：

對于每個DMUj，模型將對每個DMUd（d＝1，2，…，n）進行計算，則試驗方案DMUj的平均博弈交叉效率為

（4）循環(huán)求解式（3），得到每組試驗方案的唯一效率值，效率值最大的方案即為最佳參數(shù)－容差混合組合。以傳統(tǒng)的平均交叉效率值作為αd的初始取值，對于試驗方案DMUj，針對每個DMUd，利用初始αd求解式（3），并且將求解到的新的平均目標函數(shù)值作為αd，對所有的試驗方案重復上述過程，當所有試驗方案兩次得到的αd差值收斂于ε時，算法終止，最終得出所有試驗方案的DEA博弈交叉效率值。每組試驗方案的解的唯一性證明參見文獻［17］。根據(jù)模型的求解結果，將所有試驗方案的DEA效率值按大小順序進行排序，效率值最大的試驗方案即為參數(shù)－容差混合穩(wěn)健設計的最佳組合方案。

3 案例研究

圖1所示為一個帶有電阻R和自感線圈L的電路。電流表A中的電流目標值為y0＝10A；電路兩端的電壓U＝120V，頻率f＝60Hz；電阻R和電感L的取值范圍分別為8Ω≤R≤12Ω和0.01H≤L≤0.02H。電阻和電感的容差和價格對應關系見表2。設計該電路，使其達到高質量低成本的目標。

圖1 電路示意圖

表2 元件容差／價格表

（1）確定可控因素及其水平。根據(jù)題意，確定可控因素為電阻R和電感L，對電阻和電感各選定三個水平，即R1＝8Ω，R2＝10Ω，R3＝12Ω，L1＝0.01H，L2＝0.014H，L3＝0.020H。

（2）確定設計變量的容差。不妨對電阻R和電感L這兩個設計參數(shù)的容差ΔR、ΔL各選定三個水平，即 ΔR1＝0.02Ω，ΔR2＝0.01Ω，ΔR3＝0.005Ω，ΔL1＝ 0.02H，ΔL2＝ 0.01H，ΔL3＝0.005H。

（3）確定正交試驗指標。不難看出，題中質量特性僅為電路輸出電流，設計參數(shù)分別為電阻R和電感L。因此，正交試驗的指標為電阻R和電感L 的容差成本c（ΔR）、c（ΔL）（可直接用容差／價格表計算）以及電流穩(wěn)健性的用戶滿意度s（y）。顯然，電流的質量損失越小，用戶滿意度越高。

（4）正交試驗設計。按照確定的設計參數(shù)和容差水平以及正交試驗指標，給出質量－成本混合正交試驗表，見表3。

表3 混合正交試驗表

（5）DEA混合穩(wěn)健設計模型求解。從表3中可 以 看 出：c（ΔR）min＝ 0.3，c（ΔL）min＝0.7，s（y）min＝0.08。為便于DEA混合穩(wěn)健設計模型計算，將c（ΔR）、c（ΔL）和s（y）分別作初值化處理，即作c（ΔR）／c（ΔR）min、c（ΔL）／c（ΔL）min和s（y）／s（y）min處理，結果分別記作c′（ΔR）、c′（ΔL）和s′（y）。c′（ΔR）、c′（ΔL）作為模型輸入，s′（y）作為模型輸出，取ε＝0.002，模型求解結果見表4。

表4 DEA混合穩(wěn)健設計模型求解結果

由表4中求解結果的效率排序和用戶滿意度排序可以看出，兩者的排序并不完全一致。用戶滿意度排序即為質量損失的倒排序，并未考慮成本的影響，這不符合實際情況；而效率排序則考慮制造成本，滿足質量－成本相對效率最高的要求才能成為最終的組合方案。第8組試驗方案的DEA博弈交叉效率值為1，優(yōu)于其他組試驗方案。因此，滿足電路設計的高質量低成本要求的最 佳 參 數(shù) 和 容 差 組 合 是：R ＝10Ω，L ＝0.02H，ΔR＝0.01Ω，ΔL＝0.01H。

4 結語

本文提出的模型能夠解決質量特性和參數(shù)關系未知情形下參數(shù)－容差混合穩(wěn)健設計問題，得到參數(shù)－容差設計的最佳組合方案，彌補了以往研究的不足。因此，基于DEA博弈交叉效率的參數(shù)－容差混合設計模型在一定程度上完善了目前工程設計方法體系，推動了工程穩(wěn)健設計的優(yōu)化進程的發(fā)展。

關于質量穩(wěn)健性的研究非常多，正交試驗設計中的質量穩(wěn)健性指標亦可以嘗試用其他指標來衡量；關于容差的制造成本，雖然有經(jīng)驗模型可借鑒，但如何利用更準確的方法去測算成本仍是今后需要進一步探討的問題；關于成本，如何挖掘得更全面一些亦是今后致力研究的內容。

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