陳 波 晁 侃 吳健康

華中科技大學(xué)，武漢，430074

0 引言

電滲流是微機(jī)電系統(tǒng)中最重要的流體驅(qū)動技術(shù)之一。利用電滲流機(jī)理形成的電滲流泵具有易于加工和控制、無需移動部件、較高的可重復(fù)性和可靠性等優(yōu)點(diǎn)。1998年，Ramos等［1］在實(shí)驗(yàn)研究過程中發(fā)現(xiàn)了交流電滲流現(xiàn)象，提出了交流電滲流的概念。利用交流電滲流驅(qū)動技術(shù)的低電壓和交變信號，可在實(shí)現(xiàn)溶液混合的同時(shí)，極大地抑制電解反應(yīng)的發(fā)生［2－7］?？梢?，研究交流電滲流微泵具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值［8－11］。傳統(tǒng)的交流電滲流采用非對稱電極進(jìn)行流體驅(qū)動，在實(shí)際應(yīng)用中存在流量偏小的問題。最近的研究表明，在微通道壁面一系列離散電極上施加等相位差的交變行波電場，也能產(chǎn)生定向電滲流量［12－16］，一般稱之為行波電場電滲流。相對于傳統(tǒng)的非對稱電極，在不增大交變電場強(qiáng)度的條件下，行波電滲流微泵可以明顯提高微泵的流量［17］，而且電極高度對行波電滲流流量有重要的影響［18］。由于求解完整理論解析解非常困難，在行波電滲流的研究中，一般采用了簡化的數(shù)學(xué)模型，即忽略雙電層的厚度影響，在電極的壁面上采用滑移速度邊界條件，將電場和流場解耦后進(jìn)行計(jì)算［15－18］。這種方法一般只在雙電層厚度相對于微通道特征尺度（如深度或?qū)挾龋┍戎禈O小，以及行波驅(qū)動電壓小于雙電層特征電壓（25mV）時(shí)才近似成立［18］。但采用該種方法進(jìn)行研究時(shí)，需要求解耦合的Poisson－Nernst－Planck（PNP）方程，計(jì)算難度大，國內(nèi)外鮮見相關(guān)報(bào)道。Pribyl等［19］和 Hrdlicka等［20］成功地將該方法應(yīng)用于交流電滲流的研究，但他們在對行波電滲流進(jìn)行研究時(shí)，只考察了行波波長對電滲流流量的影響，而沒有考慮通道深度對流量的影響。此外，Hrdlicka等［20］在研究行波電滲流時(shí)，用行波波長作為衡量雙電層厚度相對大小的尺度并不準(zhǔn)確，如當(dāng)行波波長相對于通道深度較大時(shí)，仍然采用行波波長作為衡量尺度明顯和實(shí)際情況不符。本文采用通道深度作為衡量雙電層厚度相對大小的尺度，詳細(xì)分析了驅(qū)動電壓大小、行波波長以及雙電層厚度和通道深度對電滲流微泵流量的影響。研究結(jié)果為行波電滲流微泵的研制提供了理論分析基礎(chǔ)和數(shù)值模擬手段。

1 行波電滲流微泵的計(jì)算模型

1.1 行波電滲流微泵的結(jié)構(gòu)

行波電滲流微泵由絕緣的基底材料（硅或玻璃）構(gòu)成電滲流微通道，微通道的截面寬度遠(yuǎn)大于通道深度（y方向），其行波電滲流可簡化為長度和深度（x－y）的二維流動模型。通過微加工技術(shù)在微通道內(nèi)壁面粘貼一系列與電解質(zhì)絕緣的離散微電極，每個電極施加振幅和頻率相同，但存在相位差的交變電壓，相鄰電極的相位差角相等，形成行波電場。行波電滲流微泵的結(jié)構(gòu)如圖1所示。行波電場驅(qū)動通道內(nèi)的溶液流動時(shí)，壁面電位允許近似采用連續(xù)的行波電場表示，即

式中，A為行波電場幅值；ω為圓頻率（物理頻率為f＝ω／（2π））；k為波數(shù)，k＝2π／L；L為行波波長。

由于行波電場電滲流在微通道方向具有周期性，故只需截取一個行波波長L的微通道單元進(jìn)行數(shù)值分析，各單元之間由重復(fù)的周期性邊界條件連接。

圖1 行波電滲流微泵的結(jié)構(gòu)

1.2 控制方程和邊界條件

通道壁面采用無滑移邊界條件，通道進(jìn)出口采用周期性邊界條件。微通道中充滿電解質(zhì)溶液，在行波信號的驅(qū)動下產(chǎn)生電滲流流動。不可壓縮流體的連續(xù)方程和Navier－Stokes（NS）方程為

式中，i、j為x和y方向的單位矢量；ρe2ψ為作用于流體的行波電場力；V（u，v）為流體速度矢量；ρ為溶液密度；μ為流體黏度；p為壓強(qiáng)；ρe為流體電荷體積密度；ψ為行波電場感應(yīng)的電位勢。

感應(yīng)電位勢ψ滿足如下Poisson方程［21］：

式中，c＋、c－為溶液正負(fù)離子摩爾濃度；ε為溶液介電常數(shù)；F為法拉第常數(shù)。

電極表面的行波電位勢為

微通道上壁面為絕緣邊界條件，n·2ψ＝0，其中，n為壁面法向矢量。

離子輸運(yùn)的Nernst－Planck方程為

式中，D為離子擴(kuò)散系數(shù)；R為摩爾氣體常數(shù)；T為絕對溫度。

忽略法拉第電流的影響，壁面邊界條件為n·Jj＝0。

2 邊界滑移近似

行波電壓很小時(shí)，可忽略雙電層的厚度影響，用簡化的邊界滑移模型求解行波電場電滲流［9-11］。由等效電路模型原理可知，若把雙電層內(nèi)被極化的流體區(qū)域當(dāng)作電容，則雙電層之外呈現(xiàn)電中性部分的流體則被視作電阻；電極表面采用電滲流Helmholtz－Smoluchowski速度為邊界滑移速度，直接計(jì)算微通道內(nèi)部電滲流。這等價(jià)于把雙電層影響近似為壁面滑移速度，避開了雙電層電場計(jì)算，其數(shù)值解得到大大簡化。我們將上述的數(shù)值解稱之為滑移邊界近似解。對于圖1所示的物理模型，電極上所施加的電位勢在泵腔內(nèi)的分布滿足Laplace方程［11］：

若把電極表面雙電層內(nèi)的擴(kuò)散層看成一個電容，則相應(yīng)的電位勢邊界條件［11］為

式中，Cd為雙電層電容；σ為溶液電導(dǎo)率。

電極上的行波電位勢為

壁面絕緣層滿足絕緣邊界條件，通道進(jìn)出口為周期性邊界條件。

不可壓縮Navier－Storks方程可簡化為

微通道進(jìn)出口為周期性條件，壁面絕緣層為無滑移速度邊界條件。電極表面采用速度滑移邊界條件：

式中，t為電極表面切矢量。

3 計(jì)算結(jié)果分析

圖2 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈1≈0.01）

圖3 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈10≈0.01）

圖4 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈1≈0.1）

圖5 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈10≈0.1）

將行波電滲流微泵的尺寸參數(shù)等比例縮小至原參數(shù)的1／10（H＝1μm＝λ／H＝0.1），平均流速與行波頻率的關(guān)系如圖4、圖5所示。由于通道深度變小，邊界滑移解往往會大于電滲流平均流速。在某些條件下，邊界滑移解的平均流速甚至?xí)笥谛胁úㄋ伲?0］，表明邊界滑移解明顯有誤。對較淺的微通道（較小的值），必須采用耦合PNP方程和NS方程求解。在壁面高電位≈10）、淺通道≈0.1）的情況下，邊界滑移解誤差會更大（圖5）。

圖6所示為泵流平均流速最大值與雙電層厚度的關(guān)系，圖6結(jié)果表明，由于忽略了雙電層厚度的影響，邊界滑移解的電滲流平均流速被高估。雙電層厚度相對于通道深度比值越大，誤差越明顯。當(dāng)雙電層厚度比通道深度小很多時(shí)，邊界滑移解與PNP解一致。

圖6 泵流平均流速最大值與雙電層厚度關(guān)系≈1）

為了研究行波波長對電滲流平均流速的影響，保持微泵深度不變（H＝10μm），波長深度比L／H 分別為2、4、6、10，電滲流平均流速與行波頻率的關(guān)系如圖7所示，圖中≈0.01（相對深通道），溶液摩爾濃度c0＝10mol／dm3）。由圖7可以看出，電滲流速度隨波長增加而降低，速度峰值頻率隨著波長的增加而向低頻轉(zhuǎn)移。

圖7 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈1≈0.01）

在圖8所示的泵流平均流速與行波頻率關(guān)系中，令溶液摩爾濃度c0＝0.1mol／dm3，由Debye長度的定義可知≈0.1（相對淺微通道，λ ＝1μm）。由圖8可以看出，電滲流速度隨著波長的增加而降低，速度峰值頻率亦隨著波長的增加而向低頻轉(zhuǎn)移。

圖8 泵流平均流速與行波頻率關(guān)系≈1≈0.1）

4 結(jié)束語

采用滑移邊界近似解，允許將電場和流場分開求解，雖可以簡化數(shù)值解，但只能在雙電層厚度相對于微通道深度和壁面極化電壓都很小的條件下近似成立；對極化電壓較高或雙電層厚度相對于通道深度比值較大時(shí)，邊界滑移解的實(shí)際電滲流速度會被高估。此前提下，耦合的PNP方程和NS方程是包含電滲流雙電層的精確描述，能更加準(zhǔn)確地對行波電滲流微泵進(jìn)行研究。研究表明，當(dāng)行波電場周期接近微通道雙電層充電時(shí)間時(shí)，電滲流平均速度達(dá)到最大值。增大行波電場幅值，可以提高電滲流平均流速。當(dāng)雙電層厚度相對于通道深度比值和行波波長增大時(shí)，電滲流平均流速減小。

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