茍向鋒 呂小紅

蘭州交通大學(xué)，蘭州，730070

0 引言

在機械工程應(yīng)用領(lǐng)域中經(jīng)常遇到?jīng)_擊振動系統(tǒng)，如 沖 擊 打 樁 機［1］、沖 擊 鉆 進 機［2－3］、夯 土 機［4］等。20世紀80年代以來，國內(nèi)外學(xué)者開始用現(xiàn)代動力系統(tǒng)觀點研究振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性，研究內(nèi)容也集中于振動系統(tǒng)的分岔、混沌問題，如研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔［5－7］、奇異性［8－9］、概周期碰撞運動［10］、倍周期分岔［11］等問題。文獻［12－13］研究了以油作為介質(zhì)建立的黏彈性模型的鉆進運動。在實際工程應(yīng)用中，如沖擊鉆探機一般采用高頻率的外部沖擊力來驅(qū)動鉆頭鉆進，這種高頻率的外部激勵可以采用壓電式換能器實現(xiàn)。但這種高頻率的外部激勵會使得系統(tǒng)的動力學(xué)行為更加復(fù)雜，而且系統(tǒng)在振動的同時伴隨有鉆進運動。文獻［14］研究了一類沖擊鉆進機械振動系統(tǒng)的周期運動和分岔規(guī)律。該類系統(tǒng)的基本工作機理是滑塊克服干摩擦力向下運動，因此，有限時間內(nèi)的最佳鉆進量對這類系統(tǒng)的有效工作非常重要。研究結(jié)果表明，在低激勵頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期1單碰撞運動，且在周期1單碰撞運動速度的峰值附近，系統(tǒng)具有最佳鉆進效果。文獻［15］指出，低頻激勵所產(chǎn)生的穩(wěn)定周期1振動—鉆進運動可以用拍頻激勵的方式來實現(xiàn)。

近年來，沖擊振動系統(tǒng)從實踐角度得到了國內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注，但同時考慮沖擊振動和鉆進運動的研究還較少。實際上，鉆進運動對系統(tǒng)的振動是有影響的，這就要求建立考慮兩種運動的綜合性模型。本文建立了一類沖擊鉆進機械振動系統(tǒng)的力學(xué)模型，并考慮將高頻低幅激勵轉(zhuǎn)化為低頻高幅響應(yīng)。這種轉(zhuǎn)化要求沖擊振動系統(tǒng)能夠產(chǎn)生一種合理的內(nèi)部作用力，以克服介質(zhì)的阻力而產(chǎn)生鉆進運動。

1 力學(xué)模型與運動微分方程

圖1所示為沖擊鉆進系統(tǒng)的力學(xué)模型。2個不考慮質(zhì)量的薄板組成運動基，其間距U可根據(jù)實際要求的激勵模式隨時間發(fā)生變化。運動基上板由剛度為K3的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C3的線性阻尼器連接于質(zhì)量塊M2，質(zhì)量塊M2由剛度為K2的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C2的線性阻尼器連接于質(zhì)量塊M1（含機架），質(zhì)量塊M1由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1的線性阻尼器連接于滑塊上，滑塊的質(zhì)量忽略不計。X1、X2、X3和X4分別表示滑塊、質(zhì)量塊M1、質(zhì)量塊M2和運動基下板的位移，V表示運動基下板的速度。當質(zhì)量塊M2和質(zhì)量塊M1的位移差X3－X2＝L時，質(zhì)量塊M2沖擊質(zhì)量塊M1，假設(shè)該碰撞為塑性碰撞。碰撞后，兩者或同步運動直至分離，或立即分離。質(zhì)量塊M2第i次沖擊質(zhì)量塊M1以后，彈簧K1被壓縮，對滑塊產(chǎn)生向下的回復(fù)力。當作用于滑塊的向下的回復(fù)力和阻尼力的合力大于干摩擦力F時，滑塊向下運動，即系統(tǒng)發(fā)生鉆進運動?；瑝K于本次沖擊后瞬間鉆進的深度為Li（i＝1，2，…，n），整個系統(tǒng)于瞬間向下平移Li。當質(zhì)量塊M1向下運動的過程結(jié)束，開始向上運動時，滑塊受到的彈簧回復(fù)力和阻尼力的合力小于干摩擦力F，滑塊靜止。此時滑塊與土壤間的干摩擦力F由滑動摩擦力變?yōu)殪o摩擦力，滑塊在土壤中不再發(fā)生滑移，直到下一次沖擊來臨為止。此刻滑塊已鉆進的深度為L1＋L2＋…＋Li，并且不能回彈，即整個系統(tǒng)向下平移了L1＋L2＋…＋Li。系統(tǒng)的靜平衡位置相對滑塊而言并沒有改變。

圖1 沖擊鉆進系統(tǒng)的力學(xué)模型

系統(tǒng)最基本的功能是要能克服阻力（即干摩擦力）并向下移動。當質(zhì)量塊M2對質(zhì)量塊M1進行沖擊后，滑塊克服干摩擦力F向下移動。因此必須為運動基下板選擇合適的運動形式才能使整個系統(tǒng)有效地向下移動。在運動基下板上加一個外力對系統(tǒng)的鉆進運動并無益處，這相當于在質(zhì)量塊M2上直接加了一個外力，意味著實際中的高頻激勵是沒有效果的。這樣，就應(yīng)該仔細選擇運動基下板的運動形式。本文假定運動基下薄板的速度為一先驗的確定函數(shù)V，其具體形式下文討論。

分析質(zhì)量塊M2和M1在任意相鄰兩次碰撞間的運動過程。以振動體在重力作用下的平衡位置為原點，并設(shè)兩質(zhì)量塊的碰撞時刻為系統(tǒng)運動的初始時刻。如果質(zhì)量塊M2沖擊M1后，兩者同步運動，則兩者的加速度在此階段是相同的，質(zhì)量塊M1和M2所受的合力分別為

由F1＝F2／μm得

如果質(zhì)量塊M2沖擊質(zhì)量塊M1后兩者非同步運動，質(zhì)量塊M2和M1的加速度是不相同的。

式（1）和式（2）中，“·”表示對量綱一時間t求導(dǎo)，其中量綱一量為

其中，Ω為頻率，T為時間。

在任意的連續(xù)兩次沖擊之間，系統(tǒng)可能存在4種不同性質(zhì)的運動狀態(tài)：

（1）x3－x2＞l，滑塊靜止，質(zhì)量塊M1和M2非同步運動，此時系統(tǒng)的量綱一運動微分方程可表示為

（2）x3－x2＞l，滑塊鉆進運動，質(zhì)量塊M1和M2非同步運動，此時系統(tǒng)的量綱一運動微分方程可表示為

（3）x3－x2＝l，滑塊靜止，質(zhì)量塊 M1和 M2同步運動，此時系統(tǒng)的量綱一運動微分方程可表示為

（4）x3－x2＝l，滑塊鉆進運動，質(zhì)量塊M1和M2同步運動，此時系統(tǒng)的量綱一運動微分方程可表示為

質(zhì)量塊M2和M1的沖擊方程為

其中，下標“－”“＋”分別表示碰撞前后。

根據(jù)文獻［15］，其高頻激勵u（t）可表示為

其中，a＝AK1／F，A 為幅值，ω 為高頻，而 Δω＝ΔΩ／Ω0為低頻，要求等于固有頻率，即Δω＝1是為了滿足共振條件。

圖2 施加于質(zhì)量塊M2的力

2 運動基下板速度函數(shù)

圖3 質(zhì)量塊M2的時間歷程圖

選取量綱一參數(shù)：l＝0.1，a＝1.0，ζ＝0.005，μm＝0.25，μk2＝0.1，μc2＝0.1，μk3＝0.2，μc3＝0.2，ω＝20。圖1所示系統(tǒng)的時間歷程如圖4所示。由圖4可見，在任意的連續(xù)兩次沖擊之間系統(tǒng)存在如下的運動過程：非同步運動→碰撞→同步運動→非同步運動→非同步運動伴隨有鉆進運動→非同步運動。隨著系統(tǒng)鉆進運動，位移值xi（i＝1，2，3，4）的絕對值也會隨之增大。此時，下板的位移x4等于滑塊的位移x1。

圖4 滑塊、質(zhì)量塊M1和M2的時間歷程圖

現(xiàn)考慮驅(qū)動運動基下板所需的能量。當下板固定時，隨著滑塊鉆進量的增大和質(zhì)量塊M2振動幅值A(chǔ)的增大，作用在運動基上的力的絕對值也增大。保持下板固定不動所需的外加量綱一載荷fext為

現(xiàn)在討論控制下板運動的另一種替代方法。一旦外力fext達到某臨界值fcrit，下板將被釋放。但是，為了防止運動基出現(xiàn)不符合需要的大跳動，外力用一個系數(shù)β來減小，而非完全釋放（fext＝0），即

這可以通過下面的算法實現(xiàn)。假定下板的速度等于0，則外加載荷fext為

如果滿足如下條件：

則下板的速度可由式（9）和式（10）決定：

選取量綱一參數(shù)：l＝0.1，a＝1.0，ζ＝0.005，μm＝0.25，μk2＝0.1，μc2＝0.1，μk3＝0.2，μc3＝0.2，ω＝20，fcrit＝0.54和β＝0.8?；瑝K、質(zhì)量塊M1、質(zhì)量塊M2和運動基下板的時間歷程如圖5所示。由圖5可見，在任意的連續(xù)兩次沖擊之間系統(tǒng)存在如下的運動過程：非同步運動→碰撞→同步運動→非同步運動→非同步運動伴隨有鉆進運動→非同步運動。當作用于滑塊的向下的回復(fù)力和阻尼力的合力大于干摩擦力F時，滑塊向下運動，即系統(tǒng)發(fā)生鉆進運動。下板的運動和滑塊的運動并不一致，當下板靜止時，滑塊在質(zhì)量塊M1和M2碰撞作用下會發(fā)生多次鉆進運動。圖6為系數(shù)β分別等于0.8、0.75和0.7時下板的時間歷程圖，由圖6可見，系數(shù)β越小，跳動次數(shù)越少，而跳動位移越大，但系數(shù)β對鉆進效果的影響極小。

圖5 時間歷程圖

圖6 運動基下板的時間歷程圖

3 結(jié)語

本文建立了一類沖擊鉆進機械系統(tǒng)的力學(xué)模型。為了使得系統(tǒng)能夠發(fā)生鉆進運動，且能夠?qū)⒏哳l低幅激勵轉(zhuǎn)化為低頻高幅響應(yīng)輸出，選用了一種特殊的拍頻運動激勵。該拍頻運動激勵有兩個主要特征：①低頻調(diào)制激勵與振動系統(tǒng)的固有頻率（所期望的低頻）吻合；②激勵是非對稱的，即只用調(diào)制波正值部分激勵質(zhì)量塊M2。結(jié)果表明，該激勵能夠產(chǎn)生有效的沖擊力即錘擊效應(yīng)。圖1所示系統(tǒng)要求提供克服干摩擦力和形成穩(wěn)定鉆進運動的條件。在無控制的條件下有兩種途徑能夠使得系統(tǒng)向下移動。但是，這些條件下得到的鉆進量都比較小，有待于研究一種控制策略給系統(tǒng)提供額外的能量，以獲得較好的鉆進效果。

［1］Benamar A.Dynamic Pile Response Using Two Pile－driving Techniques［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2000，20：243－247.

［2］Wiercigroch M，Neilson R D，Player M A.Material Removal Rate Prediction for Ultrasonic Drilling of Hard Materials Using Impact Oscillators Approach［J］.Physics Letters A，1999，259（2）：91－96.

［3］Wiercigroch M，Krivtsov A，Wojewoda J.Dynamics of High Frequency Percussive Drilling of Hard Materials［M］.Wiercigroch M，de Kraker B，eds.Nonlinear Dynamics and Chaos of Mechanical Systems with Discontinuities.Singapore：World Scientific，2000.

［4］Woo K C，Rodger A A，Neilson R D，et al.Application of the Harmonic Balance Method to Ground Moling Machines Operating in Periodic Regimes［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2000，11（15）：2515－2525.

［5］Shaw S W，Holmes P J.A Periodically Forced Piecewise Linear Oscillator［J］.Journal of Sound and Vibration，1983，90（1）：129－155.

［6］Jin Dongping，Hu Haiyan.Periodic Vibro－impacts and Their Stability of a Dual Component System［J］.Acta Mechanica Sinica，1997，13（4）：366－376.

［7］Li Qunhong，Lu Qishao.Coexisting Periodic Orbits in Vibro－impacting Dynamical Systems［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2003，24（3）：261－273.

［8］Whiston G S.Singularities in Vibro－impact Dynamics［J］.Journal of Sound and Vibration，1992，152（3）：427－460.

［9］Luo C J.Grazing and Chaos in a Periodically Forced，Piecewise Linear System［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2006，128：29－34.

［10］Luo Guanwei，Xie Jianhua.Hopf Bifurcations of a Two－Degree－of－freedom Vibro－impact System［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，213（3）：391－408.

［11］Luo C J.Period－doubling Induced Chaotic Motion in the LR Model of a Horizontal Impact Oscillator［J］.Chaos，Solitons ＆ Fractals，2004，19：823－839.

［12］Pavlovskaia E E，Wiercigroch M，Grebogi C.Modeling of an Impact System with a Drift［J］.Physical Review E，2001，64：056224.

［13］Pavlovskaia E E，Wiercigroch M.Two－dimensional Map for Impact Oscillator with Drift［J］.Physi－cal Review E，2004，70：036201.

［14］Luo G W，Lv X H，Ma L.Periodic－impact Motions and Bifurcations in Dynamics of a Plastic Impact Oscillator with a Frictional Slider［J］.European Journal of Mechanics－A／Solids，2008，27（6）：1088－1107.

［15］Pavlovskaia E E，Wiercigroch M.Modelling of Vibro－impact System Driven by Beat Frequency［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2003，45：623－641.