趙 鵬 樓佩煌 劉明燈 胡榮華

1.南京航空航天大學(xué)，南京，210016 2.南京四開(kāi)電子企業(yè)有限公司，南京，210007

0 引言

在復(fù)雜曲面高速、高效、高精度加工中，五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控是目前研究和發(fā)展的重要方向。由于ISO6983規(guī)定的NC代碼標(biāo)準(zhǔn)和五軸刀具路徑規(guī)劃算法的限制，CAM將CAD中的參數(shù)曲線模型離散為微小直線段進(jìn)行規(guī)劃，生成一階不連續(xù)的刀具路徑，造成各驅(qū)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)路徑呈現(xiàn)離散特征，在加工中發(fā)生速度和加速度的跳動(dòng)，影響機(jī)床動(dòng)態(tài)特性，并降低了零件輪廓加工精度和表面質(zhì)量。這些刀具路徑的不連續(xù)性缺陷在后續(xù)處理的速度規(guī)劃和插補(bǔ)中無(wú)法進(jìn)行補(bǔ)償。現(xiàn)代CNC期望直接處理參數(shù)曲線信息以獲得平滑的刀具路徑，一些廠家的CNC提供了參數(shù)曲線插補(bǔ)功能，與傳統(tǒng)直線插補(bǔ)方式相比，可以得到更高的加工精度［1－2］。然而由于五軸聯(lián)動(dòng)中旋轉(zhuǎn)軸附加運(yùn)動(dòng)路徑與工件坐標(biāo)系沒(méi)有線性映射關(guān)系，造成五軸加工刀具路徑規(guī)劃困難，國(guó)際上只有極少數(shù)高檔CAM軟件支持輸出五軸聯(lián)動(dòng)加工的參數(shù)曲線NC代碼，但這些CAM軟件價(jià)格昂貴。有學(xué)者將刀具路徑平滑算法作為獨(dú)立模塊并將其作為CAD／CAM 和CNC的中間組件［3－10］。文獻(xiàn)［2］研究了五次參數(shù)樣條的擬合刀具路徑，文獻(xiàn)［3－8］提出了NURBS曲線擬合刀具路徑的方法，但這些方法都沒(méi)有說(shuō)明五軸加工中旋轉(zhuǎn)軸附加運(yùn)動(dòng)帶來(lái)的影響；文獻(xiàn)［9－11］對(duì)五軸數(shù)控刀具路徑中的位置矢量和方向矢量采用離線曲線插值方法優(yōu)化，但增加了對(duì)CAM系統(tǒng)輸出代碼的特殊要求。FANUC數(shù)控系統(tǒng)應(yīng)用了五軸刀具路徑平滑方法［12］，在曲面加工中獲得了良好的加工質(zhì)量，但未公開(kāi)其關(guān)鍵技術(shù)。筆者應(yīng)用通用CAM輸出的五軸NC代碼進(jìn)行刀具路徑優(yōu)化，消除了由加工路徑不連續(xù)引起的機(jī)床振動(dòng)，提高了工件的表面質(zhì)量和加工精度。

1 五軸加工運(yùn)動(dòng)分析

1.1 五軸加工NC代碼分析

通用CAM軟件輸出的五軸加工NC代碼為

該代碼表示機(jī)床各驅(qū)動(dòng)軸的實(shí)際運(yùn)動(dòng)量。其中，X、Y、Z為平動(dòng)軸的位移，A、B、C為旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角（分別對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)軸A、B、C），F(xiàn)為進(jìn)給速度。三軸加工中，刀具中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑直接表達(dá)刀具相對(duì)零件輪廓的有效切削運(yùn)動(dòng)。五軸加工中，旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)不僅會(huì)改變刀具相對(duì)工件的方向，還會(huì)改變兩者的相對(duì)位置，產(chǎn)生附加運(yùn)動(dòng)，而附加運(yùn)動(dòng)在刀具運(yùn)動(dòng)路徑中進(jìn)行補(bǔ)償。因此，五軸聯(lián)動(dòng)中的刀具中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑不能真實(shí)表達(dá)刀具相對(duì)零件輪廓的有效切削運(yùn)動(dòng)。如圖1所示，工件裝夾于轉(zhuǎn)臺(tái)abc位置，以多軸方式加工工件輪廓ab，開(kāi)始加工時(shí)，刀具中心點(diǎn)位于點(diǎn)a，一段加工時(shí)間后，由于旋轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)角度θ，工件位置隨轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)至a′b′c′，刀具中心點(diǎn)切削到輪廓ab上的M 處。在這段加工過(guò)程中，刀具中心點(diǎn)實(shí)際從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，但有效切削路徑是沿工件輪廓的運(yùn)動(dòng)路徑a′M。在五軸加工中，工件輪廓的精度和表面質(zhì)量由有效切削運(yùn)動(dòng)路徑?jīng)Q定，而機(jī)床運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和連續(xù)性由各驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)路徑?jīng)Q定。

1.2 刀具切削路徑計(jì)算

數(shù)控加工的首要目標(biāo)是保證工件的加工質(zhì)量，刀具相對(duì)于工件的切削加工路徑的精度和平滑性直接影響工件的加工精度和表面質(zhì)量。本文首先將機(jī)床坐標(biāo)系中的驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)路徑轉(zhuǎn)換為工件坐標(biāo)系中的刀具切削路徑，對(duì)切削路徑進(jìn)行平滑處理。由于五軸數(shù)控機(jī)床類型繁多，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系復(fù)雜，故本文以應(yīng)用廣泛的立式雙轉(zhuǎn)臺(tái)五軸機(jī)床為例。雙轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)中的旋轉(zhuǎn)自由度是由工件旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)的，因此，NC代碼中的（X，Y，Z）為刀心點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系ORXYZ中的位置，工件坐標(biāo)系在初始狀態(tài)（A＝0，C＝0）時(shí)平行于機(jī)床坐標(biāo)系，工件坐標(biāo)系原點(diǎn)與機(jī)床實(shí)際旋轉(zhuǎn)中心偏差為（dx，dy，dz），刀具中心點(diǎn)在工件坐標(biāo)系Owxyz 中的坐標(biāo)（x，y，z）表示刀具相對(duì)工件輪廓的有效切削運(yùn)動(dòng)路徑點(diǎn)。有效切削運(yùn)動(dòng)路徑點(diǎn)的坐標(biāo)求解過(guò)程如下［13］：① 將機(jī)床坐標(biāo)系平移到工件坐標(biāo)系，變換矩陣為T1；②工件繞Z軸旋轉(zhuǎn)角度C，變換矩陣為T2；③工件繞X軸旋轉(zhuǎn)角度A，變換矩陣為T3。可得：（x，y，z，1）R＝ （X，Y，Z，1）WT1T2T3。

2 五軸數(shù)控刀具路徑優(yōu)化

2.1 刀具切削路徑優(yōu)化

刀具切削路徑平滑優(yōu)化采用NURBS曲線擬合方法。NURBS曲線表達(dá)式為［6］

式中，wi為權(quán)因子；Vi為NURBS曲線控制頂點(diǎn)；l＋1為控制頂 點(diǎn) 數(shù) 目；Ni，p（u）為p 次 規(guī) 范 B樣 條 基 函數(shù)，u 為NURBS曲線參數(shù)。

影響NURBS曲線形狀的主要因素為控制頂點(diǎn)Vi。在NURBS曲線擬合過(guò)程中，權(quán)因子wi、基函數(shù)次數(shù)p和節(jié)點(diǎn)向量U可提前設(shè)定，通過(guò)求解控制頂點(diǎn)的數(shù)目和坐標(biāo)最終實(shí)現(xiàn)離散刀具路徑的NURBS曲線擬合平滑。

如圖2所示，對(duì)任意刀位點(diǎn)Pj，擬合NURBS曲線上均有點(diǎn)R（uj）與其對(duì)應(yīng)：

其中，uj為點(diǎn)Pj對(duì)應(yīng)參數(shù)值，根據(jù)向心弦長(zhǎng)法可求出［4-5］：

式中，｜P0Pj｜為起點(diǎn)到當(dāng)前點(diǎn)Pj間的微小直線段長(zhǎng)的和；｜P0Pm｜為本擬合段所有微小直線段長(zhǎng)的總和。

每個(gè)刀位點(diǎn)與曲線偏差為｜R（uj）－Pj｜，最小二乘法擬合目標(biāo)是優(yōu)化控制頂點(diǎn)，使擬合曲線到各刀位點(diǎn)偏差的總和最小，建立偏差總和與控制頂點(diǎn)的函數(shù)：

如要偏差總和最小，則第q（q＝0，1，…，l）個(gè)控制點(diǎn)處方程為

由式（2）～式（5）可初步求出各控制頂點(diǎn)坐標(biāo)，確定擬合的NURBS曲線方程。

2.2 切削加工路徑誤差分析

切削路徑的擬合精度決定了工件的輪廓精度，如圖3所示，為保證刀具切削路徑的擬合最大誤差小于允許誤差ζ0，要計(jì)算擬合曲線與原直線段鏈的最大弦高誤差。為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，采用近似弦高法求解［6］，以其中一直線段PiPi＋1為例進(jìn)行誤差分析，具體過(guò)程如下：

（1）設(shè) Pi、Pi＋1對(duì) 應(yīng) 曲 線 上 的 點(diǎn) R（ui）、R（ui＋1）；

（2）將參數(shù)區(qū)間uiui＋1等分為n個(gè)子區(qū)間，計(jì)算各等分點(diǎn)處的弦高誤差ζk和各弦高誤差最大差值Δζmax；

（3）若Δζmax＞ε（ε為一個(gè)設(shè)定的極小數(shù)，小于ε的數(shù)可判定為0），則選取包含最大弦高值的相鄰參數(shù)作為新的uiui＋1，返回步驟（2）；

（4）若Δζmax≤ε，則各參數(shù)點(diǎn)處弦高誤差相同，ζk為PiPi＋1的最大弦高誤差；

（5）若ζk≤ζ0，則微直線段PiPi＋1可以由NURBS曲線R（u）擬合；

（6）若ζk＞ζ0，需要對(duì)R（u）進(jìn)行調(diào)整，將線段PiPi＋1中點(diǎn)作為新的型值點(diǎn)，按2.1中所述擬合方法重新計(jì)算R（u）。

按以上方法對(duì)整個(gè)NURBS曲線段進(jìn)行調(diào)整，直到所有線段弦高誤差均在允許值以內(nèi)。

2.3 機(jī)床驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)路徑優(yōu)化

機(jī)床驅(qū)動(dòng)軸的不連續(xù)運(yùn)動(dòng)造成各軸在微段轉(zhuǎn)接點(diǎn)發(fā)生沖擊，縮短機(jī)床壽命，降低精度，為消除上述缺陷，五軸刀具路徑優(yōu)化系統(tǒng)將驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)路徑進(jìn)行二階連續(xù)曲線化處理。刀具切削路徑優(yōu)化保證了加工零件的精度和表面質(zhì)量，旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)路徑優(yōu)化保證各驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)的平滑性。為便于與切削加工路徑參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一化處理，選取刀具切削路徑中的弦長(zhǎng)為參數(shù)，進(jìn)行五次樣條曲線擬合。

如圖2所示，為求解擬合路徑在點(diǎn)Pj處的一階和二階導(dǎo)數(shù)，選取 Pj－1、Pj、Pj＋1、Pj＋2四個(gè)點(diǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)軸在各點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度分別為Aj－1、Aj、Aj＋1、Aj＋1，相 應(yīng)點(diǎn)參數(shù) 為 0、lj－1，j、lj－1，j＋1、lj－1，j＋2，對(duì)4個(gè)點(diǎn)的角度值A(chǔ)j－1、Aj、Aj＋1、Aj＋1進(jìn)行3次參數(shù)曲線插值得到參數(shù)曲線Cj（l），可設(shè)定旋轉(zhuǎn)軸A的路徑在點(diǎn)Pj處對(duì)切削路徑弦長(zhǎng)參數(shù)的1階、2階導(dǎo)數(shù)分別為 C·j（lj－1，j）和 C¨j（lj－1，j）。對(duì)點(diǎn) Pj＋1進(jìn)行同樣處理，設(shè)點(diǎn)Pj、Pj＋1間的旋轉(zhuǎn)軸A的運(yùn)動(dòng)路徑五次樣條插值曲線方程為 Aj，j＋1（l）。

由下式求出五次參數(shù)曲線方程系數(shù)

由式（6）計(jì)算出的曲線方程在切削路徑微線段轉(zhuǎn)接點(diǎn)處保證了2階連續(xù)。同理可對(duì)旋轉(zhuǎn)軸B、C進(jìn)行插值平滑。由以上處理對(duì)刀具切削路徑和旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)路徑進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了2階連續(xù)。若平動(dòng)軸路徑仍然由五軸NC代碼中的離散路徑單獨(dú)擬合優(yōu)化，則機(jī)床驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)路徑可能偏離刀具切削運(yùn)動(dòng)路徑，造成實(shí)際加工誤差。為解決該問(wèn)題，平動(dòng)軸路徑可由切削運(yùn)動(dòng)路徑和旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)路徑經(jīng)過(guò)機(jī)床逆運(yùn)動(dòng)變換后表達(dá)。

由于旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)路徑插值參數(shù)和刀具切削路徑的NURBS曲線擬合參數(shù)不同，首先需要建立不同路徑參數(shù)的同步映射關(guān)系。如圖2所示，路徑段P0Pm為一個(gè)切削路徑NURBS擬合段，擬合結(jié)果為R（u），點(diǎn)Pj、Pj＋1為路徑段P0Pm上任意兩點(diǎn)，設(shè)其分別對(duì)應(yīng)的切削路徑R（u）上的R（uj）和R（uj＋1）。設(shè)l為切削路徑R1（u）上的路徑點(diǎn)到Pj的距離，則旋轉(zhuǎn)軸A在點(diǎn)Pj、Pj＋1間的優(yōu)化曲線運(yùn)動(dòng)路徑為Aj，j＋1（l）。點(diǎn)R（ui）在為切削路徑上PjPj＋1間任意一點(diǎn)，根據(jù)切削路徑參數(shù)的單調(diào)遞增性，可知uj＜ui＜uj＋1，由切削路徑NURBS曲線擬合的參數(shù)選取方法可知，點(diǎn)Pj在切削路徑中參數(shù)uj＝｜P0Pj｜／｜P0Pm｜，點(diǎn)R（ui）在切削路徑中參數(shù)ui＝（l＋｜P0Pj｜）／｜P0Pm｜＝uj＋l／｜P0Pm｜，切削點(diǎn)R（ui）所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸A的角度為Aj，j＋1（ui｜P0Pm｜－｜P0Pj｜）。通過(guò)上述參數(shù)映射處理使刀具切削路徑和旋轉(zhuǎn)軸路徑的曲線參數(shù)一致，機(jī)床坐標(biāo)系下的平動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)路徑通過(guò)機(jī)床逆運(yùn)動(dòng)變換求出：

其中，d為機(jī)床坐標(biāo)系原點(diǎn)和工件坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離。由于切削路徑和旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)路徑均為2階連續(xù)曲線并且參數(shù)為線性映射關(guān)系，式（7）中的x、y、z、A、C均二階連續(xù)變化，并且三角函數(shù)均為無(wú)限階連續(xù)函數(shù)，因此，式（7）所求出的平動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)路徑為2階連續(xù)的平滑路徑。五軸加工的刀具路徑優(yōu)化過(guò)程如圖4所示。

3 實(shí)例和驗(yàn)證

在自主研發(fā)的數(shù)控系統(tǒng)SKY2010上采用本文提出的五軸數(shù)控刀具路徑優(yōu)化方法，控制雙轉(zhuǎn)臺(tái)立式銑床SK5L－70100進(jìn)行典型工件葉輪的五軸聯(lián)動(dòng)精加工，使用通用五軸CAM軟件POWERMILL輸出設(shè)定曲面精度為1μm、弦高誤差為0.01mm的五軸NC代碼。對(duì)刀具路徑優(yōu)化處理，設(shè)置刀具切削路徑最大擬合誤差為5μm，設(shè)置進(jìn)給速度為3m／min，得到的加工效果如圖5所示，從圖5a可看出明顯的加工紋路，圖5b中零件的表面基本是平滑曲面。測(cè)量結(jié)果如表1所示，其中，平均誤差由三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x測(cè)量葉片上表面獲得。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過(guò)五軸刀具路徑優(yōu)化后，加工誤差顯著降低，表面更加光滑，加工效率也有較大提高。

表1 葉輪在不同刀具路徑處理下的加工效果對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

本文提出復(fù)雜曲面五軸加工中的驅(qū)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)路徑優(yōu)化方法，通過(guò)坐標(biāo)變換求解刀具相對(duì)零件輪廓的有效切削路徑，對(duì)切削路徑進(jìn)行NURBS曲線擬合，最終獲得2階連續(xù)的五軸數(shù)控刀具路徑。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，采用本文提出的方法優(yōu)化五軸數(shù)控加工路徑可顯著提高曲面加工的表面質(zhì)量，減小曲面輪廓誤差，提高加工精度和加工效率。

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