易文翠 陳兵奎 李海翔

1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400030

2.重慶電子工程職業(yè)學(xué)院，重慶，401331

0 引言

擺線類行星傳動具有傳動比大、剛性好、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動精度高等特性，在國防工業(yè)及國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的各個(gè)領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。近年來不少學(xué)者在擺線齒輪嚙合傳動理論方面作了有益的工作。Livtin等［1-2］推導(dǎo)了擺線齒廓的共軛嚙合方程，得到了齒廓的生成方法，并對齒面接觸特性進(jìn)行了研究。Lai等［3-5］根據(jù)曲面單參數(shù)的包絡(luò)方法建立了擺線針輪傳動的嚙合方程，并對擺線行星輪的設(shè)計(jì)方法和加工方法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［6-9］推導(dǎo)了移距修形、等距修形及轉(zhuǎn)角修形的擺線輪齒形通用方程式。文獻(xiàn)［10-11］根據(jù)齒輪嚙合原理，建立了行星輪共軛齒廓的通用方程和錐形擺線齒廓方程，并對嚙合特性進(jìn)行了系統(tǒng)分析。上述研究中的擺線針輪共軛嚙合齒面接觸為線接觸，線接觸輪齒通常有摩擦和滑動，而滑動是齒面磨損、產(chǎn)生熱量和功率損耗、降低效率、縮短壽命的重要因素。

本文根據(jù)齒輪嚙合原理，在擺線針輪行星傳動曲面共軛的基礎(chǔ)上，研究曲面與曲線的接觸問題;對點(diǎn)接觸擺線行星傳動的概念作出了定義，提出了點(diǎn)接觸擺線行星傳動的產(chǎn)生方法，建立了相應(yīng)的幾何學(xué)理論，構(gòu)建了管狀嚙合齒面;推導(dǎo)了針齒嚙合管齒面與擺線輪的點(diǎn)接觸嚙合副的齒面方程和接觸線方程，給出了針齒嚙合管的位置參數(shù)和嚙合管半徑的選擇方法，分析討論了點(diǎn)接觸擺線行星傳動的特性。

1 點(diǎn)接觸擺線行星傳動的形成方法

圖1中，曲面Σ1和曲面Σ2分別為齒輪1和齒輪2上已知的兩個(gè)相互共軛的擺線針輪齒面，曲線Γ1為曲面Σ1上選取的一條光滑曲線，曲線Γ2為曲面Σ2上與曲線Γ1相共軛的曲線。

在保持曲面Σ2不變的情況下，在曲面Σ1上選定曲線Γ1。Γ1應(yīng)同時(shí)滿足以下4個(gè)條件:①Γ1上任一點(diǎn)的主法矢方向和原齒面上同一位置點(diǎn)的法線方向相同;②Γ1∈Σ1，即所選曲線在曲面Σ1上;③Γ1在自變量的定義域內(nèi)是關(guān)于自變量的無窮可導(dǎo)函數(shù)，即Γ1是一條光滑曲線;④Γ1在原共軛齒面整個(gè)嚙合區(qū)都有取值。

圖1 擺線行星傳動點(diǎn)接觸示意圖

滿足上述4個(gè)條件的曲線Γ1與曲面Σ2按原給定方式運(yùn)動時(shí)，可保持在各接觸點(diǎn)連續(xù)相切接觸，因此為曲線與曲面接觸，故稱Γ1和Σ2構(gòu)成點(diǎn)接觸嚙合。

因現(xiàn)實(shí)中曲線不能單獨(dú)存在，且不具備傳遞運(yùn)動和動力的能力，故需構(gòu)造一個(gè)新的曲面∑3，該曲面應(yīng)包含曲線Γ1，且在嚙合過程中只有曲線Γ1參與接觸，如圖1所示，即形成點(diǎn)接觸嚙合。

2 點(diǎn)接觸擺線行星傳動的基本理論

2.1 擺線針輪行星傳動共軛齒廓方程

圖2所示的坐標(biāo)系中，在針輪與行星輪的中心分別建立與之固連的動坐標(biāo)系S1(O1X1Y1Z1)和S2(O2X2Y2Z2)，在針齒中心建立動坐標(biāo)系Sz(OzXzYzZz)，在針輪中心建立整體固定坐標(biāo)系S(OXYZ)。在初始位置，X軸和X1軸重合，X2軸、Xz軸與X軸平行。針齒中心分布圓半徑為Rz，針齒的半徑為rz，針輪、行星輪的齒數(shù)分別為zb和zg，兩輪中心距(輸入轉(zhuǎn)臂軸承的偏心距)為e。為簡化問題，采用轉(zhuǎn)臂(曲柄)O1O2固定法。將行星輪繞Z2軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，根據(jù)相對運(yùn)動關(guān)系，針輪將隨行星輪繞Z1軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角。

根據(jù)文獻(xiàn)［11］，可寫出針齒齒廓在S1中的方程:

式中，θ為在任何位置均對輪齒形狀無影響的角參量。

擺線輪齒廓在S2中的方程為

圖2 固定坐標(biāo)系與動坐標(biāo)系

2.2 針齒面上光滑曲線的選取

為便于描述，在擺線針輪行星傳動針齒齒面上選取曲線Γ1，構(gòu)造新的曲面Σ3來代替針齒齒面，如圖1所示。

如圖3所示，按前述4個(gè)條件在針齒上選定曲線Γ1，由式(1)可得Γ1在S1坐標(biāo)系中的方程:

式中，θ1、θ2分別為針齒參與嚙合的最小轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角;f(θ)為曲線在軸向的變化函數(shù)，f(θ)可以是螺旋線、正弦曲線、余弦曲線等。

圖3 針齒嚙合管示意圖

2.3 針齒嚙合管齒面的構(gòu)建

如圖3所示，Γ3為Γ1的等距線，等距量為r，由式(3)可得Γ3在S1坐標(biāo)系中的方程:

式中，A為原針齒圓柱面半徑與等距量之差，A=rz－r。

根據(jù)微分幾何［11］，以等距線Γ3為球心軌跡線，等距量r為半徑的球族方程為

式中，ω、γ為球面參數(shù)，0≤ω≤2π，0≤γ≤2π。

根據(jù)單參數(shù)曲面族的包絡(luò)理論［10］，球族包絡(luò)面的嚙合方程為

式中，rω、rγ、rθ為曲面族 r(ω，γ，θ)對參數(shù) ω、γ、θ的偏微導(dǎo)。

聯(lián)立式(5)、式(6)可得球族管狀包絡(luò)面方程Σ3在S1坐標(biāo)系中的方程:

此時(shí)，球族管狀包絡(luò)面Σ3與原針齒面Σ1恒定相切于曲線Γ1，曲線Γ1是包絡(luò)面Σ3上的一條脊線;嚙合過程中，包絡(luò)面Σ3上只有曲線Γ1參與嚙合，即球族管狀包絡(luò)面Σ3與曲面Σ2構(gòu)成點(diǎn)接觸共軛嚙合，將球族管狀包絡(luò)面Σ3稱為嚙合管齒面。

2.4 擺線輪上的接觸線

根據(jù)齒輪嚙合原理，Γ1的共軛曲線Γ2在S2中的方程為

式中，M21為坐標(biāo)系 O1βX1βY1βZ1β到坐標(biāo)系 O2αX2αY2αZ2α的變換矩陣。

將式(9)～式(11)代入式(8)，得到Γ1在S2中的共軛曲線Γ2的方程:

3 點(diǎn)接觸擺線行星傳動設(shè)計(jì)實(shí)例

3.1 光滑曲線的選取

圓柱螺旋線是圓柱面上的光滑曲線，且具有曲率和撓率都是常數(shù)但不為零的性質(zhì)，因此將原針齒圓柱面上一條圓柱螺旋線作為曲線Γ1。此時(shí)，由式(3)可得Γ1在S1中的方程:

式中，P為螺旋線節(jié)距，P=B/(θ2－θ1);B為齒寬。

根據(jù)式(7)，針齒嚙合管齒面在S1中的方程為

根據(jù)式(12)，擺線內(nèi)齒輪上的接觸線Γ2在S2方程為

3.2 針齒嚙合管齒面參數(shù)

3.2.1 位置參數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)［12］可知，擺線針輪嚙合時(shí)，針齒只是部分參與運(yùn)動，并且擺線針輪行星運(yùn)動過程中，針齒存在兩次接觸。如圖4所示，針齒在嚙合過程中只有K1K'n部分齒廓參與嚙合，所以針齒始終重復(fù)著由K1轉(zhuǎn)至K'n，再反向轉(zhuǎn)回K1的運(yùn)動。K'n處是針齒與擺線輪的凸齒、凹齒接觸轉(zhuǎn)換點(diǎn)，在K1處，針齒上的這點(diǎn)分別與擺線輪的凸齒、凹齒接觸。用嚙合管齒面代替針齒齒面后，為了不改變原來的嚙合特性，將螺旋線Γ1的起點(diǎn)選擇在K1點(diǎn)，終點(diǎn)選擇在Kn點(diǎn)，Kn在端面上的投影為K'n。那么在嚙合過程中，嚙合管齒面就重復(fù)著K1→Kn→K1的轉(zhuǎn)動，在端面上就是K1→K'n→K1的轉(zhuǎn)動。這樣可繼承原擺線針輪行星傳動的嚙合特性。

圖4 針齒嚙合管齒面示意圖

本例將K1點(diǎn)放在Yz軸上，則此時(shí)θ1=π/2，θ2可以根據(jù)文獻(xiàn)［12］中的公式計(jì)算出來。因傳動過程有正反轉(zhuǎn)，在針齒的另一側(cè)按上述方法選擇一條Γ1的等距線Γ'1就是針齒反轉(zhuǎn)接觸線。

3.2.2 嚙合管半徑

為保證嚙合管齒面Σ3上只有曲線Γ2參與嚙合，嚙合管半徑必須滿足r＜rz。同時(shí)，為保證用嚙合管齒面代替原針齒齒面時(shí)嚙合特性改變量較小，嚙合管的半徑r又不能取太小。圖4為針齒嚙合管齒面單齒齒形示意圖。

3.3 點(diǎn)接觸擺線行星傳動特性分析

將式(2)和式(13)進(jìn)行比較可知，兩式中的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)的表達(dá)式相同，因此針齒上給定的光滑曲線Γ1的共軛曲線Γ2在擺線輪上，并且該曲線沿Z軸方向按P(θ－θ1)變化，是一條擺線柱面螺線。

嚙合副中的擺線輪齒廓沒有任何的變化，只是用嚙合管齒面代替了原來的針齒齒廓。嚙合管齒面和針齒圓柱面相切于曲線Γ1處，Γ1為嚙合管齒面上的一條脊線，如圖4所示，其余各點(diǎn)的曲率半徑小于原針齒半徑，所以在嚙合過程中均不與擺線齒面接觸，即嚙合管齒面上只有曲線Γ1參與嚙合，從而具有點(diǎn)接觸的性質(zhì)。

嚙合管齒面和擺線輪齒面的端面投影與傳統(tǒng)的擺線針輪行星傳動相同。如圖4所示，嚙合管齒面上的接觸曲線就是原針齒上的一條曲線，由前述曲線的選取條件可知，這條曲線在整個(gè)針齒嚙合區(qū)域內(nèi)都有取值，因此點(diǎn)接觸的擺線行星傳動可繼承傳統(tǒng)擺線針輪行星傳動的嚙合齒數(shù)多、重合度大、嚙入嚙出平穩(wěn)、誤差平均效應(yīng)顯著等優(yōu)點(diǎn)。

3.4 實(shí)體模型

本文所研究的點(diǎn)接觸擺線針輪行星傳動裝置，是在針齒上選擇一條圓柱螺旋線為光滑曲線構(gòu)造嚙合管齒面，以嚙合管齒面為針輪新齒面同擺線輪相嚙合。點(diǎn)接觸擺線行星傳動基本參數(shù)如表1所示。

表1 點(diǎn)接觸擺線行星傳動參數(shù)表

根據(jù)表1中點(diǎn)接觸擺線行星傳動的幾何參數(shù)，利用三維建模軟件創(chuàng)建內(nèi)齒輪三維實(shí)體模型(圖5)，其嚙合管齒面實(shí)體模型如圖6所示。

圖5 針輪實(shí)體模型

圖6 嚙合管齒面模型

4 結(jié)論

(1)提出了點(diǎn)接觸擺線行星傳動的定義，并給出由擺線針輪共軛嚙合副齒面形成點(diǎn)接觸共軛嚙合的一般方法。

(2)推導(dǎo)了點(diǎn)接觸擺線行星傳動的嚙合管齒面方程及與其共軛的齒面接觸線方程。

(3)以擺線行星傳動為基礎(chǔ)，在針齒上選擇一條圓柱螺旋線為光滑曲線來構(gòu)造針齒嚙合管齒面，以嚙合管齒面同擺線輪齒面相嚙合所形成的點(diǎn)接觸擺線行星傳動為設(shè)計(jì)實(shí)例，確定其轉(zhuǎn)角參數(shù)和嚙合管半徑，討論了點(diǎn)接觸擺線行星傳動的特性。

(4)給出了點(diǎn)接觸擺線行星傳動裝置的設(shè)計(jì)參數(shù)，構(gòu)建了針輪及嚙合管齒面實(shí)體模型。

［1］Ltivin F L，F(xiàn)uentes A.Gear Geometry and Applied Theory［M］.New York:Cambridge University Press，2004.

［2］Ltivin F L，F(xiàn)eng P H.Computerized Design and Generation of Cycloidal Gearings［J］.Mechanism and Machine Theory，1996，31(7):891-911.

［3］Lai T S.Design and Machining of the Epicycloid Planet Gear of Cycloid Drives［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2006，28(7/8):665-670.

［4］Lai T S.Geometric Design of Roller Drives with Cylindrical Meshing Elements［J］.Mechanism and Machine Theory，2005，40(1):55-67.

［5］Yan H S，Lai T S.Geometry Design of an Elementary Planetary Gear Train with Cylindrical Tooth－profiles［J］.Mechanism and Machine Theory，2002，37(8):757-767.

［6］李力行.擺線針輪行星傳動的齒形修正及受力分析［J］.大連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，1984(4):40-49.

［7］李力行，洪淳赫.擺線針輪行星傳動中擺線輪齒形通用方程式的研究［J］.大連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào)，1992，13(1):7-122.

［8］關(guān)天民.擺線針輪行星傳動中擺線輪最佳修型量的確定方法［J］.中國機(jī)械工程，2002，13(10):811-813.

［9］鮑君華，何衛(wèi)東，盧琦，等.針輪輸出擺線針輪行星傳動研究［J］.中國機(jī)械工程，2010，21(19):2339-2344.

［10］陳兵奎，蔣旭君，王淑妍.新型錐形擺線輪行星傳動初步研究［J］.現(xiàn)代制造工程，2005(2):14-15.

［11］李瑰賢.空間幾何建模及工程應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［12］Chen B K，F(xiàn)ang T T，Li C Y.Gear Geometry of Cycloid Drives［J］.Science in China Series E:Technological Sciences，2008，51(5):598-610.