劉廣波，周星德，石星星，張安樂

(1.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇南京210098;2.河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇 南京210098)

0 引言

目前，車-橋系統(tǒng)的動力分析已經(jīng)發(fā)展相對成熟，而振動控制策略的研究相對滯后，專門針對高速鐵路車-橋振動控制的研究文獻并不多見.

早期的國內(nèi)外學(xué)者采用調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)對車-橋耦合振動系統(tǒng)的某一振型模態(tài)進行控制，有效地降低了橋梁在豎向的動力響應(yīng)［1-3］.但隨著列車時速不斷提高，車橋耦合系統(tǒng)的共振問題日益突出，單一的MTMD控制系統(tǒng)已無法滿足要求［4］.多頻調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(MTMD)由多個小TMD組成，可以對系統(tǒng)的一段頻率進行控制，對不同振型模態(tài)下的動力響應(yīng)都有較好的控制效果［5-7］.MTMD相對于TMD具有多頻調(diào)諧的優(yōu)點，但MTMD需要較大的安裝空間［8］，其參數(shù)選取也較為困難，如何合理地選取MTMD并設(shè)計其參數(shù)，從而實現(xiàn)對車-橋耦合系統(tǒng)的有效控制成為當(dāng)前研究的一個課題.針對以上出現(xiàn)的問題，筆者對MTMD的參數(shù)設(shè)計進行了研究，給出了MTMD各項參數(shù)的選取方法和最優(yōu)布置方案，改進了參數(shù)的設(shè)計方法，降低了經(jīng)濟成本，提高了控制的效率.

1 車-橋-MTMD系統(tǒng)振動方程

1.1 振動方程［9］

圖1所示為車-橋-MTMD耦合振動系統(tǒng)，車輛簡化為半車模型，采用二系懸掛.

圖1 車－橋－MTMD系統(tǒng)截面Fig.1 Vehicle-bridge system cross-section

1.2 整體運動方程

式中:Mb、Mν、MM分別為橋、車、MTMD 的質(zhì)量矩陣;vb、vν、vM為橋、車、MTMD 的位移矩陣;Kbb、Kνν、KMM為橋、車、MTMD 的剛度矩陣;Cbb、Cνν、Cnm為橋、車、MTMD的阻尼矩陣.

1.3 豎向振動方程

式中:m(x)為橋梁單位長度質(zhì)量;Cy(x)表示橋豎向振動的阻尼;y(x，t)表示t時刻的豎向位移;E為彈性模量;I(x)表示截面慣性矩;Fy表示豎向作用力.

1.4 扭轉(zhuǎn)振動方程

式中:Jm(x)為橋梁單位長度轉(zhuǎn)動慣量;Cθ(x)表示橋轉(zhuǎn)動方向阻尼;θ(x，t)表示t時刻的轉(zhuǎn)角;G為剪切模量;J(x)表示轉(zhuǎn)動慣性矩;Fθ表示扭轉(zhuǎn)力.

1.5 MTMD的振動方程

跨中截面處第l個TMD的振動方程如下:

式中:msl表示第l個TMD的質(zhì)量;csl表示第l個TMD的阻尼;ksl表示第l個TMD的剛度;zsl(t)表示第l個TMD的位移;esl表示第l個TMD到截面軸的距離;p為TMD的數(shù)量.

2 振動方程解耦

橋梁的豎向位移和轉(zhuǎn)角為

式中:φ、φ分別為豎向振型函數(shù)和扭轉(zhuǎn)振型函數(shù).

將式(5)、(6)帶入方程式(2)、(3)并分別左乘φ、φ，對方程兩邊進行積分，得到解耦后的方程如下:

式中:My、Cy、Ky為N階方陣，分別表示豎向模態(tài)下的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣;Mθ、Cθ、Kθ為 N 階方陣，分別表示轉(zhuǎn)動模態(tài)下的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣.

3 MTMD布置及參數(shù)設(shè)計

3.1 MTMD奇數(shù)布置法

研究發(fā)現(xiàn)控制器安裝在受控模型位移峰值處時，結(jié)構(gòu)的控制效果達到最優(yōu)，筆者將MTMD安裝在跨中截面處.

MTMD在布置時往往采取對稱布置，對稱布置又分為奇數(shù)對稱布置和偶數(shù)對稱布置，見圖2.偶數(shù)對稱布置法以截面對稱軸為準，兩側(cè)對稱安裝TMD.奇數(shù)對稱布置法首先在對稱軸處安裝TMD兩側(cè)依次布置，因此TMD的總數(shù)量要比偶數(shù)布置少，但頻帶寬度并未改變，因此二者的控制效果基本相同.

箱梁內(nèi)部空間有限，安裝和維修等都比較困難，因此MTMD中TMD的數(shù)量不宜過多.奇數(shù)對稱布置法在保證控制效果的前提下具有較少的TMD，減少橋的附加質(zhì)量以及TMD維護方面的問題，因此更加合理.

圖2 奇數(shù)(偶數(shù))對稱布置Fig.2 Odd(even)symmetrical arrangement

3.2 MTMD最優(yōu)頻率

MTMD的特點就是多頻調(diào)諧，頻率的選取對控制效果有較大影響.

第j階振型模態(tài)下TMD的頻率比為

最優(yōu)頻率比可通過求解以下方程求得

式中:Rdvj為第j階模態(tài)的響應(yīng)比函數(shù).

最優(yōu)頻率的連續(xù)性越好，控制效果也就越好，因此在進行頻率設(shè)計時要結(jié)合TMD的數(shù)量和最優(yōu)頻率特征值進行優(yōu)化設(shè)計，頻率設(shè)計應(yīng)滿足連續(xù)性好、頻帶寬度大的要求.

4 實例分析

4.1 計算參數(shù)

以臺灣高速鐵路橋為例進行仿真計算，橋長40 m，單位長度質(zhì)量38 240 N·s2·m-2，截面慣性矩17.9 m4，單位質(zhì)量極慣性矩464 500 N·s2，慣性扭矩35 m4，列車偏心距2.35 m，阻尼比2.5%，1～2階豎向振動頻率分別為22.54，90.24 rad/s，1～2階扭轉(zhuǎn)振動頻率分別為 74.54，149.08 rad/s.列車采用法國TGV高速列車，車廂長度 18.7 m，列車時速 240 km/h，半車質(zhì)量27 000 kg，轉(zhuǎn)向架質(zhì)量3 000 kg.

4.2 計算結(jié)果分析

4.2.1 扭轉(zhuǎn)振動對動力響應(yīng)的影響

由結(jié)果分析可知，考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)后跨中位移比不考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的跨中位移增大，最大位移差達到0.6 mm，位移增大約24%，如圖3所示.

圖3 動力響應(yīng)曲線Fig.3 Dynamic responses curve

扭轉(zhuǎn)效應(yīng)對新型高速鐵路橋梁的振動響應(yīng)有較大的影響，因此對高速鐵路橋梁進行動力分析應(yīng)考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響.

4.2.2 MTMD減振效果

采用MTMD控制，跨中位移和加速度明顯降低，MTMD控制取得了顯著的控制效果，如圖4所示.針對列車上橋和下橋時存在的峰值跳躍現(xiàn)象，采用MTMD-MTMD或MTMD-TMD混合控制的方法進行控制，將取得較好的效果.

圖4 跨中位移和加速度時程曲線Fig.4 Midspan displacement and acceleration curve

4.2.3 計算模態(tài)數(shù)及頻率取值

結(jié)構(gòu)的模態(tài)數(shù)對結(jié)構(gòu)的位移有較大影響，考慮較高的模態(tài)數(shù)能使結(jié)果更精確，但相應(yīng)的計算量也會增加.研究發(fā)現(xiàn)，高階模態(tài)下的響應(yīng)對結(jié)果影響較小，可以取較少的模態(tài)數(shù)進行計算.取模態(tài)數(shù)N為2和20計算，豎向與扭轉(zhuǎn)位移曲線見圖5.

對峰值處的位移進行誤差分析，最大誤差為0.05 mm.N=2相比N=20結(jié)果只減小了2.4%，但計算時間由38 s降低到2 s，這對于高速鐵路的實時控制有較大的意義.筆者建議在進行仿真計算時可僅考慮前兩階模態(tài).

圖5 模態(tài)數(shù)N=2，N=20豎向位移曲線Fig.5 Vertical displacement curve with modal number N=2，20

由式(9)可知TMD的頻率由結(jié)構(gòu)固有頻率來確定.實際設(shè)計中rfl取值范圍介于0.75～1.25之間，ωyj隨著階數(shù)的增高會急劇變大，這對于TMD設(shè)計來講是比較困難的.高階模態(tài)下的動力響應(yīng)對結(jié)果的影響不大，因此可根據(jù)結(jié)構(gòu)的低階頻率來確定小TMD的頻率.通過研究發(fā)現(xiàn)MTMD的頻率應(yīng)根據(jù)第一階模態(tài)來確定.

則式(9)改寫為:

4.2.4 奇數(shù)布置法控制效果

當(dāng)列車過橋時，奇偶布置方法取得的控制效果基本相同，最大誤差僅為0.003 mm，見圖6.偶數(shù)布置法比奇數(shù)布置法安裝的TMD數(shù)量多，導(dǎo)致橋的附加荷載增大.采用奇數(shù)布置法既能保證控制效果，又能節(jié)約成本，具有工程實用價值.因此，采用奇數(shù)布置法來布置MTMD更合理.

圖6 MTMD奇偶布置位移曲線Fig.6 Displacement curve with odd and even MTMD

5 結(jié)論

(1)扭轉(zhuǎn)振動對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有較大影響，在進行動力分析時應(yīng)考慮扭轉(zhuǎn)效應(yīng).

(2)高階模態(tài)下車-橋系統(tǒng)的振動響應(yīng)較小，在進行仿真計算時可取較少的模態(tài)數(shù)進行仿真計算，這樣可以大大減少工作量和計算時間，同時又能保證計算結(jié)果的精度.

(3)MTMD奇數(shù)對稱布置法設(shè)計更為合理，具有較大的工程意義.高階模態(tài)對計算結(jié)果影響較小，MTMD頻率應(yīng)根據(jù)第一階頻率來進行設(shè)計.

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