季 曄 劉宏昭 原大寧 王庚祥

西安理工大學(xué)，西安，710048

0 引言

機構(gòu)的性能評價是機器人研究的重要內(nèi)容之一，它對結(jié)構(gòu)參數(shù)的選取和控制策略的擬定具有決定性作用。為了量化機構(gòu)動力學(xué)性能，很多學(xué)者都曾做過相關(guān)研究。早在1982年，Salisbury等[1]采用Jacobian矩陣條件數(shù)研究了機構(gòu)運動性能。1983年，Asada[2]采用廣義慣性橢球研究了機器人動態(tài)性能特性。文獻(xiàn)[3]將機構(gòu)的Jacobian矩陣分離，分別研究了機構(gòu)的移動性能和轉(zhuǎn)動性能。文獻(xiàn)[4]研究了一種8PSS冗余并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)特性。近年來很多學(xué)者都曾對不同機構(gòu)的運動特性進(jìn)行過較為深入的研究[5-8]。

少自由度并聯(lián)機構(gòu)具有驅(qū)動元件少、成本低、結(jié)構(gòu)緊湊和性價比高等優(yōu)點，是近年來研究的熱點[9]。為了更好地控制高速精密機器人，多角度研究機構(gòu)的運動學(xué)和動力學(xué)性能具有十分重要的意義。本文通過改變4UPU機構(gòu)中某個支鏈的運動副的布置方式，得到了一種變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的具有四自由度的并聯(lián)機構(gòu)。根據(jù)機構(gòu)結(jié)構(gòu)特點和運動特性，建立了機構(gòu)位置反解方程。利用求導(dǎo)法得到了機構(gòu)一階、二階影響系數(shù)矩陣，分析了機構(gòu)的運動學(xué)和動力學(xué)評價指標(biāo)，得到了各指標(biāo)與一階、二階影響系數(shù)矩陣之間的關(guān)系。考慮速度與角速度的量綱不同、力和力矩的量綱亦不同，將雅克比矩陣分離，單獨研究機構(gòu)的轉(zhuǎn)動性能和移動性能。最后采用“分層”研究的方式，得到了機構(gòu)各運動支鏈的加速度和慣性力性能評價結(jié)果。

1 機構(gòu)結(jié)構(gòu)及自由度分析

1.1 機構(gòu)結(jié)構(gòu)描述

圖1所示的并聯(lián)機構(gòu)由4個UPU支鏈連接上下平臺構(gòu)成，其中3個支鏈的U副布置方式一致，通過改變另一支鏈U副的空間位置，得到了一種變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的并聯(lián)機構(gòu)。與運動平臺相連的U副用Ai(i=1,2,3,4)表示，與固定平臺相連的U副用Bi(i=1,2,3,4)表示。為了便于描述，Ai和Bi還表示動平臺和固定平臺與支鏈的連接點。固定平臺幾何中心O為慣性坐標(biāo)系原點，其中x軸平行于B1B2，y軸平行于B2B3；運動平臺幾何中心O′為動坐標(biāo)系原點，初始位置時x′軸平行于x軸，y′軸平行于y軸，利用右手定則確定z軸。A1B1、A2B2和A3B3支鏈的U副轉(zhuǎn)動軸線平行于x軸和z軸；另外一條支鏈的U副轉(zhuǎn)動軸線平行于y軸和z軸。機構(gòu)動平臺邊長為2a和2d，固定平臺邊長為2b和2c。

圖1 變拓?fù)銾PU并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

1.2 機構(gòu)的結(jié)構(gòu)演繹與自由度分析

原始機構(gòu)為各支鏈結(jié)構(gòu)相同的4-UPU機構(gòu)。以B1為原點，各坐標(biāo)軸方向與固定坐標(biāo)系各軸方向相同建立螺旋坐標(biāo)系，則A1B1支鏈運動螺旋為

反螺旋為

θx、θy、θz為支鏈與固定坐標(biāo)系相應(yīng)坐標(biāo)軸的夾角。每個支鏈具有相同的反螺旋，因此機構(gòu)自由度為5。由于機構(gòu)只有4個驅(qū)動支鏈，此構(gòu)型下機構(gòu)不可控。

對機構(gòu)中某條支鏈的U副進(jìn)行調(diào)整。將A4B4支鏈的U副變?yōu)閳D1所示，其運動螺旋為

反螺旋為

此時機構(gòu)動平臺具有4個自由度，2個轉(zhuǎn)動自由度被限制(繞x軸和y軸轉(zhuǎn)動)。如果鎖住AiBi支鏈的4個移動副，動平臺自由度為0，機構(gòu)輸入合理。

2 機構(gòu)位置關(guān)系方程的建立

經(jīng)分析可知，機構(gòu)具有空間3個移動和1個繞x軸轉(zhuǎn)動的自由度，因此機構(gòu)的動平臺自由度用廣義坐標(biāo)可表示為X=(x,y,z,α)T。

各支鏈的矢量為

Ii=TxA′i+(x,y,z)T-Bi

(1)

i=1,2,3,4

其中，A′i為動平臺各鉸點在動坐標(biāo)系下的向量；Bi為固定平臺各鉸點在慣性坐標(biāo)系下的向量；(x,y,z)為動坐標(biāo)系原點在固定坐標(biāo)系下的矢量；Tz為動坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，即

式中，α為動平臺繞z軸轉(zhuǎn)動的歐拉角。

以各支鏈移動副作為輸入，通過改變支鏈的長度來控制動平臺的位姿，各支鏈長度為

(2)

式中，Ii(1)、Ii(2)、Ii(3)分別為各支鏈?zhǔn)噶康牡谝恍小⒌诙?、第三行元素?/p>

3 運動影響系數(shù)的建立

并聯(lián)機構(gòu)的一階、二階影響系數(shù)求解方法主要有兩種：封閉向量求導(dǎo)法和旋量法。由于已知機構(gòu)的位置關(guān)系方程，因此采用前者進(jìn)行求解。

3.1 一階影響系數(shù)矩陣

機構(gòu)的輸入與輸出速度關(guān)系滿足：

(3)

當(dāng)J非奇異時，則

(4)

G=J-1

式中，J為各支鏈輸入速度對動平臺位姿速度的一階影響系數(shù)矩陣；G為動平臺位姿速度對各支鏈輸入速度的一階影響系數(shù)矩陣，即通常所說的Jacobian矩陣。

3.2 二階影響系數(shù)矩陣

機構(gòu)的輸入和輸出之間存在解析關(guān)系，J和G中各元素可表示為

Jij=f(x,y,z,γ)

Gij=f(l1,l2,l3,l4)

i,j=1,2,3,4

根據(jù)機構(gòu)輸入、輸出速度關(guān)系方程式(式(3)、式(4))，分別對時間求導(dǎo)得

(5)

(6)

K和H可表示為

式(6)和式(5)為機構(gòu)加速度正逆解方程。K和H分別為支鏈輸入加速度對動平臺位姿加速度的二階影響系數(shù)矩陣和動平臺位姿加速度對各支鏈輸入加速度的二階影響系數(shù)矩陣。Ki和Hi可作為第i條支鏈的二階影響系數(shù)矩陣。

4 機構(gòu)性能評價指標(biāo)分析

機構(gòu)的運動性能評價指標(biāo)主要包括速度、加速度、承載力、驅(qū)動力和慣性力等。其中，速度、承載力、驅(qū)動力等由機構(gòu)的一階影響系數(shù)決定，而加速度和慣性力不僅與一階影響系數(shù)有關(guān)，還與二階影響系數(shù)有關(guān)，各性能指標(biāo)分析如下。

4.1 速度性能指標(biāo)

(7)

其中,‖G‖‖G-1‖是Jacobian矩陣的條件數(shù)，表示矩陣計算對誤差的敏感性，是機構(gòu)運動精度的度量，記為kG。kG越小，機構(gòu)的速度偏差越小。

4.2 承載力、驅(qū)動力性能指標(biāo)

機構(gòu)的承載力是機構(gòu)動平臺承受的廣義力，驅(qū)動力為各支鏈在動平臺位于不同位姿時所承受的軸向力。定義支鏈輸入的驅(qū)動力為f，動平臺廣義力為F。由于機構(gòu)速度映射與力映射之間存在明顯的對偶關(guān)系，則存在

F=GTf

因此機構(gòu)的承載力和驅(qū)動力出現(xiàn)擾動，其性能評價與速度性能指標(biāo)分析類似。

4.3 加速度性能指標(biāo)

(8)

令

則有

存在

(9)

由于

即

存在

(10)

由式(9)和式(10)可知，加速度的擾動與‖G‖‖G-1‖和‖H‖‖H-‖有關(guān)，而‖H‖·‖H-‖為H的條件數(shù)，記為kH。kG和kH越小，機構(gòu)的加速度偏差相對越小。

4.4 慣性力性能指標(biāo)

慣性力F為質(zhì)量與加速度的乘積，質(zhì)量是不變量，不受擾動的影響。根據(jù)前述分析，性能指標(biāo)需同時包含G和H，文獻(xiàn)[10]采用g=‖G‖+‖H‖作為評價指標(biāo)。為了得到各支鏈擾動對慣性力敏感程度，對機構(gòu)的慣性力性能研究進(jìn)行改進(jìn)，采用如下評價方法:

gi=‖Gi‖+‖Hi‖

(11)

5 機構(gòu)性能分析結(jié)果

圖1所示機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)選取如下：a=0.23m，b=0.95m，c=0.36m，d=0.22m。根據(jù)實際任務(wù)空間，機構(gòu)動平臺中心點運動范圍為x,y∈[-0.2m,0.2m]，為了提高計算效率，分析性能指標(biāo)時，均取z等于0.9m、1.0m和1.1m三個運動層為研究對象。機構(gòu)的Jacobian矩陣G∈R4×4，其中前三行組成3×4矩陣，記為GT；最后一行為1×4矩陣，記為GR。GT和GR具有不同的量綱，分別作為速度和力、角速度和力矩的性能評定指標(biāo)，因此kG的圖譜由兩部分組成，結(jié)果如圖2所示。

(a)對應(yīng)GT的性能指標(biāo)

(b)對應(yīng)GR的性能指標(biāo)圖2 kG性能指標(biāo)圖譜

GT的條件數(shù)性能圖譜空間分布均勻，包含3層連續(xù)的曲面，從上到下各層分別對應(yīng)于z等于1.1m、1.0m和0.9m。當(dāng)動平臺位于z=0.9～1.1m任務(wù)空間內(nèi)時，GT條件數(shù)分布于z=0.9m和z=1.1m性能圖譜構(gòu)成的曲面之間；不管機構(gòu)的動平臺位于任務(wù)空間的任何位置，GR的條件數(shù)均為1。

為了更為細(xì)致地評定加速度性能指標(biāo)，采用“分層”研究的方式，說明機構(gòu)的加速度性能。根據(jù)上述分析可知，加速度性能由兩部分決定，即輸入擾動對M1和M2的影響。M1部分的指標(biāo)分析如圖2所示，M2部分的指標(biāo)分析如圖3所示。

(a)A1B1支鏈的二階影響系數(shù)性能指標(biāo)

(b)A2B2支鏈的二階影響系數(shù)性能指標(biāo)

(c)A3B3支鏈的二階影響系數(shù)性能指標(biāo)

(d)A4B4支鏈的二階影響系數(shù)性能指標(biāo)圖3 kHi性能指標(biāo)圖譜

kHi表示機構(gòu)的第i條支鏈存在擾動時對M2的影響程度。第一、第四條支鏈對應(yīng)Hessian矩陣的第一和第四層，從圖3可以看出，這兩條支鏈存在擾動時對動平臺的影響相對較小，而第二、第三條支鏈存在擾動時，動平臺受到的影響相對較大。

對機構(gòu)慣性力的性能分析依然采用“分層”研究的方法，各支鏈的慣性力性能由g決定，計算結(jié)果如圖4所示。

(a)A1B1支鏈的慣性力性能指標(biāo)

(b)A2B2支鏈的慣性力性能指標(biāo)

(c)A3B3支鏈的慣性力性能指標(biāo)

(d)A4B4支鏈的慣性力性能指標(biāo)圖4 慣性力性能指標(biāo)圖譜

與加速度性能指標(biāo)類似，第一、第四條支鏈的慣性力性能較好，其靈敏度和靈巧性好于第二、第三條支鏈。

在任務(wù)空間內(nèi)，上述各性能指標(biāo)計算結(jié)果范圍如表1所示。

當(dāng)運動平臺和固定平臺結(jié)構(gòu)尺寸b、c和d恒定，a分別取0.2m和0.3m時，機構(gòu)的GR的條件數(shù)不變，GT的條件數(shù)變化很小，Hi和gi的條件數(shù)隨a的增大而增大；當(dāng)運動平臺和固定平臺結(jié)構(gòu)尺寸a、b和c恒定，d取0.2m和0.28m時，機構(gòu)的GR的條件數(shù)不變，GT的條件數(shù)逐漸增大，而Hi和gi的條件數(shù)變化復(fù)雜，對應(yīng)條件數(shù)均大于d=0.23m時的計算結(jié)果，尤其是H3的條件數(shù)發(fā)生“跳動”，最大值超過468；當(dāng)運動平臺和固定平臺結(jié)構(gòu)尺寸a、c和d恒定，b取0.9m和1m時，機構(gòu)的GR的條件數(shù)不變，GT的條件數(shù)均大于b=0.95m時的值，同時Hi和gi的條件數(shù)也有所增大，其中H3的條件數(shù)也出現(xiàn)“跳動”，數(shù)值較大；當(dāng)運動平臺和固定平臺結(jié)構(gòu)尺寸a、b和d恒定，c取0.3m和0.4m時，機構(gòu)的GR的條件數(shù)不變，GT的條件數(shù)均大于b=0.95m時的值，同時Hi和gi的條件數(shù)也有所增大，其中H3的條件數(shù)依然出現(xiàn)“跳動”，數(shù)值較大。

表1 性能指標(biāo)范圍

6 結(jié)語

通過改變機構(gòu)一條五自由度并聯(lián)機構(gòu)支鏈的結(jié)構(gòu)，得到了一種具有3個移動和1個轉(zhuǎn)動自由度的并聯(lián)機構(gòu)。根據(jù)該變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)機構(gòu)的位置關(guān)系方程，利用求導(dǎo)法得到了機構(gòu)的正逆Jacobian矩陣和Hessian矩陣。由于機構(gòu)的性能指標(biāo)與兩矩陣有直接關(guān)系，針對不同的性能指標(biāo)，得到了各指標(biāo)與兩矩陣之間的映射關(guān)系。根據(jù)不同量綱，將Jacobian矩陣分離，分析了機構(gòu)速度、承載力和驅(qū)動力性能，得到了任務(wù)空間內(nèi)一階性能圖譜；利用“分層”研究的策略，得到了機構(gòu)各支鏈與動平臺之間的加速度性能和慣性力性能，得到了二階性能圖譜。

計算結(jié)果表明，按照文中的尺寸參數(shù)選取，機構(gòu)各性能指標(biāo)在任務(wù)空間內(nèi)變化較小且分布均勻，具有良好的對稱性，運動學(xué)和動力學(xué)性能較好。如果改變上平臺或下平臺的某個結(jié)構(gòu)參數(shù)可能會使機構(gòu)某些性能嚴(yán)重下降，如H3的條件數(shù)過大，造成輸入和輸出之間加速度關(guān)系失真。上述分析為機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定提供了依據(jù)。

[1] Salisbury J K, Craig J J. Articulated Hands Force Control and Kinematics Issues[J]. International Journal of Robot Research, 1982, 1(1): 4-17.

[2] Asada H. A Geometrical Representation of Manipulators Dynamics and Its Application to Arm Design[J]. Transaction of ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, 1983, 105(3): 131-142.

[3] Philippe C, Samuel B, Clement G. Kinematic-sensitivity Indices for Dimensionally Nonhomogeneous Jacobian Matrices[J]. IEEE Transaction on Robotics, 2010, 26(1): 166-173.

[4] Zhao Yongjie, Gao Feng. Dynamic Performance Comparison of the 8PSS Redundant Parallel Manipulator and Its Non-redundant Counterpart—the 6PSS Parallel Manipulator[J]. Mechanism and Machine Theory, 2009,44:991-1008.

[5] Liu Xinjun, Wang Jinsong, Pritschow G. Performance Atlases and Optimum Design of Planar 5R Symmetrical Parallel Mechanisms[J]. Mechanism and Machine Theory, 2006,41(2):119-144.

[6] Imed M, Mohammed O. The Power Manipulability-a New Homogeneous Performance Index of Robot Manipulators[J]. Robotics and Computer-integrated Manufacturing, 2011, 27(2):434-449.

[7] Georg N. New Performance Indices for 6-dof UPS and 3-dof RPR Parallel Manipulator[J]. Mechanism and Machine Theory, 2009, 44(1):208-221.

[8] Wu Jun, Wang Jinsong, Wang Liping, et al. Performance Comparison of Three Planar 3-DOF Parallel Manipulators with 4-RRR, 3-RRR and 2-RRR Structures[J]. Mechatronics, 2010, 20(4): 510-517.

[9] Xu Qingsong, Li Yangmin. An Investigation on Mobility and Stiffness of a 3-DOF Translational Parallel Manipulator Via Screw Theory[J]. Robotics and Computer-integrated Manufacturing,2008，24(3): 402-414.

[10] 劉爽，郭希娟，劉彬.4-RR(RR)R并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)性能指標(biāo)分析[J]. 機械工程學(xué)報，2008，44(7)：63-68.