李海蓉

（寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，寧夏 銀川750021）

1 引 言

美式期權(quán)是一張具有提前實(shí)施條款的合約。由于可以提前實(shí)施，持有人擁有比歐式期權(quán)更多的獲利機(jī)會(huì)，因此一般來(lái)說(shuō)它歐式期權(quán)價(jià)格更高一些，持有人花了更多的期權(quán)金，能否獲得相應(yīng)回報(bào)，這取決于持有人能否抓住有利時(shí)機(jī)，適時(shí)地實(shí)施這張合約，以獲取利益，這是一個(gè)對(duì)每個(gè)美式期權(quán)持有人都必須要考慮的問(wèn)題。但美式期權(quán)與歐式期權(quán)不同，它不可能得到解的顯式表達(dá)式，所以研究它的數(shù)值解以及解本身的一些性質(zhì)就顯得尤為重要。

金融數(shù)學(xué)是一門(mén)新型的金融學(xué)與數(shù)學(xué)的交叉學(xué)科。金融數(shù)學(xué)主要是采用高等數(shù)學(xué)的方法對(duì)金融的理論和實(shí)踐進(jìn)行定性和定量的分析研究。在金融市場(chǎng)中，風(fēng)險(xiǎn)無(wú)處不在：如資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)、利率風(fēng)險(xiǎn)、貨幣風(fēng)險(xiǎn)、信用風(fēng)險(xiǎn)及商品風(fēng)險(xiǎn)等。面對(duì)風(fēng)險(xiǎn)可以有兩種態(tài)度：一是回避風(fēng)險(xiǎn)，把它轉(zhuǎn)化為所希望的形式；二是承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，期望通過(guò)投資去獲取風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)，即投機(jī)。金融衍生物就是一種風(fēng)險(xiǎn)管理的工具，它的價(jià)值依賴(lài)于其他更基本的原生資產(chǎn)的價(jià)格變化。期權(quán)是最重要的金融衍生工具之一，它在防范和規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)以及投機(jī)中起著非常重要的作用，期權(quán)理論的核心就是期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。

2 定價(jià)模型

在期權(quán)定價(jià)的研究過(guò)程中，早在1900年，Louis Bachelier就在他的學(xué)位論文中首次利用隨機(jī)游動(dòng)思想給出了股票價(jià)格運(yùn)行的隨機(jī)模型，并提出了期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，被公認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)的里程碑。1964年，Paul Samuelson對(duì)Louis Bachelier的模型進(jìn)行了修正，以股票的回報(bào)代替原模型中的股票價(jià)格，這個(gè)修改克服了原先模型中可能使股票價(jià)格出現(xiàn)負(fù)值的不合理情況?；谶@個(gè)模型，Paul Samuelson還研究了看漲期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，但公式存在缺陷，在實(shí)際交易當(dāng)中它是不能應(yīng)用的。1973年，F(xiàn)ischer Black和Myron Scholes推導(dǎo)出了著名的Black－Scholes方程：

設(shè)V＝V（S，t）是期權(quán)價(jià)格，它在期權(quán)的到期日t＝T時(shí)

這里K是期權(quán)的敲定價(jià)。

利用Δ－對(duì)沖技巧，給出期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型。

設(shè)在時(shí)刻t形成投資組合

（Δ是原生資產(chǎn)的份額），選取適當(dāng)?shù)摩な沟迷冢╰，t＋dt）時(shí)段內(nèi)，∏是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，因此在時(shí)刻t＋dt，投資組合的回報(bào)是

即

由于

其中St是由隨機(jī)微分方程（1）確定的隨機(jī)過(guò)程，因此由It?公式得

把它代入（2）式，得

由于等式右端是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，因此等式左端隨機(jī)項(xiàng)dWt的系數(shù)必為0，即選取

將它代入（3），并消去dt得到

這就是刻畫(huà)期權(quán)價(jià)格變化的偏微分方程－Black－Scholes方程。

本文討論的美式看跌期權(quán)所對(duì)應(yīng)的微分方程即為

其中，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，σ為股票價(jià)格波動(dòng)率，S為標(biāo)的股票價(jià)格，V表示的是期權(quán)價(jià)格。

3 隱式差分格式推導(dǎo)

把從0時(shí)刻到期權(quán)到期日（即T時(shí)刻）的有效期分成有限個(gè)等間隔的不同的小時(shí)間段，令于是把合約有效期[0，T]分成N＋1個(gè)等間隔的不同的小時(shí)間段：

同時(shí)等間隔剖分股票價(jià)格段，令Smax為可達(dá)到的足夠高的股票價(jià)格，定義，則得到M＋1個(gè)股票價(jià)格：

進(jìn)行網(wǎng)格剖分后，共有（M＋1）（N＋1）個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)（n，j）對(duì)應(yīng)時(shí)刻nΔt和股票價(jià)格jΔS，用變量Vnj代表（n，j）點(diǎn)對(duì)應(yīng)的期權(quán)的價(jià)格。

把（6）、（7）、（8）式代入微分方程（5）式中，并且由S＝j(luò)ΔS，可得：

其中j＝1，2，…，M－1，n＝0，1，2，…，N－1，各項(xiàng)經(jīng)過(guò)合并，可得到：

其中

根據(jù)看跌期權(quán)的邊界條件，T時(shí)刻的價(jià)值為max[X－ST，0]，因此：

當(dāng)股票價(jià)格為0時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)值是X，因此：

當(dāng)股票價(jià)格趨于無(wú)窮時(shí)，看跌期權(quán)的價(jià)值趨于0，因此有近似值：

（11）、（12）、（13）式定義了三個(gè)邊界S＝0，S＝Smax和t＝T的期權(quán)值。還需用（10）式求出左邊界的V值，首先求出時(shí)刻T－Δt即n＝N－1對(duì)應(yīng)的值。當(dāng)n＝N－1時(shí)，利用（10）式可以給出M－1個(gè)同時(shí)成立的公式：

其中VN，j已由（11）式給出，此外，由（12），（13）式可得

則得到三對(duì)角方程組Ax＝b，用追趕法求解此方程組即可得到T－Δt時(shí)刻對(duì)應(yīng)的值：

然后把每個(gè)與X－jΔS進(jìn)行比較，如果＜X－jΔS，最好在T－Δt時(shí)刻執(zhí)行期權(quán)，這樣就使取為X－jΔS，與T－2Δt對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)也按同樣的方式處理，依此類(lèi)推，最后就會(huì)得到，最后，根據(jù)股票的當(dāng)前價(jià)格，就可確定相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格。

4 數(shù)值算例

考慮一個(gè)不支付紅利的美式股票看跌期權(quán)，設(shè)有效期為分別為3、6、9個(gè)月，標(biāo)的股票現(xiàn)價(jià)為60美元，執(zhí)行價(jià)格為60美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率取0.1，波動(dòng)率為0.2。

表1 美式股票看跌期權(quán)隱式格式（M＝30）

該表給出了現(xiàn)價(jià)為60美元的股票，其所對(duì)應(yīng)的股票看跌期權(quán)在期權(quán)執(zhí)行期分別為T(mén)＝3、6、9個(gè)月時(shí)當(dāng)前時(shí)刻期權(quán)的估值。從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，隱式差分格式是一種收斂的有效可行的計(jì)算方法。

5 結(jié)束語(yǔ)

期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是金融數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中非常重要的一個(gè)內(nèi)容，近幾年越來(lái)越多的研究者投入到了對(duì)期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的探討之中，也取得了很多的成果。本文主要討論美式看跌期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，以Black－Scholes方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)該方程的隱式差分格式，并通過(guò)數(shù)值算例看出美式期權(quán)定價(jià)的隱式差分方法是一種有效可行的計(jì)算方法。

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