楊 杰，李春曉，馬永陽

(1.浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，浙江杭州310023;2.浙江工業(yè)大學(xué)之江學(xué)院，浙江 杭州310024)

0 引言

一般情況下，研究波束形成算法的前提是知道確定的駕駛向量，即波達(dá)方向以及陣列是確定的［1、2］。但是，在實際的情況下，對于確切的駕駛向量是很難得到的，這時候就需要研究對于駕駛向量不確定的情況下的波束形成問題［3］?；贐ayesian方法的魯棒自適應(yīng)波束形成算法在駕駛向量不確定的情況下具有一定的魯棒性。在高信噪比的條件下，Bayesian魯棒波束形成算法能在期望信號處產(chǎn)生較高的增益，這樣就會利于期望信號的提取;而在低信噪比的條件下，Bayesian魯棒波束形成算法卻能夠使主波束展寬，這樣的處理效果對于那些信源波達(dá)方向不確定的情況具有很好的寬容性。

1 Bayesian波束形成算法

Bayesian魯棒波束形成算法是基于Bayesian準(zhǔn)則的，所以在實際的應(yīng)用中，假設(shè)信號波達(dá)方向θ是服從先驗概率密度函數(shù)p(θ)的隨機(jī)變量，這里的p(θ)反映了信號駕駛向量不確定性的程度。為了方便計算，假設(shè)p(θ)由P個離散點Θ=θ1，…，θp組成，則最小均方誤差波束形成器的輸出為:

式中，s0(t)為期望信號，Xk為K次采樣的陣列接收矩陣，p(θi|Xk)是角度θ的后驗概率密度，即:

由矩陣求逆［4］及代入陣列接收矩陣等相關(guān)知識可以得到后驗概率密度函數(shù)為:

式中，c是一個獨立于θi的歸一化因子以保證概率密度函數(shù)的總和等于1。為了使波束形成器更有應(yīng)用性，用來代替 RX，用)－1來代替。這樣，Bayesian波束形成器將成為一個由后驗概率密度函數(shù)加權(quán)的一系列自適應(yīng)MVDR波束形成器的線性組合。但是，計算這個后驗概率密度函數(shù)卻是一個巨大的問題，由于式3是一個Rn的函數(shù)，所以這對于實際應(yīng)用非常困難［5］。與其為了估計Rn而大大增加Bayesian波束形成器的復(fù)雜度，不如去尋找一個簡單展開式，使它與后驗概率密度函數(shù)近似?，F(xiàn)定義:

因為Rn是未知的，這里假設(shè)理想MVDR的權(quán)向量為:

那么，后驗概率將近似等于:

于是，得到Bayesian自適應(yīng)波束形成器的權(quán)向量為:

2 仿真結(jié)果與分析

2.1 參數(shù)設(shè)置

在Bayesian波束形成器的仿真中，必須指定一些參數(shù):采樣快拍數(shù)K、常數(shù)γ、Θ中長度為L的離散波達(dá)方向的值、先驗概率p(θ)以及對角加載值σ2。指定這些參數(shù)的值涉及到對波束形成器性能的權(quán)衡，最佳參數(shù)的設(shè)置由具體情況而定。

本文的仿真中，取10陣元均勻線陣，采樣快拍數(shù)K=30，常數(shù)γ=0.6，干燥比INR=20dB，先驗概率長度 L=6 且服從均勻分布，即 p(θi)=1/6，i=1，…，6。

2.2 仿真對比及分析

在上述的參數(shù)設(shè)置下，得到Bayesian波束形成器在不同信噪比及干擾的情況下的波束圖和后驗概率分布圖如圖1，2所示。

由圖1可以看出，在高信噪比情況下，后驗概率密度在真實信號方向附近有值，而在其他方向的后驗概率趨于0，所以，Bayesian波束形成器能夠準(zhǔn)確地在真實波達(dá)方向附近形成波峰。在圖2中，由于信噪比低以及干擾增多，波束形成器的一部分增益不會貢獻(xiàn)到主波束的波峰上。此時，后驗概率接近于先驗概率的數(shù)值，這也恰好反映了由于信號環(huán)境惡劣，得到的數(shù)據(jù)很難提供關(guān)于駕駛向量的有用信息。Bayesian波束形成器在這種情況下就表現(xiàn)出了良好的魯棒性能，憑借先驗概率函數(shù)里的信息，能夠在先驗概率的范圍內(nèi)形成一個較寬的波束，來包容由于駕駛向量不確定而造成的偏差。

通過上述仿真對比，可以證明Bayesian波束形成器的性能，它能夠綜合觀測數(shù)據(jù)及關(guān)于波達(dá)方向先驗概率的知識，從而對駕駛向量不確定的情況具有很好的魯棒性。在高低信噪比情況下，波束形成器后驗概率分布有明顯不同?？梢钥闯觯哂恤敯粜缘牟ㄊ嗡惴▽︸{駛向量不確定時的偏差具有較強(qiáng)的寬容性。

3 水聲陣列實際數(shù)據(jù)校驗

本文實際陣列模型為:陣列為32陣元均勻線陣，每個陣元間距為0.04m，水深1.44m，目標(biāo)距離9.0m，目標(biāo)深度0.83m，聲音在水中的傳播速度為1 500m/s。為了簡化計算，把模型設(shè)定為遠(yuǎn)場的情況，即信號到各陣元的延遲忽略不計。由此可以很快計算出信號的實際入射角度為1.209 4°。

如圖3所示，魯棒算法能夠較好地形成一個擁有主瓣的波束，并且主瓣波峰對應(yīng)的角度正是實際目標(biāo)的波達(dá)方向(可能由于數(shù)據(jù)長度、采樣點數(shù)等因素影響會有微小誤差)，驗證了Bayesian魯棒波束形成算法的有效性。通過實際水聲陣列數(shù)據(jù)的仿真，搭起了一座理論與實際相聯(lián)系的橋梁［6］。

圖3 基于實際數(shù)據(jù)的Bayesian魯棒波束形成算法仿真圖

4 結(jié)束語

綜上所述，基于Bayesian準(zhǔn)則的魯棒波束形成算法在駕駛向量不確定的情況下具有一定的魯棒性。本文通過仿真對比了波束形成器在不同信噪比及干擾的情況下的性能，驗證了該波束形成算法的理論。最后，還通過水聲陣列實際數(shù)據(jù)來校驗該算法的有效性，得到較為滿意的結(jié)果。

［1］ 楊維，陳俊仕，李世明.移動通信中的陣列天線技術(shù)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005:16－20.

［2］ PrasadA S，Vasudevan S，Selvalakshmi R.Analysis of adaptive algorithms for digital beamforming in smart antennas［J］.Recent Trends in Information Technology，2011，3(5):64 －68.

［3］ Lin G，Li Y A，Jin B L.Research on the algorithms of robust adaptive beam forming［J］.Mechatronics and Automation，2010，4(7):751 －755.

［4］ 張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2004:112－128.

［5］ Am leh K，Li HB.Robust channel estimation and detection for single-carrier and multicarrier block transmission systems［J］.Vehicular Technology，2010，59(2):662 －672.

［6］ Chang L N.A robust adaptive beam former for high-rate underwater acoustic communication systems［J］.Underwater Technology，1988，15(17):493 －498.