張薇 馮孝輝 鄧忠民

（1北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京100191）（2航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京100094）

1 引言

多衛(wèi)星協(xié)同為空間交會(huì)、對(duì)接、捕獲、組裝及多方位觀測(cè)等在軌服務(wù)提供更強(qiáng)有力的技術(shù)支持，擴(kuò)展了航天器的功能和技術(shù)性能，小衛(wèi)星編隊(duì)的應(yīng)用領(lǐng)域和應(yīng)用模式不斷拓展，在深空探測(cè)、科學(xué)試驗(yàn)、對(duì)地觀測(cè)和空間控制等領(lǐng)域都將發(fā)揮巨大的作用。

國(guó)內(nèi)外已經(jīng)在小衛(wèi)星編隊(duì)方面取得了大量的研究成果。早期的研究多針對(duì)簡(jiǎn)化的主從結(jié)構(gòu)研究編隊(duì)的保持問(wèn)題，主從結(jié)構(gòu)隊(duì)形保持，主星不受控制，從星相對(duì)主星進(jìn)行控制[1-3]。主星由于攝動(dòng)等在空間發(fā)生漂移無(wú)法體現(xiàn)，可能造成在隊(duì)形一定情況下，編隊(duì)已經(jīng)偏離任務(wù)區(qū)域[4]。此外，主星失效勢(shì)必造成整個(gè)編隊(duì)飛行任務(wù)的失敗，因此目前的研究重點(diǎn)多集中于無(wú)主星的編隊(duì)控制問(wèn)題。本文針對(duì)空間近距離衛(wèi)星編隊(duì)在隊(duì)形保持基礎(chǔ)上的整體轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng)，推導(dǎo)了J2相對(duì)攝動(dòng)力的表達(dá)式，建立了一種基于視線測(cè)量的無(wú)主星鏈?zhǔn)礁檯f(xié)同控制策略，控制方法利用滑模變結(jié)構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)，控制模型考慮了模型不確定和噪聲干擾。建立了整體編隊(duì)機(jī)動(dòng)的優(yōu)化模型。仿真算例表明，視線測(cè)量協(xié)同控制策略能夠?qū)崿F(xiàn)衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)形保持和編隊(duì)整體轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng)。

2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析

參考衛(wèi)星和主動(dòng)衛(wèi)星做近距離相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即兩航天器之間的相對(duì)距離遠(yuǎn)小于航天器與地心之間的距離，可以在參考衛(wèi)星坐標(biāo)系中建立相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程[5]

由J2引起的地球重力加速度在慣性坐標(biāo)系里分量為[6]：

由Kepler軌道方程：

參考衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)為

式中Lio為地心軌道坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化矩陣[7]。

用 （xyz）T表示主動(dòng)衛(wèi)星在參考衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系中的位置矢量，那么，它在慣性坐標(biāo)系中的分量為

式中Lic為軌道坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣[8]。它們的相對(duì)位置引起的攝動(dòng)力之差（在慣性坐標(biāo)系中的分量）為

將式（3）轉(zhuǎn)到參考衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系中有：

式中Lci是Lic的逆矩陣；fxc，fyc，fzc則為相對(duì)位置引起的J2項(xiàng)對(duì)衛(wèi)星的相對(duì)攝動(dòng)力。

3 協(xié)同控制器設(shè)計(jì)

基于上述相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析，建立無(wú)主星編隊(duì)。隊(duì)形控制采用基于視線測(cè)量的循環(huán)協(xié)同控制方法，即編隊(duì)每個(gè)成員向自己軌道前一成員建立視線測(cè)量，如圖1所示。假定N（N≥3）個(gè)衛(wèi)星組成的編隊(duì)，編隊(duì)衛(wèi)星Sm跟蹤自己最臨近的前方編隊(duì)衛(wèi)星Sn，S1根據(jù)上級(jí)控制層指令追蹤目標(biāo)軌道，產(chǎn)生鏈?zhǔn)骄庩?duì)，那么在t時(shí)刻，衛(wèi)星Sm視線矢量lm（t），（t）可以定義[1]為

其中有N≥3，n＝m-1，m≥2，ρm（t）和（t）為Sm的位置矢量和速度矢量。

編隊(duì)航天器在機(jī)動(dòng)中的誤差可以表示為[8]

式中l(wèi)d（t），d（t）為參考軌道的位置矢量和速度矢量，而控制系統(tǒng)的目標(biāo)就是在一定控制時(shí)間使em，趨向于0，實(shí)現(xiàn)給定的位置跟蹤。為了便于控制器的設(shè)計(jì)，考慮系統(tǒng)不確定性及干擾，式（1）可改寫(xiě)為

圖1 循環(huán)編隊(duì)示意圖Fig.1 Chain formation flight

或

式中x＝[x，y，z，，，]T為系統(tǒng)的狀態(tài)，輸入為擾動(dòng)項(xiàng)為

式中 ΔA表示模型參數(shù)的不確定性；ΔB表示輸入的干擾和不確定性；d代表任意匹配的攝動(dòng)。D滿足系統(tǒng)的匹配條件，‖D‖≤δ，2δ認(rèn)為是干擾的界限。

滑模控制的滑模面設(shè)計(jì)[9]為

式中S＝[s1，s2，s3]T；C＝diag（c1，c2，c3），為滑?？刂茀?shù)。

設(shè)計(jì)滑模系統(tǒng)的趨近律為

式中K＝diag（k1，k2，k3）是控制增益矩陣，k1，k2，k3為常數(shù)，ki＞ δ，i＝1，2，3。因此系統(tǒng)的輸入可以得到：

符號(hào)函數(shù)sgn（S）為

利用李雅普諾夫函數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，系統(tǒng)的函數(shù)可以記為

所以有：

因此，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

為減少系統(tǒng)的抖振，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：

其中ε為常數(shù)，因此系統(tǒng)的輸入變?yōu)?/p>

4 優(yōu)化模型

滑模變結(jié)構(gòu)控制的控制效果與控制器的滑模面選取，趨近率和邊界層寬度有很大的關(guān)系。c越大，滑模運(yùn)動(dòng)段相應(yīng)越快，系統(tǒng)快速性越好，但過(guò)大的c值都將使控制量過(guò)大，實(shí)際中會(huì)引起抖振，設(shè)置整體編隊(duì)機(jī)動(dòng)的優(yōu)化模型為

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

式中w1，w2，…，wn為編隊(duì)成員衛(wèi)星燃料消耗的加權(quán)項(xiàng)；a1，a2，…，an為編隊(duì)成員衛(wèi)星最大位置誤差的加權(quán)項(xiàng)。

機(jī)動(dòng)優(yōu)化的約束條件：

1）優(yōu)化變量的取值約束：

2）機(jī)動(dòng)結(jié)束后的位置約束條件：

式中r為編隊(duì)成員衛(wèi)星在軌道坐標(biāo)系下的矢徑；rd為編隊(duì)成員衛(wèi)星機(jī)動(dòng)的目標(biāo)矢徑。

5 算例分析

利用精度較高的相對(duì)軌道要素法，建立基于參考軌道的無(wú)主星三星圓形編隊(duì)，編隊(duì)參考軌道的軌道要素為：a＝7 300km，e＝0．01，i＝30°，Ω＝0°，ω＝0°，M＝45°。

在仿真中，采用非線性動(dòng)力學(xué)模型公式（1），考慮攝動(dòng)影響，J2攝動(dòng)和隨機(jī)白噪聲干擾。使用了上文提供的協(xié)同控制方案以及基于非線性模型的低端滑?？刂破?，編隊(duì)衛(wèi)星在參考衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系下的初始位置與速度如表1所示。

1）隊(duì)形整體機(jī)動(dòng)仿真。在某時(shí)刻，假設(shè)S1衛(wèi)星接收地面指令或更高級(jí)控制層命令，編隊(duì)繞飛中心從參考衛(wèi)星軌道坐標(biāo)系中心改為（1，10，1）km，編隊(duì)整體執(zhí)行變軌，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌道的跟蹤，S2跟蹤S1，S3跟蹤S2，通過(guò)視線測(cè)量信息，自主地完成隊(duì)形控制，控制參數(shù)設(shè)置為ε＝0．001，C＝diag[4×10-5，4×10-5，4×10-5]，K＝diag[7．6×10-5，7．6×10-5，7．6×10-5]，仿真結(jié)果如圖2所示。編隊(duì)整體機(jī)動(dòng)過(guò)程中的星間距離如圖3所示。

表1 編隊(duì)衛(wèi)星初始狀態(tài)Tab.1 Initial status of formation satellites m

圖2 鏈?zhǔn)骄庩?duì)隊(duì)形整體機(jī)動(dòng)Fig.2 Chain formation maneuver

圖3 編隊(duì)整體機(jī)動(dòng)過(guò)程中的星間距離Fig.3 Distance between satellites during formation whole maneuver

2）優(yōu)化機(jī)動(dòng)仿真。趨近率參數(shù)k、邊界層參數(shù)ε與滑模面參數(shù)c的確定，往往受到多個(gè)相互制約因素的影響。為了得到較好的系統(tǒng)性能，運(yùn)用遺傳算法（Genetic Algorithms，GA）來(lái)優(yōu)化和確定這些參數(shù)，在相互矛盾的約束條件下，取得最佳的控制效果?；谇懊娼o出的優(yōu)化模型，初始條件采用表1中的衛(wèi)星編隊(duì)初始條件，設(shè)計(jì)編隊(duì)為三星低軌道圓形編隊(duì)，優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)值取為1、1、1，0、0、0，即優(yōu)化目標(biāo)為編隊(duì)機(jī)動(dòng)整體燃料消耗最少，優(yōu)化變量ε，c，k的取值范圍分別為[2×10-5，4×10-3]，[1×10-6，7.6×10-5]，[1×10-3，1×10-4]，利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化分析求解，可以得到如下的仿真結(jié)果：圖4給出了整體燃料消耗最少的編隊(duì)機(jī)動(dòng)軌跡；圖5給出了遺傳算法尋優(yōu)結(jié)果，平均適應(yīng)度為0.645 39，最佳適應(yīng)度為0.343 7；圖6給出了編隊(duì)機(jī)動(dòng)過(guò)程中的星間距，可以看出在優(yōu)化機(jī)動(dòng)下編隊(duì)整體機(jī)動(dòng)星間相對(duì)距離保持在8.5km之上，滿足相關(guān)的工程需求。

表2列出了上文兩種機(jī)動(dòng)方法下的衛(wèi)星燃料消耗，并與參考文獻(xiàn)[9]進(jìn)行了對(duì)比，可以看出，無(wú)主星協(xié)同與有主星協(xié)同的燃料消耗基本相當(dāng)，在本文的燃料最優(yōu)的機(jī)動(dòng)目標(biāo)下，編隊(duì)整體機(jī)動(dòng)的燃料消耗少了，但機(jī)動(dòng)的誤差有所增加。

表2 編隊(duì)機(jī)動(dòng)燃料消耗和誤差Tab.2 Fuel cost and error during formation maneuver

圖4 編隊(duì)機(jī)動(dòng)優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Formation maneuver optimization

圖6 編隊(duì)機(jī)動(dòng)過(guò)程中的星間距離Fig.6 Distance between satellites during formation maneuver

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種視線測(cè)量鏈?zhǔn)綗o(wú)主星衛(wèi)星編隊(duì)協(xié)同控制方法，通過(guò)隊(duì)形保持機(jī)動(dòng)和編隊(duì)整體機(jī)動(dòng)控制的仿真分析，可以得出如下結(jié)論：

1）相對(duì)主從結(jié)構(gòu)隊(duì)形保持，本文提出的視線測(cè)量鏈?zhǔn)綗o(wú)主星編隊(duì)各個(gè)衛(wèi)星都受控，能夠保證編隊(duì)長(zhǎng)時(shí)間服務(wù)在任務(wù)區(qū)域；

2）視線測(cè)量鏈?zhǔn)綗o(wú)主星編隊(duì)，有利于編隊(duì)各衛(wèi)星自主性的發(fā)揮，能夠更好地滿足空間任務(wù)需要，實(shí)現(xiàn)自主、靈活的衛(wèi)星編隊(duì)機(jī)動(dòng)。

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