范晉偉，雒 駝，李 云，蒙順政，李 偉，羅建平

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124）

0 引言

四軸臥式加工中心由于可進(jìn)行多面加工，其剛度和穩(wěn)定性又優(yōu)于普通的五軸機(jī)床，在加工精度與加工效率的平衡上，臥式精密加工中心具備三軸與五軸機(jī)床都不具備的優(yōu)勢(shì)。但是在零件的實(shí)際加工過(guò)程中，由于機(jī)床各環(huán)節(jié)都不可避免的存在誤差，通過(guò)運(yùn)動(dòng)鏈最終都會(huì)影響機(jī)床的加工精度，直接影響汽車(chē)、微電子、航空航天、武器制造等工業(yè)領(lǐng)域中最終產(chǎn)品的質(zhì)量，影響著行業(yè)的整體發(fā)展。所以在保證加工效率的基礎(chǔ)上如何有效的提高加工精度是當(dāng)前亟待解決的問(wèn)題。

提高機(jī)床的精度有兩種方法，誤差防止法和誤差補(bǔ)償法。其中誤差補(bǔ)償法通過(guò)誤差補(bǔ)償軟件預(yù)先修正機(jī)床加工指令，進(jìn)行誤差補(bǔ)償，使刀具軌跡滿足精度要求。為機(jī)床建立合適的誤差模型，是誤差補(bǔ)償法的關(guān)鍵步驟之一。

機(jī)床誤差中，幾何誤差、熱變形誤差、載荷誤差和刀具誤差占總誤差的70% ～90%［1］。其中幾何誤差及在穩(wěn)定工作狀態(tài)下的熱變形誤差都屬于穩(wěn)定的系統(tǒng)誤差，最高可占總誤差的65%［1］，幾何誤差模型就是將這部分誤差產(chǎn)生的幾何變形映射到幾何誤差上來(lái)分析。因此，幾何誤差建模實(shí)際上并不限于分析幾何誤差，是一種綜合空間誤差建模，具有誤差補(bǔ)償效果好，補(bǔ)償效果穩(wěn)定，不受誤差形式局限的優(yōu)點(diǎn)。本文誤差建模的主要目標(biāo)是以多體系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)，建立綜合空間誤差模型與刀具姿態(tài)誤差模型，為誤差補(bǔ)償打下理論基礎(chǔ)。

在建立綜合空間誤差模型的基礎(chǔ)上，還要有合適的誤差補(bǔ)償方法才能對(duì)機(jī)床數(shù)控指令進(jìn)行修正。本文分析了刀具軌跡與數(shù)控指令映射關(guān)系，選擇采用迭代法添加判定條件的手段修正數(shù)控指令。

最后，本文針對(duì)四軸臥式加工中心的機(jī)床結(jié)構(gòu)與誤差形式，以多體系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)，為加工中心建立了綜合空間誤差模型以及刀具姿態(tài)誤差模型，以誤差模型和刀具軌跡與數(shù)控指令的映射為指導(dǎo)，編寫(xiě)了基于C++的刀具軌跡仿真軟件。并對(duì)理想刀具軌跡、實(shí)際包含誤差的刀具軌跡以及補(bǔ)償后的實(shí)際刀具軌跡都進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了誤差建模環(huán)節(jié)的正確性以及誤差補(bǔ)償?shù)挠行浴?/p>

1 臥式加工中心的幾何誤差模型

1.1 基于多體系統(tǒng)理論的機(jī)床結(jié)構(gòu)描述

四軸臥式加工中心是由床身、X軸導(dǎo)軌、Y軸導(dǎo)軌、主軸、刀具、Z軸導(dǎo)軌、工作臺(tái)、工件所組成的多體系統(tǒng)。其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，圖2為根據(jù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖提煉出的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。根據(jù)多體系統(tǒng)基本理論，以其特有的低序體陣列描述多體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，任意物體的較低序號(hào)的物體，用L(K）表示，L表示低序體算子，K表示物體的序號(hào)，它滿足:

且補(bǔ)充定義L(K）=K，L(0）=0。則車(chē)銑中心的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)各體的各階低序體序號(hào)，如表1所示。表2為其自由度，它表示機(jī)床各單元之間的約束情況，其中“0”表示不能自由運(yùn)動(dòng)，“1”表示能自由運(yùn)動(dòng)。

圖1 四軸臥式加工中心的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖2 四軸臥式加工中心的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

表1 四軸臥式加工中心的低序體陣列

表2 加工中心運(yùn)動(dòng)軸的自由度

1.2 四軸臥式加工中心的誤差分析

四軸臥式加工中心共有47項(xiàng)幾何誤差，首先X、Y、Z三個(gè)平動(dòng)軸各有6個(gè)，共計(jì)18項(xiàng)誤差項(xiàng)，以X軸為例，有定位誤差、Y方向直線度誤差、Z方向直線度誤差、滾擺誤差、顛擺誤差、偏擺誤差:Δxx、Δyx、Δzx、Δαx、Δβx、Δγx;其次轉(zhuǎn)動(dòng)軸 B 有 6 項(xiàng)誤差，X 方向跳動(dòng)誤差、Y方向跳動(dòng)誤差、軸向竄動(dòng)誤差、繞X軸轉(zhuǎn)角誤差、繞Y軸轉(zhuǎn)角誤差、繞Z軸轉(zhuǎn)角誤差:ΔxB、ΔyB、ΔzB、ΔαB、ΔβB、ΔγB;主軸有 6 項(xiàng)誤差，X 方向跳動(dòng)誤差、Y方向跳動(dòng)誤差、軸向竄動(dòng)誤差、繞X軸轉(zhuǎn)角誤差、繞 Y 軸轉(zhuǎn)角誤差、繞 Z 軸轉(zhuǎn)角誤差:Δxφ、Δyφ、Δzφ、Δαφ、Δβφ、Δγφ;工件及刀具裝夾各有 6 個(gè)總共12項(xiàng)誤差，以工件為例:X方向直線度誤差、Y方向直線度誤差、Z方向直線度誤差、繞X軸轉(zhuǎn)角誤差、繞Y軸轉(zhuǎn)角誤差、繞 Z 軸轉(zhuǎn)角誤差:Δxwd、Δywd、Δzwd、Δαwd、Δβwd、Δγwd;另有5 項(xiàng)單元間姿態(tài)誤差:X、Y 軸垂直度誤差、X、Z軸垂直度誤差、Y、Z軸垂直度誤差、B 軸與 X、Z 軸間的垂直度誤差 2 項(xiàng):Δγxy、Δβxz、Δαyz、ΔγxB與 ΔαzB。需要注意的是，由于研究初衷是為了補(bǔ)償機(jī)床在測(cè)量后一段有效時(shí)間內(nèi)的穩(wěn)定誤差，我們忽略了與裝夾及更換刀具有關(guān)的易變誤差、可以隨時(shí)測(cè)量調(diào)整的B軸與X、Z軸肩的垂直度誤差，以及與刀具具體形態(tài)有關(guān)的主軸誤差，只留下機(jī)床中不輕易改變的27項(xiàng)固有幾何誤差進(jìn)行建模。

1.3 基于多體系統(tǒng)理論的四軸臥式加工中心誤差建模

空間綜合誤差及姿態(tài)誤差推導(dǎo)所使用的四軸臥式加工中心的體間理想靜止(運(yùn)動(dòng)）特征矩陣Tijp(a）、體間靜止(運(yùn)動(dòng)）角誤差矩陣Tijp(a）(R）及體間靜止(運(yùn)動(dòng)）誤差特征矩陣ΔTijp(a），均可由多體系統(tǒng)特征矩陣表［3］推出。

設(shè)刀具成形點(diǎn)在共建坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)是:

那么刀具成形點(diǎn)在工件坐標(biāo)系內(nèi)的理想成形函數(shù)為:

在四軸臥式加工中心上，由于進(jìn)給系統(tǒng)中有一個(gè)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，為成形過(guò)程中調(diào)整刀具與工件間的相對(duì)姿態(tài)提供了一定條件，在加工工件的復(fù)雜曲面時(shí)能在一定程度上提高精度，為此也需要控制成形過(guò)程中的刀具姿態(tài)。為了描述刀具的位姿變化，我們?cè)诘毒呱瞎潭ㄒ皇噶?，使其隨刀具一起運(yùn)動(dòng)，然后考察該矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)情況。設(shè)刀具上刀柄至刀尖兩點(diǎn)之間的矢量V在刀具坐標(biāo)系中的表達(dá)式為:

那么理想運(yùn)動(dòng)條件下，矢量V在工件坐標(biāo)系中的表達(dá)式為:

在機(jī)床的實(shí)際加工過(guò)程中，由于存在各種誤差，所以刀具成形點(diǎn)在工件坐標(biāo)系內(nèi)的實(shí)際成形函數(shù)和無(wú)誤差的理想加工過(guò)程不同，其實(shí)際成形函數(shù)為:

同理，在實(shí)際加工過(guò)程中刀具的姿態(tài)與理想加工過(guò)程中刀具的姿態(tài)也不相同，實(shí)際加工運(yùn)動(dòng)矢量V在工件坐標(biāo)系中的表達(dá)式為:

在實(shí)際加工過(guò)程中，刀具成形點(diǎn)的實(shí)際位置由于各誤差項(xiàng)的影響會(huì)偏離理想位置，產(chǎn)生綜合空間位置誤差。根據(jù)上文所述的坐標(biāo)系間變換矩陣，即式(2）、(3）、(6）可對(duì)理想的成形空間點(diǎn)和實(shí)際刀具成形空間點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)變換，以求解出刀具成形點(diǎn)的綜合空間誤差，其為:

加工過(guò)程中，刀具相對(duì)于工件的實(shí)際姿態(tài)與理論姿態(tài)間，由于受到旋轉(zhuǎn)軸及平動(dòng)軸誤差的疊加影響，也會(huì)存在偏差，這里用E表示，根據(jù)式(4）、(5）、(7），可得刀具的空間姿態(tài)誤差為:

根據(jù)多體系統(tǒng)理論，經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)誤差分析，式(8）、(9）就是四軸臥式加工中心刀具成型點(diǎn)的綜合空間運(yùn)動(dòng)誤差模型及刀具空間姿態(tài)模型。該模型為進(jìn)行誤差補(bǔ)償和編寫(xiě)誤差補(bǔ)償仿真軟件提供了理論基礎(chǔ)。

2 數(shù)控指令修正值求解

2.1 刀具軌跡的表達(dá)

刀具軌跡指的是機(jī)床刀具中心在工件坐標(biāo)系內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它有理想刀具軌跡和實(shí)際刀具軌跡之分，理想刀具軌跡指的是根據(jù)理想的機(jī)床運(yùn)動(dòng)模型，經(jīng)理論計(jì)算而得的刀具軌跡;實(shí)際刀具軌跡指的則是機(jī)床刀具在相對(duì)于工件坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)過(guò)程中實(shí)際產(chǎn)生的軌跡。

在理想條件下以及實(shí)際條件下，建立起數(shù)控指令及刀具軌跡二者間的相互映射關(guān)系，是軟件誤差補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵環(huán)節(jié)之一。通過(guò)這些映射關(guān)系，不僅可以獲得修正后的數(shù)控指令，而且還可以進(jìn)行仿真和分析。

由于一條刀具軌跡上有無(wú)限個(gè)點(diǎn)，再考慮到數(shù)控指令的長(zhǎng)度要求等問(wèn)題，不可能去逐點(diǎn)控制刀具軌跡，只能通過(guò)修正映射關(guān)系的方法來(lái)控制刀具軌跡。

在理想條件下，不存在加工誤差。數(shù)控指令到刀具軌跡的映射關(guān)系不受誤差影響。而在實(shí)際條件下，映射關(guān)系則由誤差參數(shù)確定。

2.2 采用迭代法修正數(shù)控指令

為求得修正后的數(shù)控指令，誤差補(bǔ)償軟件采用迭代計(jì)算法直接修正數(shù)控指令。其計(jì)算步驟是:首先根據(jù)刀具軌跡與數(shù)控指令的關(guān)系求出迭代初值(x0，y0，z0）;其次將初值代入刀具軌跡與數(shù)控指令實(shí)際的映射關(guān)系，得到一次迭代后修正的數(shù)控指令值(x1，y1，z1）;然后判斷所得的修正數(shù)控指令所驅(qū)動(dòng)的實(shí)際刀具軌跡與理想刀具軌跡上相應(yīng)點(diǎn)的位置偏差是否小于給定值，如果滿足判別條件則迭代完畢;如果不滿足判別條件，則以(x1，y1，z1）為初始值繼續(xù)迭代，直到滿足條件位置。設(shè)第i次迭代終止，則得到滿足條件的修正后數(shù)控指令值為(xj，yj，zj），迭代的終止條件為:

式中 Δx、Δy、Δz分別為機(jī)床 X、Y、Z 軸的平移分辨率;Δα、Δβ、Δγ分別為機(jī)床繞 X、Y、Z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的分辨率。

3 仿真結(jié)果

依據(jù)四軸臥式加工中心的綜合空間誤差模型、刀具姿態(tài)誤差模型與迭代法修正數(shù)控指令的方法，我們開(kāi)發(fā)了基于C++的誤差補(bǔ)償仿真軟件。該軟件可以以綜合空間誤差模型為基礎(chǔ)，生成加工中心的運(yùn)動(dòng)誤差模型。該仿真軟件的輸入包括選取四軸臥式加工中心的結(jié)構(gòu)參數(shù)、人工設(shè)定或?qū)胝`差參數(shù)、導(dǎo)入理想數(shù)控指令G代碼文件;輸出則包括生成理想刀具軌跡、生成實(shí)際刀具軌跡以及生成補(bǔ)償后的實(shí)際刀具軌跡，同時(shí)也可以導(dǎo)出修正后的數(shù)控指令G代碼(圖3）。

圖3 數(shù)控指令修正前后的G代碼對(duì)比

通過(guò)導(dǎo)入項(xiàng)目組實(shí)驗(yàn)測(cè)定的機(jī)床誤差數(shù)據(jù)文件，依據(jù)給定的理想數(shù)控指令，仿真軟件即可顯示理想刀具軌跡與實(shí)際刀具軌跡在補(bǔ)償前后的圖形對(duì)比(圖4）。

圖4 理想刀具路線與實(shí)際刀具路線在補(bǔ)償前后的對(duì)比

圖中，藍(lán)色線條表示的是理想刀具軌跡，綠色線條表示實(shí)際刀具軌跡，可以觀察到補(bǔ)償前圖形中兩軌跡不重合，而經(jīng)過(guò)誤差補(bǔ)償后，實(shí)際刀具軌跡與理想刀具軌跡是重合的。這首先說(shuō)明，在本次誤差建?；A(chǔ)上編寫(xiě)的誤差補(bǔ)償軟件確實(shí)生成了可行的刀具軌跡;其次說(shuō)明引入的誤差確實(shí)起到了改變實(shí)際刀具軌跡的作用;最后也證明了補(bǔ)償算法確實(shí)對(duì)實(shí)際刀具軌跡進(jìn)行了補(bǔ)償。

4 結(jié)束語(yǔ)

(1）基于多體系統(tǒng)理論，以考慮位置誤差與姿態(tài)誤差的約束條件方程為前提，建立的四軸臥式加工中心的綜合空間幾何誤差模型及綜合空間姿態(tài)誤差模型是正確的。且建模過(guò)程具有程式化，模塊化，易于快速建模的特點(diǎn)。

(2）在數(shù)控指令和刀具軌跡的相互映射關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正數(shù)控指令求解的補(bǔ)償算法是可行的。補(bǔ)償前后的刀具軌跡對(duì)比圖表明，以此算法為基礎(chǔ)的仿真補(bǔ)償軟件確實(shí)對(duì)實(shí)際刀具軌跡進(jìn)行了有效的補(bǔ)償。且具有低成本、效果好，準(zhǔn)確快捷的優(yōu)勢(shì)。

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