王琦

(廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州 510006)

0 引言

分段連續(xù)型微分方程是延遲微分方程的一個(gè)重要分支,是對(duì)很多系統(tǒng)進(jìn)行建模的重要工具.自變量的分段連續(xù)性不僅刻畫(huà)了動(dòng)力系統(tǒng)的連續(xù)性和穩(wěn)定性,也反映出系統(tǒng)的振動(dòng)性和周期性,因此,這類方程在差分方程的研究中起著重要作用,進(jìn)而能更有效地解決一些包含離散和連續(xù)變量的混合系統(tǒng)中的問(wèn)題, 如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1], 人口模型[2]等. 近20年來(lái), 分段連續(xù)型微分方程引起了人們的普遍關(guān)注, 對(duì)于這類方程的解析解的研究已經(jīng)非常深入,主要涉及穩(wěn)定性[3]、周期性[4]、存在唯一性[5]和積分流形的存在性[6]等幾種重要性質(zhì),而對(duì)這類方程自身的全面闡釋和系統(tǒng)分析,可以參考文獻(xiàn)[7].

雖然對(duì)于分段連續(xù)型微分方程解析解的研究已有大量結(jié)果, 但是對(duì)其數(shù)值解的研究卻相對(duì)滯后, 不過(guò)發(fā)展很快. Liu等[8]和Song等[9]分別研究了這類方程中帶有延遲項(xiàng)[t]和[t+1]的Runge-Kutta方法和θ-方法的穩(wěn)定性,得到了解析解的漸近穩(wěn)定區(qū)域包含在數(shù)值解的漸近穩(wěn)定區(qū)域的充分必要條件. 在文獻(xiàn)[10-11]中, 作者針對(duì)帶有延遲項(xiàng)[t-1]的分段連續(xù)型微分方程,分別研究了θ-方法和Runge-Kutta方法的振動(dòng)性,獲得了數(shù)值方法保持方程本身振動(dòng)性的充分必要條件. 在這類方程數(shù)值解的散逸性研究方面有一些研究[12-13].不同于文獻(xiàn)[12-13],本文中主要研究一般情形下帶有一個(gè)延遲項(xiàng)[t]的分段連續(xù)型微分方程θ-方法的散逸性, 給出兩種θ-方法散逸的充分條件.

設(shè)〈·〉為定義在Hilbert空間X上的內(nèi)積,‖·‖為從屬范數(shù). 本文中考慮下述分段連續(xù)型微分方程

(1)

其中[·]表示最大取整函數(shù), 局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)f:[0,+∞)×X×X→X滿足

Re〈u,f(t,u,v)〉≤ω(t)+p(t)‖u‖2+q(t)‖v‖2,u,v∈X,t≥0

(2)

這里的p(t),q(t)和ω(t)是連續(xù)函數(shù). 這類方程的一般形式為

x′(t)=f(t,x(t),x(α(t)))

(3)

其中α(t)是分段連續(xù)函數(shù). 根據(jù)文獻(xiàn)[7],有下面的定義.

定義1滿足下列條件的連續(xù)函數(shù)x(t)稱為方程(1)式在區(qū)間[0,+∞)上的解,

(i)x′(t)在[t]∈[0,+∞)的這些點(diǎn)處存在單側(cè)導(dǎo)數(shù),在t∈[0,+∞)的其他點(diǎn)處存在導(dǎo)數(shù)；

(ii)在每個(gè)區(qū)間[n,n+1)?[0,+∞)上,x(t)滿足方程(1)式.

在后面的部分,我們將討論方程(1)式的θ-方法的數(shù)值散逸性,并給出相關(guān)結(jié)論.

1 解析解的散逸性

散逸性是動(dòng)力系統(tǒng)所研究的諸多問(wèn)題中的重要方面. 所謂散逸性,就是系統(tǒng)具有一有界吸引集,從任意初始條件出發(fā)的解經(jīng)過(guò)有限時(shí)間后進(jìn)入該吸引集并隨后保持在里面. 當(dāng)用數(shù)值方法求解系統(tǒng)時(shí),人們希望數(shù)值解也能具有散逸性,即數(shù)值散逸性的保持問(wèn)題. 本文中將主要探討θ-方法對(duì)分段連續(xù)型微分方程(1)式散逸性的保持問(wèn)題.

下面的定義精確地描述了散逸性.

定義2[12]稱方程(1)式在集合H上是散逸的,如果存在一個(gè)有界集B?H, 使得對(duì)于任意的有界集Φ?H都存在時(shí)刻t0=t0(Φ), 只要初值x0∈Φ, 則當(dāng)t≥t0時(shí)相應(yīng)的解x(t)∈B,B稱為H中的一個(gè)吸引集.

為簡(jiǎn)便起見(jiàn),在下文始終令不等式(2)式中的函數(shù)p(t),q(t)和ω(t)為常數(shù),即

p(t)≡p,q(t)≡q,ω(t)≡ω,

那么,不等式(2)式化為 Re〈u,f(t,u,v)〉≤ω+p‖u‖2+q‖v‖2,u,v∈X,t≥0

(4)

下面的定理給出了方程(1)式的解析解為散逸的充分條件.

即系統(tǒng)是散逸的. 對(duì)任意的ε>0,開(kāi)球

2 線性θ-方法的數(shù)值散逸性分析

取步長(zhǎng)h=1/m(m≥1), 節(jié)點(diǎn)tn=nh(n=1,2,…), 將線性θ-方法應(yīng)用于方程(1)式得

(5)

(6)

定義3稱數(shù)值方法(6)式是散逸的,如果存在一個(gè)常數(shù)r, 使得對(duì)于任意的初值x0,都存在n0=n0(h,x0), 當(dāng)n≥n0時(shí)有‖yn‖≤r.

下面給出本文中的第一個(gè)主要定理.

(7)

將(7)式的兩側(cè)同時(shí)與自身作內(nèi)積得

(8)

(9)

移項(xiàng)有

(10)

(11)

再由數(shù)學(xué)歸納法得

(12)

2hnq‖xkm‖2≤

L0+2hnω+[2hp(n-1)+2hθp+2h(1-θ)p+2hnq]L1=

L0+2hnω+2hn(p+q)L1

(13)

其中

故,當(dāng)p+q≥0時(shí)有

‖xn‖n0,

證畢.

3 單腿θ-方法的數(shù)值散逸性分析

步長(zhǎng)的取法如第2節(jié)所示, 將單腿θ-方法應(yīng)用于方程(1)式得

(14)

下面給出第二個(gè)主要定理.

定理3的證明為了行文簡(jiǎn)便,令

(15)

(16)

由(15)式和(16)式得

yn+1-yn=θ(xn+1-xn)+(1-θ)(xn-xn-1)

(17)

又由(14)式得

(18)

即

(19)

由定理2和定理3不難看出,兩種θ-方法具有相同的散逸性, 這與考慮穩(wěn)定性時(shí)得到的結(jié)論一致.

4 結(jié)論

用兩種θ-方法分別求解一類典型的分段連續(xù)型微分方程, 利用不等式放縮等技術(shù)方法分析了數(shù)值格式的散逸性. 結(jié)果表明, 兩種θ-方法具有一致的散逸性特征,從而適合于求解此類散逸系統(tǒng).向前型方程和滯后型方程的數(shù)值散逸性研究將是今后討論的重點(diǎn).

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