劉曉偉，何廣平

(1 中國航天空氣動力技術(shù)研究院，北京100074;2．北方工業(yè)大學，北京100144)

0 引 言

作為典型的微機械動力元件，超微電機一直是微機電系統(tǒng)(以下簡稱MEMS)研究的熱點，在一定程度上已成為MEMS 發(fā)展水平的重要標志［1］。自從1987 年Trimmer 等人設(shè)計并研制出靜電型超微電機以來，相繼出現(xiàn)了頂驅(qū)動式、側(cè)驅(qū)動式、擺動式、中心銷式、法蘭盤式、諧波式等多種靜電型超微電機。靜電型超微電機按照運行原理不同可分為以下兩種:一種是利用介電弛豫原理，另一種是利用電容可變原理［2］。

可變電容靜電型超微電機是一類最早出現(xiàn)的動態(tài)MEMS 器件。由于靜電力十分微小，且通過實驗發(fā)現(xiàn)這種微型電機的動態(tài)性能十分有限［3］，關(guān)于靜電型超微電機的優(yōu)化設(shè)計問題很早就被注意到［4］，并在近年來得到部分學者的關(guān)注［5－6］。本文給出了側(cè)面驅(qū)動可變電容靜電型超微電機的一種優(yōu)化設(shè)計算法，并根據(jù)該方法對優(yōu)化后的超微電機性能進行了實驗分析。

1 側(cè)面驅(qū)動可變電容靜電型超微電機數(shù)學模型

側(cè)面驅(qū)動可變電容式靜電型超微電機的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1 所示，它通過轉(zhuǎn)子與定子間的小間隙形成的電容實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的驅(qū)動。當電機的定子電極數(shù)目與轉(zhuǎn)子凸極數(shù)目可以整除時，這類靜電電機通常稱為同步靜電電機;當兩者不能整除時，一般稱為步進式靜電型超微電機。這兩種靜電型超微電機的驅(qū)動原理是相同的，都通過轉(zhuǎn)子與定子之間電容變化引起的切向靜電力來驅(qū)動轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動。但是要實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的連續(xù)運轉(zhuǎn)，這兩類電機的控制方式是不同的。對于步進靜電型超微電機，需要仔細選擇定子電極的通電順序組合;對于同步靜電型超微電機，其轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動速度與施加的電場的旋轉(zhuǎn)速度相同。

圖1 8 /6 超微電機結(jié)構(gòu)簡圖

可變電容靜電型超微電機中的電能可表示:

式中:C(θ)為轉(zhuǎn)子與定子之間的電容;V 為轉(zhuǎn)子與定子之間施加的驅(qū)動電壓。根據(jù)上式，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩可寫為:

根據(jù)圖1 所示，在微弧段dα 上，轉(zhuǎn)子和定子之間的微電容:

式中:εr為相對介電常數(shù);ε0為真空絕對介電常數(shù)，ε0= 8．85 × 10－12C2/(N·m2);h 為定子和轉(zhuǎn)子片的厚度。R(α)和r(α)分別為定子和轉(zhuǎn)子輪廓半徑，(R，α)和(r，α)分別為定子和轉(zhuǎn)子輪廓的極坐標。

設(shè)靜電電機的定子電極數(shù)目為nS，轉(zhuǎn)子凸極的數(shù)目為nR，定子電極和轉(zhuǎn)子凸極沿圓周方向是均布的，即定子相鄰電極之間的夾角為Δφ，轉(zhuǎn)子相鄰凸極之間的夾角為Δθ，其值分別:

對于常見的規(guī)則形狀的靜電電機，其定子電極和轉(zhuǎn)子凸極輪廓在極坐標下可表示:

式中:λS∈(0 1)和λR∈(0 1)分別為定子電極和轉(zhuǎn)子凸極的占空比。為提高靜電電機的驅(qū)動力矩，一般設(shè)計

不失一般性，令θ0= 0，則:

為便于與已有研究［4－6］進行比較，這里計算定子電極數(shù)與轉(zhuǎn)子凸極數(shù)之比為8 /6 的靜電型超微電機在不同控制方式下的輸出轉(zhuǎn)矩。

表1 8 /6 靜電型超微電機的基本物理參數(shù)［5］

2 可變電容靜電型超微電機的驅(qū)動方法

這里對定子電極采用單相對稱電極順序通電的方式，如圖2 所示，其中帶陰影的定子電極為通電電壓為V 電極，其它電極則為接地電極。

圖2 8 /6 靜電超微電機電極的控制方式

對于設(shè)計參數(shù)取(rmin，λs，λr)= (30 μm，18 /45，18 /60)時，即電機轉(zhuǎn)子輪轂的半徑為30 μm，定子電極和轉(zhuǎn)子凸極的角度為18°，當電機各定子組分別施加控制電壓時，電機轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)動一個凸極所占的角度過程中的輸出力矩曲線如圖3(a)所示。當通過恰當?shù)厍袚Q電機定子4 個電極組的通電方式，可獲得如圖3(b)所示的電機輸出力矩曲線。

圖3 單相驅(qū)動條件下且電機結(jié)構(gòu)參數(shù)未優(yōu)化時的輸出力矩曲線

3 可變電容靜電型超微電機的優(yōu)化設(shè)計

選擇優(yōu)化設(shè)計變量:

式中:rmin為轉(zhuǎn)子輪轂的半徑，為保證轉(zhuǎn)子的強度，一般要求rmin≥r0;λs為定子電極的占空比;λr為轉(zhuǎn)子凸極的占空比。電機的重要性能指標是其輸出力矩的均值和力矩的波動大小。輸出力矩均值可表示:

力矩的波動系數(shù)表示:

在優(yōu)化電機的結(jié)構(gòu)參數(shù)中，定義優(yōu)化指標:

式中:z1用于電機輸出力矩優(yōu)化，z2用于輸出力矩波動優(yōu)化，z 則用于對輸出力矩的大小和力矩波動系數(shù)同時進行優(yōu)化。式(14)中，λ 為加權(quán)系數(shù)，可用于將z1和z2的數(shù)值調(diào)整到同一量級，避免大量值把小量值淹沒。基于式(12)～式(14)給出的指標函數(shù)，可建立優(yōu)化問題的數(shù)學模型:

對于表1 中給出的電機基本參數(shù)，采用同時優(yōu)化平均力矩和力矩波動系數(shù)的指標式(14)。由于式(2)和式(8)給出的電容和輸出力矩公式難以得到解析表示，在以往的研究中多采用有限元分析方法［5－6］。為了避免有限元分析方法嵌入優(yōu)化過程中的巨大計算量，這里采用數(shù)值積分的方法求電機轉(zhuǎn)子處于任意位置時的電機電容值，然后采用差分商的方法根據(jù)式(2)求電機輸出力矩。為了避免利用差分商對微分進行近似時導致獲得的電機力矩不連續(xù)，采用遞推濾波方法對求得的電機力矩進行濾波處理(可利用MATLAB 中的filtfilt 濾波函數(shù))。

4 實驗結(jié)果

采用該算法對設(shè)計參數(shù)進行優(yōu)化后，其取值變?yōu)?rmin，λs，λr)=(21．34 μm，0．60，0．47)對應的輸出力矩如圖4 所示。

圖4 單相驅(qū)動條件下且電機結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化后的輸出力矩曲線

為直觀比較優(yōu)化前后電機結(jié)構(gòu)的變化，電機結(jié)構(gòu)比較圖如圖5 所示?？梢钥闯?，相對較寬的定子電極和轉(zhuǎn)子凸極，以及較大的轉(zhuǎn)子凸極槽深，有利于改善電機輸出力矩的大小和動態(tài)特征，但是在結(jié)構(gòu)約束條件下，這些參數(shù)存在最優(yōu)值，并不是越大越好。

圖5 參數(shù)優(yōu)化前后電機結(jié)構(gòu)的比較

圖6 優(yōu)化前后電機輸出力矩的比較

5 結(jié) 語

針對可變電容靜電型超微電機靜電力十分微小，且動態(tài)性能非常有限的問題，本文闡述了側(cè)面驅(qū)動式可變電容靜電型超微電機的數(shù)學模型，在對定子電極采用單相對稱電極順序通電的驅(qū)動方式的基礎(chǔ)上，提出了一種靜電型超微電機的優(yōu)化設(shè)計方法。實驗結(jié)果表明，優(yōu)化后電機的輸出力矩有所增大，而且波動明顯減小，有利于改善電機輸出功率的穩(wěn)定性。

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