任 杰，馬大為，朱忠領(lǐng)，朱孫科

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

1 參考坐標(biāo)系及坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換

防空火箭炮作跟蹤運(yùn)動(dòng)時(shí)，發(fā)射裝置在時(shí)刻運(yùn)動(dòng)，研究時(shí)需要建立發(fā)射裝置與火箭彈的相關(guān)坐標(biāo)系，完成各坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。選取合適的參考坐標(biāo)系來研究火箭彈的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，會(huì)使方程形式簡單、便于求解[1]。本文選取的幾種參考坐標(biāo)系[1-4]如圖1所示，方向均按右手定則確定。

1.1 相關(guān)參考坐標(biāo)系

1.1.1 地面坐標(biāo)系Og-XgYgZg

地面坐標(biāo)系與地球表面固連，選取發(fā)射裝置方位回轉(zhuǎn)中心在水平面的投影為坐標(biāo)原點(diǎn)Og，OgXg軸平行于定向器軸線在水平面的投影，向前為正。OgYg軸垂直于水平面，向上為正。OgZg軸垂直于OgXgYg平面。

1.1.2 隨動(dòng)坐標(biāo)系Os-XsYsZs

坐標(biāo)系原點(diǎn)Os取在隨動(dòng)裝置的俯仰回轉(zhuǎn)軸與方位回轉(zhuǎn)軸中心線的交點(diǎn)處，OsXs軸平行于定向器軸線在水平面的投影，向前為正。OsYs軸沿隨動(dòng)裝置的方位回轉(zhuǎn)軸中心線，向上為正。OsZs軸沿隨動(dòng)裝置的俯仰回轉(zhuǎn)軸。

1.1.3 定向器坐標(biāo)系Oq-XqYqZq

坐標(biāo)系原點(diǎn)Oq取為定向器中心線與OsYsZs平面的交點(diǎn)處，OqXq軸沿射向，OqYq軸在定向器縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，向上為正，OqZq軸垂直于發(fā)射架縱對稱面OqXqYq。

1.1.4 彈體坐標(biāo)系Ot-XtYtZt

坐標(biāo)系原點(diǎn)Ot取在火箭彈質(zhì)心處，OtXt軸與火箭彈幾何縱軸重合，指向彈頭為正，OtYt軸在彈體縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，向上為正，OtZt軸垂直于OtXtYt平面。

1.1.5 彈道坐標(biāo)系Od-XdYdZd

坐標(biāo)系原點(diǎn)取在火箭彈質(zhì)心處，OdXd軸與火箭彈速度方向重合，OdYd軸在彈體縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，向上為正，Zd軸垂直于OdXdYd平面。

1.2 參考坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

描述彈體運(yùn)動(dòng)的各種參量，可以通過各坐標(biāo)系及其坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系來考察。將坐標(biāo)系寫為矩陣形式，設(shè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣為T，采用上下標(biāo)的方式區(qū)分源坐標(biāo)系和目標(biāo)坐標(biāo)系，下標(biāo)代表源坐標(biāo)系，上標(biāo)代表目的坐標(biāo)系[6]。本文限于篇幅，在此不展開各坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換矩陣，請參考有關(guān)文獻(xiàn)[1]。

隨動(dòng)坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換:

(1)

定向器坐標(biāo)系與隨動(dòng)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換:

(2)

定向器坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，由式(1)和式(2)可得：

(3)

(4)

彈道坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換:

(5)

彈道坐標(biāo)系與發(fā)射裝置坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換，采用地面坐標(biāo)系進(jìn)行過渡轉(zhuǎn)換，由式(1)和式(5)可得：

(6)

(7)

彈體坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換：

(8)

彈體坐標(biāo)系與定向器坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，發(fā)射前彈體坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸與定向器坐標(biāo)系各坐標(biāo)軸平行。

(9)

2 多管火箭發(fā)射裝置的運(yùn)動(dòng)方程

防空多管火箭發(fā)射裝置在隨動(dòng)系統(tǒng)的控制下對空中目標(biāo)(低空飛行的巡航導(dǎo)彈或制導(dǎo)炸彈)進(jìn)行跟蹤，需要將發(fā)射方向或火箭彈速度的方向指向目標(biāo)或目標(biāo)前置點(diǎn)，發(fā)射裝置的運(yùn)動(dòng)特性與目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律密切相關(guān)。發(fā)射裝置在空間中的運(yùn)動(dòng)是由繞俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和繞方位軸的轉(zhuǎn)動(dòng)所合成的，研究時(shí)將發(fā)射裝置的運(yùn)動(dòng)分解為繞俯仰軸和繞方位軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。這兩種運(yùn)動(dòng)對火箭彈離軌運(yùn)動(dòng)參數(shù)產(chǎn)生的影響都不能忽略，不論發(fā)射裝置調(diào)轉(zhuǎn)的角速率多大，其對火箭彈離軌的影響都必須考慮。如不考慮發(fā)射裝置調(diào)轉(zhuǎn)角速度的影響，將會(huì)使計(jì)算得到的火箭彈的離軌參數(shù)不準(zhǔn)確，使得空間彈道解算存在誤差，當(dāng)攻擊空中目標(biāo)時(shí)，較小的誤差也會(huì)使火箭彈偏離目標(biāo)。

研究時(shí)假設(shè)多管火箭武器發(fā)射裝置為剛體，則可以將發(fā)射裝置繞俯仰和方位回轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)簡化為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題。

(10)

式中：φf為俯仰轉(zhuǎn)角;ωf為瞬時(shí)俯仰角速度;εf為瞬時(shí)俯仰角加速度。

發(fā)射裝置繞方位回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的一般運(yùn)動(dòng)方程為:

(11)

式中：φh為方位轉(zhuǎn)角;ωh為瞬時(shí)方位角速度;εh為瞬時(shí)方位角加速度。

式(10)與式(11)為發(fā)射裝置繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的一般運(yùn)動(dòng)方程，依據(jù)公式可確定火箭彈在離軌瞬間發(fā)射裝置的瞬時(shí)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，發(fā)射裝置的繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度是計(jì)算火箭彈牽連速度所需參數(shù)之一。

3 跟蹤發(fā)射時(shí)火箭彈離軌參數(shù)的確定

防空多管火箭炮對空中目標(biāo)進(jìn)行跟蹤發(fā)射時(shí)，火箭彈的速度、攻角和偏角等運(yùn)動(dòng)參數(shù)均隨發(fā)射裝置的運(yùn)動(dòng)而進(jìn)行變化，發(fā)射裝置的運(yùn)動(dòng)特性對火箭彈的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生了很大的影響?？臻g彈道的解算需要火箭彈離軌參數(shù)作為初始條件，而離軌參數(shù)又受到發(fā)射裝置運(yùn)動(dòng)的影響，在計(jì)算火箭彈離軌參數(shù)時(shí)，需要將發(fā)射裝置的運(yùn)動(dòng)與火箭彈的運(yùn)動(dòng)相耦合，才能獲得準(zhǔn)確的離軌參數(shù)表達(dá)式，從而保證對目標(biāo)的命中精度，提高火箭彈的毀傷率。為便于研究，假設(shè)火箭彈為剛體，不考慮彈體變形，不計(jì)推進(jìn)劑的損耗，認(rèn)為質(zhì)量不變，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒定，只受推力、重力與科氏慣性力的作用，彈體的運(yùn)動(dòng)可以視為質(zhì)心的移動(dòng)和繞質(zhì)心的合成運(yùn)動(dòng)[3,7]。

3.1 火箭彈絕對離軌速度

跟蹤狀態(tài)下發(fā)射裝置在隨動(dòng)系統(tǒng)的控制下繞俯仰軸和方位軸轉(zhuǎn)動(dòng)，發(fā)射裝置的繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)給火箭彈的運(yùn)動(dòng)帶來牽連速度，如果將發(fā)射裝置的運(yùn)動(dòng)速度分解為繞俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度和繞方位軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，則火箭彈的絕對離軌速度在地面坐標(biāo)系中可表示為[3,5]

V=Vr+ωf×rf+ωh×rh

(12)

式中：V為火箭彈絕對離軌速度;Vr為火箭彈相對定向器的離軌速度;ωf×rf和ωh×rh分別為離軌時(shí)刻發(fā)射裝置繞俯仰回轉(zhuǎn)軸和方位回裝軸轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的牽連速度;ωf和ωh為離軌時(shí)刻發(fā)射裝置繞俯仰回轉(zhuǎn)軸和繞方位回轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度;rf和rh為離軌時(shí)刻火箭彈質(zhì)心到發(fā)射裝置俯仰回轉(zhuǎn)軸和方位回轉(zhuǎn)軸的矢徑。

相對離軌速度Vr沿定向器坐標(biāo)系的OqXq方向，將Vr投影至地面坐標(biāo)系，其各向分量為:

通過對智能工程建設(shè)過程中各階段的了解，發(fā)現(xiàn)智能工程建造中存在著各種影響因素。因此，為確保政府大樓智能工程項(xiàng)目可以按時(shí)保質(zhì)完成，需要在智能工程建設(shè)施工中進(jìn)行方案設(shè)計(jì)，做好工程進(jìn)度控制。

(13)

將ωf、rf、ωh、rh分別轉(zhuǎn)換到地面坐標(biāo)系中，并寫為矩陣形式。

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

將式(13)、式(18)、式(19)代入式(12)中，可求解得火箭彈絕對離軌速度V。

V=Vr+ωf×rf+ωh×rh

(20)

由式(20)可知，火箭彈的絕對離軌速度與火箭彈的相對離軌速度、發(fā)射裝置的俯仰回轉(zhuǎn)角速度、方位回轉(zhuǎn)角速度、火箭彈質(zhì)心至俯仰回轉(zhuǎn)軸與方位回轉(zhuǎn)軸的矢徑有關(guān)。多管火箭炮裝彈數(shù)量較多，每一枚火箭彈的位置都不相同，在離軌瞬間，火箭彈的質(zhì)心至俯仰回轉(zhuǎn)軸與方位回轉(zhuǎn)軸的矢徑均不相同，發(fā)射裝置的運(yùn)動(dòng)將導(dǎo)致每一枚火箭彈都具有不同的離軌運(yùn)動(dòng)參數(shù)，其對應(yīng)的空間彈道也都不相同。發(fā)射時(shí)，火控計(jì)算機(jī)需要根據(jù)離軌參數(shù)表達(dá)式針對每一枚火箭彈設(shè)定相應(yīng)的參數(shù)計(jì)算其對應(yīng)的離軌參數(shù)，從而保證其空間彈道初始條件的準(zhǔn)確，使火箭彈能夠命中或毀傷目標(biāo)。

對于既定結(jié)構(gòu)的防空多管火箭炮來說，每根定向器中火箭彈離軌時(shí)質(zhì)心至回轉(zhuǎn)軸的距離是固定的，火箭彈離軌時(shí)發(fā)射裝置繞俯仰軸和回轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度也是可以獲知的，火箭彈的相對離軌速度更是可以依據(jù)火箭彈本身動(dòng)力特性進(jìn)行計(jì)算，故依據(jù)式(20)可求解出每一枚火箭彈的絕對離軌速度，得到絕對離軌速度后通過相關(guān)計(jì)算可以獲得離軌時(shí)刻的攻角、側(cè)滑角、彈道偏角和彈道傾角等運(yùn)動(dòng)參數(shù)，從而為空間彈道計(jì)算提供初始條件。設(shè)計(jì)中，可針對幾種較為理想的離軌參數(shù)對彈體質(zhì)心至回轉(zhuǎn)軸的矢徑、發(fā)射裝置的轉(zhuǎn)動(dòng)速度以及彈體自身動(dòng)力特性進(jìn)行優(yōu)化與組合。對于已經(jīng)設(shè)計(jì)定型的火箭彈來說，雖然彈體自身動(dòng)力特性已經(jīng)固定，仍可通過改變發(fā)射裝置的設(shè)計(jì)與運(yùn)動(dòng)形式來改變火箭彈的離軌參數(shù)，從而獲取較為理想的離軌參數(shù)，使火箭彈具有較好的空間彈道。

3.2 離軌時(shí)刻的攻角、側(cè)滑角、彈道偏角、彈道傾角

火箭彈速度矢量與地面坐標(biāo)系OgXgYg平面的夾角為彈道傾角θ，將火箭彈絕對離軌速度投影到在彈體坐標(biāo)系中，各向分量寫為矩陣形式：

(21)

(22)

彈體速度矢量V在縱向?qū)ΨQ面上的投影與彈體縱軸之間的夾角即為攻角α:

(23)

速度方向與彈體軸線在水平面內(nèi)的夾角為側(cè)滑角β:

(24)

彈體速度矢量V與地面坐標(biāo)系OgXgYg平面的夾角為彈道傾角θ:

(25)

彈體速度矢量V與地面坐標(biāo)系OgXg軸的夾角為彈道偏角ψc:

(26)

3.3 火箭彈離軌角速度ωt

將離軌角速度ωt投影至彈體坐標(biāo)系中。

(27)

式中：ωxt、ωyt、ωzt為彈體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度在彈體坐標(biāo)系中的各向分量;ωxs、ωys、ωzs為定向器轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在隨動(dòng)坐標(biāo)系中的各向分量，定向器轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在隨動(dòng)坐標(biāo)系中表示為[0,ωh,ωf];ωz為火箭彈沿定向器的螺旋導(dǎo)槽運(yùn)動(dòng)時(shí)引起的彈體自轉(zhuǎn)角速度;ωxz、ωyz、ωzz是ωz在彈體坐標(biāo)系中的各向分量，在彈體坐標(biāo)系中ωz為[ωh,0,0]。

4 兩種特殊跟蹤運(yùn)動(dòng)下的離軌參數(shù)

對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí)，隨動(dòng)控制系統(tǒng)需將射向或火箭彈速度的方向指向目標(biāo)或目標(biāo)前置點(diǎn)，調(diào)炮時(shí)發(fā)射裝置繞俯仰和方位回轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方程形式如式(11)所示，轉(zhuǎn)角φ是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)。上一節(jié)對火箭彈離軌參數(shù)表達(dá)式的推導(dǎo)是基于一般轉(zhuǎn)動(dòng)方程的，沒有限制發(fā)射裝置的轉(zhuǎn)動(dòng)形式，故推導(dǎo)得到的離軌參數(shù)表達(dá)式是通用的，在應(yīng)用至實(shí)際工程中，需要根據(jù)發(fā)射裝置具體轉(zhuǎn)動(dòng)形式，將離軌參數(shù)表達(dá)式進(jìn)行具體化。在實(shí)際工程中，發(fā)射裝置勻速繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)和勻變速繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)是常用的兩種調(diào)炮方式，對兩種運(yùn)動(dòng)方式下的火箭彈離軌參數(shù)進(jìn)行研究很有必要。針對實(shí)際應(yīng)用需求，本節(jié)將對火箭彈離軌參數(shù)表達(dá)式進(jìn)行細(xì)化，以滿足工程使用，研究時(shí)同樣將這兩種調(diào)炮運(yùn)動(dòng)簡化為發(fā)射裝置繞俯仰軸和繞方位軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。

4.1 發(fā)射裝置作勻速跟蹤運(yùn)動(dòng)

發(fā)射裝置繞俯仰回轉(zhuǎn)軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的方程為:

(28)

式中：φf0為t=0時(shí)φf的值;n1為周期。

發(fā)射裝置繞方位回轉(zhuǎn)軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的方程為:

(29)

式中：φh0為t=0時(shí)φh的值;n2為周期。

將ωf和ωh分別代入式(20)和式(27)，則發(fā)射裝置作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)火箭彈的絕對離軌速度和離軌角速度可表示為:

(30)

(31)

式(30)和式(31)分別為發(fā)射裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)火箭彈絕對離軌速度和離軌角速度的表達(dá)式，與式(20)、式(27)相比可知，發(fā)射裝置繞俯仰軸與繞方位軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度均為定值，可用轉(zhuǎn)動(dòng)周期表示，使公式的計(jì)算得到簡化。當(dāng)發(fā)射裝置作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可直接應(yīng)用式(30)和式(31)計(jì)算相應(yīng)的絕對離軌速度和離軌角速度。

4.2 發(fā)射裝置作勻變速跟蹤運(yùn)動(dòng)

發(fā)射裝置繞俯仰回轉(zhuǎn)軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為:

(32)

式中：ωf0、φf0分別為t=0時(shí)的角速度和轉(zhuǎn)角;εf為角加速度。

發(fā)射裝置繞方位回轉(zhuǎn)軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為:

(33)

式中：φh0、ωh0分別為t=0時(shí)的轉(zhuǎn)角和角速度;εh為角加速度。

將ωf和ωh分別代入式(20)和式(27)，則發(fā)射裝置作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)火箭彈的絕對離軌速度和離軌角速度可表示為:

(34)

(35)

式(34)和式(35)分別為發(fā)射裝置勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)火箭彈絕對離軌速度和離軌角速度的表達(dá)式，與式(20)、式(27)相比，式(34)和式(35)針對發(fā)射裝置的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了細(xì)化，更為具體，可直接應(yīng)用公式計(jì)算相應(yīng)的絕對離軌速度和離軌角速度。

5 結(jié) 論

本文主要對防空火箭炮作跟蹤運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)射的火箭彈離軌參數(shù)進(jìn)行了研究，建立了適用于防空多管火箭炮的坐標(biāo)系，完成了相關(guān)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，在簡化發(fā)射裝置繞俯仰回轉(zhuǎn)軸和繞方位回轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了發(fā)射裝置作跟蹤運(yùn)動(dòng)時(shí)火箭彈離軌瞬間的運(yùn)動(dòng)參數(shù)表達(dá)式，能夠根據(jù)火箭彈離軌時(shí)發(fā)射裝置的轉(zhuǎn)動(dòng)速度、彈體質(zhì)心至回轉(zhuǎn)軸的矢徑以及火箭彈自身動(dòng)力特性計(jì)算相應(yīng)的離軌參數(shù)，為火箭彈空間彈道解算提供了較為準(zhǔn)確的初始條件。另外，針對防空火箭炮常用的勻速跟蹤運(yùn)動(dòng)與勻變速跟蹤運(yùn)動(dòng)，將火箭彈絕對離軌速度和離軌角速度表達(dá)式進(jìn)行了細(xì)化，為實(shí)際工程應(yīng)用提供了參考。

參考文獻(xiàn)(References)

[1] 徐明友.火箭外彈道學(xué)[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1980．

XU Ming-you. Exterior ballistics of rockets[M]. Beijing:National Defense Industry Press, 1980．(in Chinese)

[2] 姚昌仁. 火箭導(dǎo)彈發(fā)射裝置設(shè)計(jì)[M]. 北京: 北京理工大學(xué)出版社, 1998．(in Chinese)

YAO Chang-ren. Design of rocket and missile launching device[M]. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 1998．(in Chinese)

[3] 李強(qiáng), 薄玉成, 朵英賢．轉(zhuǎn)管炮旋轉(zhuǎn)發(fā)射慣性對彈丸起始擾動(dòng)的影響分析[J]. 彈道學(xué)報(bào), 2005, 17(4): 88-92．

LI Qiang, BO Yu-cheng, DUO Yin-xian. Influence of rotating effect on initial bullet disturbancein gatling guns[J]. Journal of Ballistics, 2005, 17(4)：88-92．(in Chinese)

[4] 陳陣, 畢世華, 劉廣璞, 等. 火箭彈初始擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究[J]. 固體火箭技術(shù), 2010, 33(1): 112-114．

CHEN Zhen, BI Shi-hua, LIU Guang-pu, et al. Exper imental research on initial disturbances of rocket[J]. Journal of Solid Rocket Technology, 2010, 33(1): 112-114．(in Chinese)

[5] 戴耀, 汪德虎. 艦艇運(yùn)動(dòng)對艦炮起始發(fā)射條件的影響[J]. 火炮發(fā)射與控制學(xué)報(bào), 2002(3): 9-12．

DAI Yao, WANG De-hu. Influense of warship motion to naval gun initiative shoot condition[J].Jourmal of Gun Launch & Control, 2002(3): 9-12.(in Chinese)

[6] 韓雁飛. 艦空導(dǎo)彈發(fā)射模型研究[J]. 艦載武器, 2001(4): 12-16．

HAN Yan-fei.Study on launch model of ship to air missile[J].Shipborne Weapons,2001(4):12-16．(in Chinese)

[7] 劉志明, 韓珺禮, 高敏. 火箭炮發(fā)射過程中火箭彈沿定向管運(yùn)動(dòng)分析[J]. 火炮發(fā)射與控制學(xué)報(bào), 2003(2): 7-11．

LIU Zhi-ming, HAN Jun-li, GAO Min. Analysis of rocket movement along guided launcher during firing[J]. Joumal of Gun Launch & Control, 2003(2): 7-11．(in Chinese)