成庭榮

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

利用矩陣方法求解初等數(shù)學(xué)問題*

成庭榮

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

列舉了幾個(gè)應(yīng)用矩陣的知識求解初等數(shù)學(xué)問題的實(shí)例，用高觀點(diǎn)去認(rèn)識、理解初等數(shù)學(xué)問題，能拓寬數(shù)學(xué)解題的思路，有助于加深對問題本質(zhì)的理解。

矩陣；初等數(shù)學(xué)；最大公因式；通項(xiàng)公式；線性方程組

矩陣?yán)碚撌歉叩却鷶?shù)的基本內(nèi)容，這些理論的發(fā)展和完善離不開初等數(shù)學(xué)強(qiáng)有力的推動(dòng)作用，反過來，利用矩陣的理論和方法又可以靈活地用來解決初等數(shù)學(xué)中的相關(guān)問題[1]。

1 利用矩陣求最大公因式

在初等數(shù)學(xué)中，求2個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式一般用因式分解和輾轉(zhuǎn)相除的方法，運(yùn)算過程較為復(fù)雜，如果采用矩陣的知識，可使求解過程簡潔許多。根據(jù)多項(xiàng)式理論，容易得到以下結(jié)論：

(f(x),g(x))=(g(x),f(x))；

(f(x),g(x))=(f(x),kg(x))，k≠0；

(f(x),g(x))=(f(x)+kg(x),g(x))，k是常數(shù)；

(f(x),g(x))=(f(x),xg(x))

其中,f(x)的常數(shù)項(xiàng)不為零。

例1求f(x)=3x3-5x2+3x-1和g(x)=6x3-x2+1的最大公因式。

因此:

(f(x),g(x))=(3x3-2x2+x,3x2-2x+1)=3x2-2x+1

2 用矩陣方法求一類數(shù)列的通項(xiàng)公式

因此：

即:

an=2n-2bn=1-2n-2(n≥2)

一般地，若:

式中，p,q,r,s,t,u∈R，pt-qs≠0，在已知初始條件a1、b1的情況下，都可以用矩陣的方法進(jìn)行巧妙的求解[3]。

3 巧用矩陣方法使復(fù)雜問題簡單化

例3設(shè)a,b,c,d∈R，求證：

a2+b2=1c2+d2=1ac+bd=0

(1)

成立的充要條件為：

a2+c2=1b2+d2=1ab+cd=0

(2)

若式(1)成立，則AAT=E，即A為正交陣，從而ATA=E，即：

所以式(2)成立。反之亦然。

例4若x+y+z=x+2y+az=x+4y+a2z=0，且a=x+2y+z+1。求a。

解考察如下線性方程組并對其增廣矩陣B施以初等行變換：

由于方程組有解，所以增廣矩陣B的秩等于系數(shù)矩陣的秩，于是(a-1)(a-2)=0即a=1或2。

例5中國象棋盤上的馬跳回原位所需的步數(shù)為偶數(shù)。

證明以馬的起點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)棋盤上的每格的長度為1，將馬的每種跳法與向量對應(yīng)，共8種，分別為：

α1=(1,2)α2=(2,1)α3=(-1,2)α4=(-2,1)

α5=(-2,-1)α6=(-1,-2)α7=(1,-2)α8=(2,-1)

第3行對應(yīng)的方程為-2x3-4x4-6x5-6x6-4x7-2x8=-6k-3。因?yàn)閤1,…,x8,k均為自然數(shù)，所以方程左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，則方程組無解，這說明馬跳回原位的步數(shù)不可能是奇數(shù)，從而馬跳回原位的步數(shù)為偶數(shù)。

4 結(jié) 語

在平時(shí)的教學(xué)中，若能將高等數(shù)學(xué)的理論與初等數(shù)學(xué)的知識有機(jī)的結(jié)合起來，既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的求知欲，開拓解題思路，也可以培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力以及綜合運(yùn)用知識的能力，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提高。在解決某些初等數(shù)學(xué)問題時(shí)，如能巧妙地構(gòu)造矩陣或線性方程組，利用矩陣的方法，可使看似復(fù)雜的問題大大地簡化[4]。

[1]菲利克斯·克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)[M].舒湘芹，陳義章譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

[2] 朱榮坤.高等代數(shù)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)問題研究 [J] .集美大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，10(4)：76-79.

[3] 袁曉靜.矩陣方法求一類數(shù)列的通項(xiàng) [J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究, 2008(11)：32-33.

[4] 錢吉林.高等代數(shù)題解精粹 [M] .北京：中央民族大學(xué)出版社，2009.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.11.011

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