余瑞艷

(長江大學(xué)一年級教學(xué)工作部，湖北 荊州 434023)

基于期望最大算法的高斯混合模型參數(shù)估計(jì)

余瑞艷

(長江大學(xué)一年級教學(xué)工作部，湖北 荊州 434023)

高斯混合模型(GMM)已在圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，對于該GMM模型中各項(xiàng)參數(shù)的估計(jì)依然是一件值得研究的問題。采用期望最大算法(EM)來估計(jì)該模型對應(yīng)的多參數(shù)，并給出其詳細(xì)的推導(dǎo)過程。試驗(yàn)結(jié)果表明，EM算法在估計(jì)GMM模型中各項(xiàng)參數(shù)時具有很強(qiáng)的魯棒性，并取得了很好的效果。

期望最大算法；高斯混合模型；估計(jì)

在圖像處理(image processing)和計(jì)算機(jī)視覺(computer vision)領(lǐng)域，常利用自然圖像的統(tǒng)計(jì)模型將對應(yīng)的問題轉(zhuǎn)化為圖像的Bayes估計(jì)問題，正確的圖像統(tǒng)計(jì)模型可作為先驗(yàn)知識或約束項(xiàng)來增強(qiáng)該問題估計(jì)過程中的魯棒性。近年來，拉普拉斯先驗(yàn)(Laplacian Prior)模型與超拉普拉斯先驗(yàn)(Hyper-Laplacian Prior)模型已被廣泛應(yīng)用于自然圖像梯度分布的統(tǒng)計(jì)分析[1-3]，并取得了很好的應(yīng)用效果。2006年，F(xiàn)ergus采用高斯混合模型(Gaussian Mixture Model, GMM)來擬合自然圖像的先驗(yàn)分布，有效地解決了運(yùn)動模糊圖像的盲復(fù)原問題[4]。進(jìn)一步地，GMM模型在理論與實(shí)際應(yīng)用上得到了廣泛的應(yīng)用[5-10]。雖然GMM模型在眾多工程領(lǐng)域得到了廣泛的研究，且基于GMM模型的數(shù)學(xué)方法取得了很好的應(yīng)用。但GMM模型中需估計(jì)的多參數(shù)限制了該模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用，因此對于GMM模型中的多參數(shù)估計(jì)是值得研究的問題。下面，筆者將采用期望最大算法(Expectation Maximization Algorithm, EM)來估計(jì)對應(yīng)GMM模型中的多參數(shù)，并利用實(shí)際案例來檢驗(yàn)EM算法在GMM模型中的有效性。

1 高斯混合模型

高斯混合模型(GMM)是由C個單一的高斯模型N(x|μ,?)構(gòu)建而成，參數(shù)C依實(shí)際情況而定：

(1)

假設(shè)不完全數(shù)據(jù)(incomplete data)x中的每個概率密度函數(shù)分量pc(x|μc,?c)服從d維高斯分布：

(2)

2 GMM參數(shù)估計(jì)中的EM算法

式(1)中不完全數(shù)據(jù)x的對數(shù)似然函數(shù)(log-likelihood expression)[11]為：

(3)

式中，“子集核”θc?Θ。對含log的式(3)難以優(yōu)化求解，為此引入一組指示函數(shù)y={y1,y2,…,yN}：{yi=k|xi屬于第k個單一高斯模型},且滿足yi∈{1,2,…,C}。此時對數(shù)似然函數(shù)(3)可轉(zhuǎn)化成：

(4)

的優(yōu)化求解。由Bayes公式，有:

根據(jù)基本EM算法中的“E-步驟”[11]，式(4)又可轉(zhuǎn)化成如下問題的求解:

(5)

根據(jù)概率密度函數(shù)分量pc(x|μc,?c)的定義，對其兩邊取自然對數(shù)，忽略其中的常數(shù)項(xiàng)，并與式(6)聯(lián)立起來，有：

(7)

在有效估計(jì)期望μc的基礎(chǔ)上，接下來估計(jì)方差?c，此時式(7)可重新改寫成：

(8)

式中，矩陣的跡tr(·)表示成對應(yīng)矩陣的特征值之和，且Nc,i=(xi-μc)(xi-μc)T。

綜上所述，估計(jì)高斯混合模型(GMM)中各項(xiàng)參數(shù)的EM算法為：

圖1 概率統(tǒng)計(jì)直方圖與GMM擬合曲線

3 試驗(yàn)結(jié)果及分析

例1假設(shè)一高斯混合模型的函數(shù)表達(dá)式為：

GMM=0.3Ν(1,1)+0.7N(1,9)

(9)

其對應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)直方圖如圖1所示。

利用筆者介紹的EM算法，得到GMM模型(9)中各參數(shù)的估計(jì)值，如表1所示。由表1中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，利用筆者介紹的EM算法可以很好地估計(jì)了GMM模型中的各項(xiàng)參數(shù)，其對應(yīng)的擬合曲線較好地逼近了真實(shí)的概率分布情形(見圖1)。

4 結(jié) 語

表1 GMM模型中的各參數(shù)的估計(jì)值

高斯混合模型(GMM)已被廣泛地應(yīng)用地圖像處理領(lǐng)域，并取得了令人滿意的效果。但對于GMM模型中對應(yīng)參數(shù)的估計(jì)，依然是一個值得繼續(xù)探討的問題。筆者給出了估計(jì)GMM模型中各項(xiàng)參數(shù)(權(quán)重、期望與方差)的期望最大算法EM，推導(dǎo)了其詳細(xì)的計(jì)算過程。并基于1個實(shí)際案例，驗(yàn)證了EM算法在估計(jì)GMM模型中各項(xiàng)參數(shù)的有效性和魯棒性，為GMM模型在圖像處理中的進(jìn)一步應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

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[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.11.005

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16731409(2012)11N01203