● (奉化中學(xué) 浙江奉化 315500)

旋轉(zhuǎn)的雙曲線

●陳兒(奉化中學(xué) 浙江奉化 315500)

1 旋轉(zhuǎn)變換

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修4-2“矩陣與變換”的第1講“線性變換與二階矩陣”給出了平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換的定義.

我們可以得到直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角的旋轉(zhuǎn)變換(通常記為Rα)的坐標(biāo)變化公式：

如圖1，分別聯(lián)結(jié)OP，OP′，設(shè)OP=OP′=r，記θ是以x軸的正半軸為始邊、以射線OP為終邊的角.由三角函數(shù)的定義得

圖1

2 雙曲線的旋轉(zhuǎn)

在雙曲線上任取一點(diǎn)P(x,y)，繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角，得到點(diǎn)P′(x′,y′)，那么

整理可得

(b2cos2α-a2sin2α)·x′2+(b2sin2α-a2cos2α)·y′2+(b2+a2)·x′y′·sin2α=a2b2.

如果旋轉(zhuǎn)變換之后的雙曲線是一個(gè)函數(shù)，那么可以令b2sin2α-a2cos2α=0，此時(shí)

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化成

即函數(shù)的解析式為

即

即

因?yàn)?/p>

該雙曲線方程的焦點(diǎn)在x軸上.

3 應(yīng)用

現(xiàn)在再來解文首給出的例1就會(huì)比較簡單.

從而

[1]劉健.創(chuàng)設(shè)生態(tài)的課堂教學(xué)環(huán)境,構(gòu)建自然的知識(shí)生成過程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2011(11):23-24.