張興坊

(棗莊學(xué)院 光電工程學(xué)院，山東 棗莊 277160)

0 引言

光繞過(guò)障礙物而繼續(xù)傳播的現(xiàn)象稱(chēng)為光的衍射，其內(nèi)容是基礎(chǔ)光學(xué)的重要組成部分［1］，其演示實(shí)驗(yàn)也是物理實(shí)驗(yàn)中常做的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)之一.當(dāng)衍射實(shí)驗(yàn)選用單色性能優(yōu)良的激光器作為光源時(shí)，其衍射現(xiàn)象又被稱(chēng)為夫瑯禾費(fèi)衍射.按照衍射屏的不同，夫瑯禾費(fèi)衍射主要分為單縫和圓孔衍射兩種.一般只要把激光照射到衍射屏上，即可在觀察屏上看到明顯的衍射圖樣.夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)雖然簡(jiǎn)單易做，但實(shí)驗(yàn)中所用的光源波長(zhǎng)、衍射屏形狀相對(duì)單一，并且衍射光斑有時(shí)肉眼分辨不清，不能及時(shí)的反映衍射圖樣與光源波長(zhǎng)、屏尺寸及形貌的關(guān)系，故還需借助計(jì)算機(jī)對(duì)衍射圖樣進(jìn)行模擬［2］，以達(dá)到對(duì)衍射現(xiàn)象的直觀理解.本文通過(guò)分析衍射理論，利用MATLAB程序，模擬了圓孔、矩孔的夫瑯禾費(fèi)衍射圖像，對(duì)比了不同波長(zhǎng)的衍射光斑和孔參數(shù)的關(guān)系.

1 夫瑯禾費(fèi)衍射原理

光是電磁波中可見(jiàn)的部分，其產(chǎn)生衍射圖樣的理論基礎(chǔ)為惠更斯原理，利用麥克斯韋方程組求解光通過(guò)小孔后的電磁波角分布，即可得到衍射圖樣.但嚴(yán)格的衍射電磁波求解需采用矢量場(chǎng)理論，計(jì)算較為復(fù)雜，而當(dāng)衍射角度不大時(shí)，利用標(biāo)量衍射理論即能較好的解決衍射問(wèn)題，其數(shù)學(xué)表示形式為基爾霍夫公式.當(dāng)衍射屏為小孔時(shí)，基爾霍夫公式可近似表示為［3］

其中，ψ0為原點(diǎn)處的場(chǎng)，k1、k2為入射波矢和衍射波矢，θ1、θ2為入射方向和衍射方向與小孔面法線(xiàn)方向的夾角，x和x'分別為空間中的場(chǎng)點(diǎn)和小孔面上的一點(diǎn)，S0為小孔孔面，ψ(x )2代表x處的衍射光強(qiáng)度.當(dāng)入射光垂直照射到小孔時(shí)，k1·x'=0，cosθ1=1，則(1)又可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

對(duì)于不同的衍射屏，只需要將(2)式中的積分計(jì)算出來(lái)，即可得到遠(yuǎn)處x處的場(chǎng)，其模平方為衍射光強(qiáng)度.當(dāng)其與衍射角度為零時(shí)的光強(qiáng)做對(duì)比時(shí)，可得到相對(duì)光強(qiáng).

當(dāng)小孔形狀為半徑為a的圓孔時(shí)，由(2)式可得衍射光強(qiáng)為

其中，α為衍射波矢沿小孔面法線(xiàn)方向(z軸的方向)，I0表示當(dāng)衍射角度為零時(shí)在z軸的衍射光強(qiáng).

當(dāng)小孔形狀為邊長(zhǎng)a和b的矩形時(shí)，由(2)式可得衍射光強(qiáng)為

2 結(jié)果與分析

2.1 圓孔衍射

圖2(a)給出了當(dāng)圓孔半徑為10微米，入射波長(zhǎng)為500nm時(shí)的夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布.由圖可見(jiàn)，衍射光斑的能量大多集中于中心光斑(艾里斑)，中心處光強(qiáng)最大為1.在插圖中可見(jiàn)，前三個(gè)次極明紋的峰值分別為0.0175，0.0042和0.0016，位置分別在5.14，8.42和11.6，而衍射光強(qiáng)值為零時(shí)的位置分別在3.83，7.02和10.17.說(shuō)明隨著衍射角度的增加，相比于中心明紋的峰值，次級(jí)明紋的強(qiáng)度迅速減小，第一個(gè)次級(jí)明紋的峰值已減小到1/60，并且其寬度也減小，而其它次級(jí)明紋峰值則更小，強(qiáng)度更弱，經(jīng)過(guò)計(jì)算表明，艾里斑的能量占據(jù)了衍射光斑能量的大部分，達(dá)到84%［1］.還可以看到，第一個(gè)與第二個(gè)次級(jí)明紋的寬度和峰位幾乎無(wú)差別，分別約為3.15和3.2，但次級(jí)明紋光強(qiáng)峰值所在的位置并不恰好在兩個(gè)暗紋的正中間.另外，還需要指出的是，衍射光強(qiáng)為零的這些位置實(shí)際上是一階貝塞爾函數(shù)為零時(shí)的數(shù)學(xué)解，因而衍射光斑寬度與波長(zhǎng)成正比，即波長(zhǎng)越大衍射光斑尺寸越大，但衍射寬度與圓孔尺寸成反比，即圓孔尺寸越大衍射光斑尺寸越小.圖2(b)給出了衍射圖樣隨波長(zhǎng)變化的關(guān)系.

圖2 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射(a)光強(qiáng)分布，(b)隨波長(zhǎng)變化關(guān)系

2.2 矩孔衍射

圖3(a)為夫瑯禾費(fèi)矩孔衍射光強(qiáng)分布圖.由圖可見(jiàn)，矩孔衍射光斑的能量也大多集中于中心明紋處.由插圖中可見(jiàn)，前三個(gè)次極明紋的峰值分別為0.0472，0.0165和0.0083，位置分別在4.49，7.73和10.9，而衍射光強(qiáng)值為零時(shí)的位置分別在3.14，6.28和9.42.說(shuō)明隨著衍射角度的增加，次級(jí)明紋的強(qiáng)度迅速減小，第一個(gè)次級(jí)明紋的峰值已減小到1/25，并且其寬度恰好為中心明紋寬度的一半，而其它次級(jí)明紋峰值更小強(qiáng)度更弱.還可以看到，矩孔次級(jí)明紋光強(qiáng)峰值所在的位置并不恰好在兩個(gè)暗紋的正中間，稍微偏向于中心明紋的位置.但通過(guò)計(jì)算得知，隨著衍射角度的增大，次級(jí)明紋的位置也越來(lái)越傾向于處在兩個(gè)暗紋的正中間.矩孔衍射光斑寬度與波長(zhǎng)也是成正比，即波長(zhǎng)越大光斑尺寸越大，但衍射寬度與矩孔尺寸成反比，即矩孔尺寸越大衍射光斑尺寸越小.圖3(b)給出了波長(zhǎng)為500nm的光波垂直照射在長(zhǎng)寬分別為20微米和40微米的矩孔表面所形成的衍射圖樣.由圖可見(jiàn)，矩孔邊長(zhǎng)越大，則平行于其方向的衍射光斑尺寸約小，在同等視角內(nèi)的光斑也越多，矩孔邊長(zhǎng)越小，則衍射光斑越分離;同時(shí)，在非平行于邊長(zhǎng)的位置，也出現(xiàn)了衍射光斑，但光斑強(qiáng)度均較弱.

圖3 夫瑯禾費(fèi)矩孔衍射(a)光強(qiáng)分布，(b)衍射光斑

2.3 圓孔衍射與矩孔衍射對(duì)比

比較圖2與圖3可知，當(dāng)圓孔衍射與矩孔衍射的中心明紋峰值均為1時(shí)，兩種衍射條紋的次極明紋峰值不同.總體來(lái)說(shuō)，對(duì)于同一級(jí)衍射次級(jí)明紋，矩孔衍射次級(jí)明紋的峰值相對(duì)較大，而寬度則差別較小，均約為3.14.

3 結(jié)論

本文利用衍射標(biāo)量場(chǎng)理論，計(jì)算和模擬了光在圓孔和矩孔情況下的衍射圖樣，分析了衍射光斑的尺寸與衍射屏尺寸、入射波長(zhǎng)間的關(guān)系，結(jié)果與理論分析相一致，體現(xiàn)了計(jì)算機(jī)模擬仿真可使教學(xué)手段更豐富、更直觀的特點(diǎn).

［1］姚啟鈞.光學(xué)教程［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［2］梁蘭菊，田貴才，張?jiān)Ｊ?，?光學(xué)衍射實(shí)驗(yàn)的MATLAB仿真［J］.棗莊學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，27(2):6－8.

［3］郭碩鴻.電動(dòng)力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2008.