陳秀梅

（濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261061）

1 引言

設(shè)A＝（aij）為n階矩陣，矩陣A稱為對(duì)角占優(yōu)矩陣

嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣是在數(shù)值計(jì)算、控制論中經(jīng)常用到的一類矩陣，我們已經(jīng)熟知它一定是可逆矩陣，本文主要討論一種比嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣要稍弱一些的矩陣的可逆性。

2 主要結(jié)果

定理 如果n階矩陣A＝（aij）滿足：對(duì)任意1≤i，j≤n的，且i≠j，都有｜aiiajj｜＞RiRj，則矩陣A 是可逆矩陣。

證明 由條件知，對(duì)1≤i≤n，都有aij≠0。

（1）如果對(duì)1≤i≤n，都有｜aij｜＞Ri，即A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，則矩陣A可逆。

（2）如果存在某個(gè)k∈｛1，…，n｝，使得｜akk｜≤Rk，則由條件知，這樣的k只有一個(gè)，從而對(duì)1≤i≤n，且i≠k，都有｜aii｜＞Ri。

取P＝diag｛p1，…，pn｝，其中，對(duì)所有的i≠k，pi＝1，而pk為大于1的待定的正數(shù)。顯然P可逆，故只需選擇合適的pk使得p-1AP嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)即可證明A可逆。

矩陣A稱為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，是指＋｜aik｜pk＝Ri＋｜aik｜（pk-1）。因此為使P-1AP嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，只需取合適的所有的i≠k，Ri＋｜aik｜（pk-1）＜｜aii｜。

因此可以取到pk使得P-1AP嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，從而A可逆。

推論 設(shè)n階矩陣A＝（aij）的所有對(duì)角元非零，且A是對(duì)角占優(yōu)矩陣，又除了i＝1，…，n的一個(gè)值以外，對(duì)所有其他的值有｜aii｜＞Ri，則矩陣A是可逆矩陣。

[1]Horn R A.矩陣分析[M].楊奇，譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005：245-250.

[2]高益明.廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣與 M-矩陣的判定準(zhǔn)則[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1992，14（3）：233-239.

[3]郭希娟，高益明.廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣與非奇 M矩陣的判定[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1999，21（2）：189-192.