宮 娟，陳宗煊

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

關(guān)于二階線性微分方程解的增長性

宮 娟，陳宗煊*

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東廣州 510631)

研究了二階微分方程f″+A1(z)P(ez)f′+A0(z)Q(ez)f=0和f″+(A1(z)P(ez)+D1(z))f′+(A0(z)Q(ez)+D0(z))f=0解的增長性，其中P(ez)與Q(ez)是ez的非常數(shù)多項式，它們的常數(shù)項都為零，且次數(shù)不相等.證明了該方程的每個非零解有無窮級.

微分方程; 整函數(shù); 增長級

1 引言與結(jié)果

本文所涉及的亞純函數(shù)的值分布的基本理論和標(biāo)準(zhǔn)記號見文獻(xiàn)[1]-[3]， 并用σ(f)表示亞純函數(shù)f(z)的增長級.

考慮微分方程

f″+e-zf′+Q(z)f=0

(1)

解的增長級問題，其中Q(z)是有限級整函數(shù).

眾所周知，方程(1)的每個解都是整函數(shù)，而且如果f1和f2是方程(1)的任意2個線性無關(guān)解，那么至少有一個具有無窮級[4]，所以方程(1)的“大多數(shù)”解具有無窮級.

一個很自然的問題是：當(dāng)Q(z)滿足什么條件時，能保證方程(1)的每個解具有無窮級？

文獻(xiàn)[5]證明了

定理A 假設(shè)C(≠0)是復(fù)常數(shù)，如果方程

f″+e-zf′+Cf=0

(2)

具有有限級非零解，那么C=-k2,其中k是一個正整數(shù)，反過來，對每個正整數(shù)k,方程(2) (其中C=-k2)具有關(guān)于ez的k次多項式解f.

文獻(xiàn)[6]-[8]研究了Q(z)是特殊多項式的情況，文獻(xiàn)[9]對于Q(z)是一般多項式的情況證明了

定理B[9]假設(shè)Q(z)是非常數(shù)多項式，D是非零常數(shù)，那么方程

f″+De-zf′+Q(z)f=0

(3)

的所有非零解具有無窮級.

對于Q(z)是超越整函數(shù)的情況,有

定理C[8]假設(shè)Q(z)是超越整函數(shù)且級σ(Q)≠1,那么方程(1)的每個非零解具有無窮級.

定理C表明當(dāng)σ(Q)=1時，方程(1)可能有有限級解，繼續(xù)深入考慮這個問題：當(dāng)σ(Q)=1時，滿足什么條件，將保證方程(1)的每個非零解有無窮級？對于更一般的問題，有

定理D[10]假設(shè)Aj(z) (?0;j=0,1)是整函數(shù)，且σ(Aj)<1,a,b是復(fù)常數(shù)，滿足ab≠0和a=cb(c>1)，那么方程

f″+A1(z)eazf′+A0(z)ebzf=0

(4)

的所有非零解具有無窮級.

定理E[10]假設(shè)Aj(z) (?0),Dj(z)(j=0,1)是整函數(shù)，且σ(Aj)<1,σ(Dj)<1,a,b是復(fù)常數(shù)，滿足ab≠0和arga≠argb或a=cb(0

f″+(A1eaz+D1)f′+(A0ebz+D0)f=0

(5)

的每個非零解具有無窮級.

定理D和定理E大大推廣和完善了文獻(xiàn)[6]-[9]的結(jié)果.

定理1 假設(shè)P(ez)=amemz+am-1e(m-1)z+…+a1ez，Q(ez)=bnenz+bn-1e(n-1)z+…+b1ez，其中aj(j=1,…,m),bk(k=1,…,n)是常數(shù)，且ambn≠0,m,n≥1,m>n,Aj(z) (?0;j=0,1)是整函數(shù)，且σ(Aj)<1.那么方程

f″+A1(z)P(ez)f′+A0(z)Q(ez)f=0

(6)

的所有非零解具有無窮級.

定理2 假設(shè)P(ez)=amemz+am-1e(m-1)z+…+a1ez，Q(ez)=bnenz+bn-1e(n-1)z+…+b1ez，其中aj(j=1,…,m),bk(k=1,…,n)是常數(shù)，且ambn≠0,m,n≥1,m

f″+(A1P(ez)+D1)f′+(A0Q(ez)+D0)f=0

(7)

的每個非零解具有無窮級.

從定理1和定理2推導(dǎo)下面的推論：

本文通過對硅質(zhì)巖主量元素、微量元素和稀土元素的研究，分析該區(qū)硅質(zhì)巖的沉積環(huán)境及其與成礦作用的關(guān)系，對把握正確的找礦方向具有重要意義。

推論1 假設(shè)P(ez)=amemz+am-1e(m-1)z+…+a1ez，Q(ez)=bnenz+bn-1e(n-1)z+…+b1ez，其中aj(j=1,…,m),bk(k=1,…,n)是常數(shù)，且ambn≠0(m,n≥1)，Aj(z) (?0;j=0,1)是整函數(shù)，且σ(Aj)<1.若m≠n, 則方程(6)的所有非零解有無窮級.

2 引理和注

注1 假設(shè)P(ez)=amemz+am-1e(m-1)z+…+a1ez,其中am,…,a1是常數(shù)，m≥1是整數(shù)，am≠0,由上面P(ez)的定義，能得到

|P(ez)|=|am|emrcos θ(1+o(1))

其中M(>0)是某常數(shù).

引理1[10]假設(shè)P(z)=(α+iβ)zn+… (α,β是實數(shù)，|α|+|β|≠0) 是多項式且次數(shù)n≥1,A(z)(? 0)是整函數(shù)且σ(A)0, 存在集合H1?[0,2),其線測度為零，滿足對任意θ[0,2)(H1∪H2), 存在R>0, 使得對|z|=r>R, 有

(i)如果δ(P,θ)>0, 那么

exp{(1-ε)δ(P,θ)rn}<|g(reiθ)|<

exp{(1+ε)δ(P,θ)rn},

(8)

(ii)如果δ(P,θ)<0, 那么

exp{(1+ε)δ(P,θ)rn}<|g(reiθ)|<

exp{(1-ε)δ(P,θ)rn},

(9)

由引理1和注1容易得到下面的引理2.

(i)如果cosθ>0,那么

exp{(1-ε)mrcosθ}(1+o(1))≤|g(reiθ)|≤

exp{(1+ε)mrcosθ}(1+o(1)),

(10)

(ii)如果cosθ<0,那么

|g(reiθ)|≤Rexp{rcosθ+rσ(A)+ε},

(11)

引理3[11]設(shè)f(z) 是整函數(shù)，|f(k)(z)|在某射線argz=θ上是無界的，那么存在一無窮點列zn=rneiθ(n=1,2,…), 其中rn→∞,滿足f(k)(zn)→∞和

(12)

引理4[12]假設(shè)f是超越亞純函數(shù)且σ(f)=σ<∞,H={(k1,j1), (k2,j2),…, (kq,jq)}是一個不同整數(shù)對的有限集，且滿足ki>ji≥0 (i= 1,2,…,q), 假設(shè)ε>0是一任意給定常數(shù)，那么存在一線測度為零的集合E?[0,2), 滿足：若ψ[0,2)E, 則存在常數(shù)R0=R0(ψ)>1, 滿足對所有滿足argz=ψ和|z|≥R0的z，對所有(k,j)H，有

(13)

引理5[13]假設(shè)f(z)是一整函數(shù)且σ(f)=σ<∞,假設(shè)存在子集E?[0,2)具有線測度零，滿足對任意射線argz=θ0[0,2)E,

|f(reiθ0)|≤Mrk,

其中M=M(θ0)>0是一常數(shù)，k(>0)是一與θ0無關(guān)的常數(shù)，則f(z)是一多項式且degf≤k.

3 定理1 的證明

假設(shè)f(z)(?0)是式(6)的超越解且σ(f)=σ<∞.由引理4和注2可知，對任給ε>0,滿足

(14)

(15)

(i)如果cosθ<0,那么

|A1(reiθ)P(ereiθ)|≤Nexp{rcosθ+rσ1+ε},

|A0(reiθ)Q(ereiθ)|≤Nexp{rcosθ+rσ0+ε};

(16)

(ii) 如果cosθ>0,那么

|A1(reiθ)P(ereiθ)|≥exp{(1-ε)mrcosθ}(1+o(1)),

|A0(reiθ)Q(ereiθ)|≤exp{(1+ε)nrcosθ}(1+o(1));

(17)

其中N>0是常數(shù)，σ1=σ(A1),σ0=σ(A0).

情形1 cosθ<0.由式(6)，得到

(18)

如果|f″(reiθ)|在射線argz=θ上是無界的，那么由引理3,存在一無窮點列{zt=rteiθ},其中rt→∞滿足f″(zt)→∞和

(19)

將式(16)和(19)代入式(18)，得到: 當(dāng)t→∞時，

這是一個矛盾.所以

|f″(reiθ)|≤M1

(20)

在argz=θ上成立，其中M1>0是常數(shù).取積分路線Γ={s: args=θ,0≤|s|≤|z|}, 由式(20)和

得到

|f′(z)|≤M2|z|,

(21)

其中M2>0是常數(shù).類似地，由式(21)得到在射線argz=θ上，|f(z)|≤M|z|2(M>0是常數(shù)).

情形2 cosθ>0.由式(6)，得到

(22)

如果|f′(reiθ)|在射線argz=θ上是無界的，那么由引理3,存在一無窮點列{zt=rteiθ},其中rt→∞滿足f′(zt)→∞和

(23)

將式(15)、(17)、(23)代入式(22)，得到: 當(dāng)rt→∞時，

exp{(1-ε)mrtcosθ}(1+o(1))≤

nrtcosθ}(1+o(1)),

(24)

由式(14)、(24)，得到

(25)

由于cosθ>0，可知當(dāng)rt→∞,式(25)是一個矛盾.所以在射線argz=θ上

|f′(reiθ)|≤M

(26)

成立.使用如同上面相同的理由，得到在射線argz=θ上|f(z)|≤M|z|2成立.

exp{(1-ε)mrcosθ}rk-1(1+o(1))≤

|A1(reiθ)P(ereiθ)f′(reiθ)|≤

|f″(reiθ)|+|A0(reiθ)Q(ereiθ)f(reiθ)|≤

r2kexp{(1+ε)nrcosθ}(1+o(1)),

由Q(ez)?0,可知f不可能為非零常數(shù).所以式(6)的每個非零解具有無窮級.

4 定理2 的證明

使用類似定理1的證明方法，可以證明式(7)不可能有非零多項式解.

下面假設(shè)f(z)(?0)是式(7)的超越解且σ(f)=σ<∞.由引理4，對任給ε(0<2ε<1-σ(D1)),存在集合E1?[0,2)有線測度零，如果θ[0,2)E1，那么存在常數(shù)R0=R0(θ)>1,使得對所有滿足argz=θ和|z|=r≥R0的z，

(27)

|A0(reiθ)Q(ereiθ)+D0(reiθ)|≥

exp{(1-ε)nrcosθ}(1+o(1)),

(28)

|A1(reiθ)P(ereiθ)+D1(reiθ)|≤

exp{(1+ε)mrcosθ}(1+o(1)).

(29)

由式(7)、(27)、(28)、(29)得到

exp{(1-ε)nrcosθ}(1+o(1))≤|A0Q(ez)+D0|≤

2r2(σ-1+ε)exp{(1+ε)mrcosθ}(1+o(1)).

(30)

exp{(m+n)εrcosθ}≤4r2(σ-1+ε).

這是一個矛盾，定理2證畢.

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Keywords： differential equation; entire function; order of growth

OntheGrowthofSolutionsofSecondOrderLinearDifferentialEquations

GONG Juan, CHEN Zongxuan*

(School of Mathematics，South China Normal University，Guangzhou 510631,China)

The growth of solutions of the differential equationsf″+A1(z)P(ez)f′+A0(z)Q(ez)f=0 andf″+(A1P(ez)+D1(z))f′+(A0Q(ez)+D0(z))f=0 is investigated, whereP(ez)andQ(ez)are nonconstant polynomials without constant term, and degPis not equal to degQ. It is showed that the order of growth of each nonzero solution of the above equations is infinite.

2010-12-10

國家自然科學(xué)基金項目(10871076)

*通訊作者，chzx@vip.sina.com

1000-5463(2012)01-0029-04

O175.29

A

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】