陶庭葉 高 飛 劉文星 張春喜

(1)合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009 2)武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)中心，武漢 430079 3)安徽省北斗衛(wèi)星導(dǎo)航重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥230088)

利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對GPS廣播星歷插值*

陶庭葉1，2，3)高 飛1)劉文星1)張春喜1)

(1)合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009 2)武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)中心，武漢 430079 3)安徽省北斗衛(wèi)星導(dǎo)航重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥230088)

針對多項(xiàng)式插值計算任意時刻GPS衛(wèi)星坐標(biāo)過程中出現(xiàn)的Runge現(xiàn)象，提出了采用徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對GPS廣播星歷計算所得衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行插值。選用2011-07-25日廣播星歷，利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值計算GPS衛(wèi)星坐標(biāo)，并將其與直接法計算的GPS衛(wèi)星坐標(biāo)比較，結(jié)果表明該方法能有效避免Runge現(xiàn)象，提高了插值穩(wěn)定性，插值精度高，可滿足GPS單點(diǎn)定位的需求。

GPS單點(diǎn)定位;廣播星歷;徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);插值;Runge現(xiàn)象

1 引言

利用GPS導(dǎo)航定位，必須計算出衛(wèi)星在相應(yīng)時刻的坐標(biāo)，而衛(wèi)星的坐標(biāo)主要通過星歷計算得到。GPS實(shí)時導(dǎo)航定位采用的廣播星歷可直接從GPS的導(dǎo)航電文中獲得。在GPS定位中，常常需要多次計算衛(wèi)星的位置和速度，利用廣播星歷計算衛(wèi)星坐標(biāo)時，公式繁瑣，影響計算速度［1，2］，為此，常將衛(wèi)星星歷用一個時間多項(xiàng)式來表示，利用多項(xiàng)式擬合、插值任意時刻的衛(wèi)星坐標(biāo)。這里，內(nèi)插的要求是不能明顯損失原始星歷的精度。

目前，對GPS廣播星歷計算得到的衛(wèi)星坐標(biāo)擬合與插值最常用的方法是基于Chebyshev與 Lagrange多項(xiàng)式的方法，這種方法一個明顯的缺點(diǎn)是出現(xiàn)Runge(Runge Phenomenon，RP)現(xiàn)象［3］。所謂RP是指隨著插值多項(xiàng)式階數(shù)升高，在插值區(qū)間的兩端出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，導(dǎo)致兩端的插值精度急劇下降。RP現(xiàn)象是由于節(jié)點(diǎn)選取的隨機(jī)性和多項(xiàng)式基函數(shù)的絕對值之和無界，在區(qū)間端點(diǎn)附近易產(chǎn)生震蕩，從而不能保證高階插值的穩(wěn)定性［4］，需要采取分段滑動擬合或減小步長等方法來減小其影響，但是，這種方法會增加計算量。

針對利用多項(xiàng)式對GPS廣播星歷的衛(wèi)星坐標(biāo)插值出現(xiàn)RP現(xiàn)象的問題，本文提出了利用徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行插值，通過試驗(yàn)驗(yàn)證該方法對廣播星歷衛(wèi)星坐標(biāo)插值具有高效性、高精度與通用性的特點(diǎn)。

2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值與擬合原理

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［5，6］

RBF網(wǎng)絡(luò)是一種三層前向網(wǎng)絡(luò)。輸入層由信號源結(jié)點(diǎn)組成。第二層為隱含層，隱單元數(shù)視所要描述的問題而定。第三層為輸出層，它對輸入模式的作用做出響應(yīng)。從輸入控件到隱含層空間的變換是非線性的，而從隱含層空間到輸出層空間變換是線性的。

RBF網(wǎng)絡(luò)的基本思想:用RBF作為隱單元的“基”構(gòu)成隱含層空間，將輸入矢量直接(即不需要通過權(quán)連接)映射到隱空間，當(dāng)RBF的中心點(diǎn)確定后，映射關(guān)系也就確定了。隱含層空間到輸出空間的映射是線性的，即網(wǎng)絡(luò)的輸出是隱單元輸出的線性加權(quán)和，此處的權(quán)即為網(wǎng)絡(luò)的可調(diào)參數(shù)。從總體上看，網(wǎng)絡(luò)的輸入到輸出的映射是非線性的，而網(wǎng)絡(luò)輸出對可調(diào)參數(shù)而言又是線性的。這樣網(wǎng)絡(luò)的權(quán)就可以由線性方程組直接解出，從而大大加快了學(xué)習(xí)速度并避免了局部極小問題。

RBF網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵在于隱含層節(jié)點(diǎn)徑向基函數(shù)的非線性逼近性能，一般采用的徑向基函數(shù)是Gauss分布函數(shù)，即隱含層節(jié)點(diǎn)k的傳遞函數(shù)表達(dá)式為:

輸出層節(jié)點(diǎn)相應(yīng)的輸出可以表示為

分兩個階段訓(xùn)練RBF網(wǎng)絡(luò)，第一步是決定隱含層神經(jīng)元的數(shù)量M，以及決定每個神經(jīng)元的高斯函數(shù)的寬度σk和中心點(diǎn)Tk;第二步是使用訓(xùn)練數(shù)據(jù)根據(jù)全局誤差準(zhǔn)則訓(xùn)練權(quán)值ωk，使RBF網(wǎng)絡(luò)擬合訓(xùn)練數(shù)據(jù)最佳。其中，隱含層神經(jīng)元數(shù)量的確定是關(guān)鍵問題，傳統(tǒng)的做法是使其與輸入向量的元素相等。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)算法為:

隨機(jī)選取h個訓(xùn)練樣本作為聚類中心ci(i=1，2，…，h)，將輸入的訓(xùn)練樣本集合按最近鄰規(guī)則分組，計算各個聚類集合中訓(xùn)練樣本的平均值，即新的聚類中心，如果新的聚類中心不再發(fā)生變化，則所得到的聚類中心即為RBF網(wǎng)絡(luò)的聚類中心。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù)為高斯函數(shù)，因此方差σi的解為:

式中cmax為所選取中心之間的最大距離。

應(yīng)用最小二乘法對網(wǎng)絡(luò)輸出權(quán)值進(jìn)行訓(xùn)練，其學(xué)習(xí)訓(xùn)練的目標(biāo)是使總誤差達(dá)到最小。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)的是非線性映射，理論已經(jīng)證明，只要隱含層神經(jīng)元數(shù)足夠多，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以任意精度逼近任何單值連續(xù)函數(shù)［7］。

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值

采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行插值的具體算法如下:

1)將輸入數(shù)據(jù)xi(i=1，2，…，N)作為樣本集，將yi(i=1，2，…，N)作為輸出集;

2)計算各樣本的聚類中心;

4)采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行插值。

3 基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)GPS衛(wèi)星坐標(biāo)插值試驗(yàn)與結(jié)果分析

利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合GPS廣播星歷的衛(wèi)星坐標(biāo)，在保證精度的前提下，避免高階多項(xiàng)式擬合出現(xiàn)RP現(xiàn)象。

GPS衛(wèi)星接收機(jī)所接收到的廣播星歷的時間間隔為2小時，即所獲得的廣播星歷的時間是0時0分0秒、2時0分0秒直到23時45分0秒(24時0分0秒為第2天廣播星歷的開始時刻)。要計算某一時刻某一衛(wèi)星的坐標(biāo)，可根據(jù)與該時刻最接近的整點(diǎn)廣播星歷，采用直接法［1］計算出該GPS衛(wèi)星在該時刻的坐標(biāo)。

選取2011-07-25日廣播星歷，按照5秒的時間間隔計算00:20:00—00:59:00之間的PRN31衛(wèi)星(任意選取)的坐標(biāo)，取100個歷元的數(shù)據(jù)，每5個歷元抽取1個歷元的衛(wèi)星坐標(biāo)共計20個歷元的數(shù)據(jù)作為已知輸入數(shù)據(jù)，用于訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用網(wǎng)絡(luò)對這20個歷元之間的衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行插值。

由于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的徑向基函數(shù)的擴(kuò)展參數(shù)對插值的結(jié)果影響很大，過大或者過小的參數(shù)都不能得到好的插值結(jié)果，因此，本文采用搜索的方法確定合適的擴(kuò)展參數(shù)。

利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行擬合插值，將插值所得坐標(biāo)與直接計算得到的坐標(biāo)進(jìn)行比較，得到插值殘差。同理，將X坐標(biāo)換成對應(yīng)時刻的Y坐標(biāo)與Z坐標(biāo)的數(shù)據(jù)，建立相應(yīng)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行擬合插值，得到的結(jié)果如圖1所示。

圖1 PRN31衛(wèi)星坐標(biāo)插值殘差Fig.1 Residuals of PRN31 satellite coordinate interpolation

從圖1可以看出，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以對任意時刻的衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行插值，在節(jié)點(diǎn)時刻中間區(qū)域插值計算結(jié)果非常平穩(wěn)，在兩端也沒有大幅度振蕩現(xiàn)象。

根據(jù)廣播星歷，采用直接法計算其他時刻、其他衛(wèi)星的坐標(biāo)，利用上述方法進(jìn)行插值，所得結(jié)果與2011-07-25日 00:20:00—00:59:00之間的PRN31衛(wèi)星坐標(biāo)插值結(jié)果類似，在此不一一列出。

這里的插值誤差的大小受RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的徑向基函數(shù)擴(kuò)展參數(shù)影響，選定合適的參數(shù)可以使插值的最大誤差達(dá)到厘米級甚至更高，如果要進(jìn)一步提高精度只需要調(diào)整徑向基函數(shù)的擴(kuò)展參數(shù)即可，這也驗(yàn)證了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以任意精度逼近任何單值連續(xù)函數(shù)。

一般說來，單點(diǎn)定位誤差的量級大體上與衛(wèi)星星歷誤差的量級相同，而衛(wèi)星坐標(biāo)的基本要求就是不降低原有的衛(wèi)星坐標(biāo)精度，因此，插值誤差在厘米級水平就能滿足單點(diǎn)定位的要求。根據(jù)這一要求，插值過程中我們設(shè)定閾值為0.1 m，在程序中不斷調(diào)整徑向基函數(shù)的擴(kuò)展參數(shù)，當(dāng)插值誤差達(dá)到厘米級精度時，停止調(diào)整并選擇該參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)插值。

采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對GPS廣播星歷坐標(biāo)進(jìn)行插值，針對不同的數(shù)據(jù)，要達(dá)到指定的精度，必須要選擇合適的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，如果參數(shù)的初始值選用不恰當(dāng)，則需要花費(fèi)很多的計算時間來搜索確定正確的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。針對GPS廣播星歷衛(wèi)星坐標(biāo)的插值，如何確定合適的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，還需要進(jìn)一步研究。

4 結(jié)論

采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對GPS廣播星歷所計算得到的GPS衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行了擬合插值，結(jié)果表明:

1)利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對GPS廣播星歷計算得到的衛(wèi)星坐標(biāo)插值殘差均在厘米級別甚至更好，并且在節(jié)點(diǎn)時刻中間區(qū)域插值計算結(jié)果非常平穩(wěn)，避免了多項(xiàng)式插值出現(xiàn)的RP現(xiàn)象;

2)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對于GPS衛(wèi)星坐標(biāo)插值的精度受網(wǎng)絡(luò)的徑向基函數(shù)的擴(kuò)展參數(shù)影響，本文采用搜索的方法確定合適的參數(shù)，搜索的時間由參數(shù)的初始值確定，如何確定合適的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)初始值還有待進(jìn)一步研究。

1 李征航，黃勁松.GPS測量與數(shù)據(jù)處理［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2005.(Li Zhenghang and Huang Jinsong.GPS surveying and data processing［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2005)

2 馮煒，等.兩種常用GPS星歷擬合方法的精度分析［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2010，(1):145-149.(Feng Wei，et al.Accuracy assement of two fitting methods for GPS precise ephemeris［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2010，(1):145-149)

3 Milan Horemu? and Johan Vium Andersson.Polynomial interpolation of GPS satellite coordinates［J］.GPS Solutions，2006，(10):67-72.

4 李慶楊，王能超，易大義.數(shù)值分析［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2001.(Li Qingyang，Wang Nengchao and Yi Dayi.Numerical analysis［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2001)

5 Robert H N.Theory of the back-propagation neural network［J］.Proc UCNN.，1989，(1):593-605.

6 Hint K J.Extending the functional equivalence of radial basis function network and fuzzy inference system［J］.IEEE Trans on Neural Networks，1996(3):776-781.

7 楊行峻，鄭君里.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與盲信號處理［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2002.(Yang Xingjun and Zheng Junli.Artificial neural network and blind signal processing［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2002)

INTERPOLATION TECHNIQUE BASED ON RBF NEURAL NETWORK OF GPS BROADCAST EPHEMERIS

Tao Tingye1，2，3)，Gao Fei1)，Liu Wenxing1)and Zhang Chunxi1)

(1)School of Civil and Hydraulic Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009 2)GNSS Research Center，Wuhan University，Wuhan 430079 3)Beidou Key Laboratory of Anhui Province，Hefei 230088)

Using the RBF(Radial Basis Function)neural network to interpolate the GPS satellite coordinate computed by broadcast ephemeris was proposed in order to solve the problem of Runge Phenomenon(RP)in polynomial interpolation.The GPS satellite coordinate calculated by GPS broadcast ephemeris in 25th，July 2011 were selected to test the RBF neural network interpolation method.The interpolation results compared with the GPS satellite coordinate calculated by direct computation method show that RBF neural network interpolation method can avoid the RP，improve the interpolation stability and accuracy as well meet the demands for GPS point positioning.

GPS point positioning;broadcast ephemeris;RBF(Radial Basis Function)neural network;interpolation;Runge Phenomenon(RP)

1671-5942(2012)02-0044-03

2011-10-21

國土環(huán)境與災(zāi)害監(jiān)測國家測繪局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(LEDM2010B08);合肥工業(yè)大學(xué)博士專項(xiàng)基金(2010HGBZ0564);合肥工業(yè)大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計劃項(xiàng)目(cxsy102196)

陶庭葉，男，1980年生，博士，講師，主要從事GPS高精度測量、變形監(jiān)測方面的教學(xué)科研工作.E-mail:czytty@163.com

P207

A