周波陽(yáng) 羅志才 林 旭 周 浩

(1)武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢 430079

2)武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測(cè)量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430079)

航空重力測(cè)量測(cè)線網(wǎng)平差中的粗差處理*

周波陽(yáng)1)羅志才1，2)林 旭1)周 浩1)

(1)武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，武漢 430079

2)武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測(cè)量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430079)

航空重力測(cè)量測(cè)線網(wǎng)平差的主要任務(wù)是進(jìn)行系統(tǒng)誤差的補(bǔ)償。為了削弱粗差觀測(cè)值的影響，提高補(bǔ)償效果，引入閾值法和抗差估計(jì)，并采用模擬數(shù)據(jù)驗(yàn)證了這兩種方法的有效性和可靠性。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，抗差估計(jì)在航空重力測(cè)線網(wǎng)平差中具有更好的實(shí)用價(jià)值。

航空重力測(cè)量;測(cè)線網(wǎng)平差;閾值法;抗差估計(jì);權(quán)函數(shù)

1 引言

在航空重力測(cè)量中，為了盡可能地構(gòu)成重復(fù)觀測(cè)，正確評(píng)價(jià)測(cè)量精度，測(cè)線往往布設(shè)成交叉網(wǎng)狀，在交叉點(diǎn)處兩條測(cè)線上的重力值理論上應(yīng)該是相等的，但由于測(cè)量平臺(tái)在高空作業(yè)，處于不斷高速的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，觀測(cè)環(huán)境較為復(fù)雜，各類(lèi)觀測(cè)值不可避免地受到“污染”，從而導(dǎo)致觀測(cè)值在交叉點(diǎn)處存在不符值。采用低通數(shù)字濾波等技術(shù)消除高頻噪聲后，觀測(cè)值中仍存在各種誤差源的干擾和影響。這些干擾和影響按其表現(xiàn)形式可分為偶然誤差、系統(tǒng)誤差以及粗差。偶然誤差的原因十分復(fù)雜，空氣擾動(dòng)、機(jī)器零件的摩擦、氣壓、氣溫的變化等，以及它們的綜合影響均能產(chǎn)生;系統(tǒng)誤差主要由厄特弗斯效應(yīng)、姿態(tài)誤差、衛(wèi)星星歷誤差等引起;GPS、加速度計(jì)等的工作狀態(tài)反生異常時(shí)觀測(cè)值中容易出現(xiàn)粗差。

航空重力測(cè)量測(cè)線網(wǎng)平差中的粗差處理通常和系統(tǒng)誤差的補(bǔ)償同步進(jìn)行，忽略粗差直接采用最小二乘來(lái)估計(jì)系統(tǒng)誤差模型參數(shù)時(shí)，所建立的誤差模型并不能真實(shí)反映系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律。平差后，大粗差的影響也會(huì)被分配到許多正常觀測(cè)值上，從而扭曲平差結(jié)果，參數(shù)估值的效率和可靠性就會(huì)受到嚴(yán)重的損害［1］。有效地消除或削弱觀測(cè)數(shù)據(jù)中粗差對(duì)于參數(shù)估值的不良影響，是提高航空重力測(cè)量網(wǎng)平差精度的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。一般來(lái)說(shuō)，對(duì)粗差的處理方式主要有3類(lèi):第一類(lèi)即計(jì)算機(jī)輔助圖形可視化法，通過(guò)人機(jī)交互的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)粗差的探測(cè)和剔除。當(dāng)前數(shù)據(jù)處理都趨于自動(dòng)化，人為干預(yù)排除粗差的方式將被淘汰［2］;第二類(lèi)是在平差前采用某些方法對(duì)粗差定位并剔除，Dixon準(zhǔn)則［3］、Grubbs準(zhǔn)則［3］、χ2檢驗(yàn)［4］、τ標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)［4］、F檢驗(yàn)［5］、t檢驗(yàn)［6］、小波分析方法［3，7］以及閾值法［3］可以對(duì)粗差定位。其中Dixon準(zhǔn)則無(wú)需估算樣本均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和殘余誤差，在將所有觀測(cè)值按照從小到大的順序排列后，Dixon準(zhǔn)則認(rèn)為粗差觀測(cè)值僅存在于重排序之后的數(shù)據(jù)兩端。Dixon準(zhǔn)則僅適合于小樣本(3＜n＜30)，采用Dixon準(zhǔn)則進(jìn)行小樣本數(shù)據(jù)的粗差探測(cè)能夠得到較嚴(yán)密的結(jié)果［8］。Grubbs檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)法都派生于最小二乘估計(jì)，對(duì)于偏離正態(tài)分布的數(shù)據(jù)是不可靠的，它們幾乎不可能把剔除粗差與估計(jì)量的計(jì)算分開(kāi)，利用不可靠的估計(jì)量來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)就很難保證這種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法的正確性［2］。小波分析方法實(shí)質(zhì)上是對(duì)觀測(cè)值信號(hào)進(jìn)行濾波，利用小波變換的高低頻分離的特點(diǎn)，可在不丟失原始信號(hào)重要信息成分的前提下，對(duì)信號(hào)進(jìn)行放大并對(duì)其進(jìn)行特征提取，它也是一種較為有效的粗差探測(cè)方法，但算法較為復(fù)雜。閾值法計(jì)算方便簡(jiǎn)單，適用于觀測(cè)數(shù)據(jù)的快速粗差探測(cè);第三類(lèi)則是基于多維M估計(jì)建立參數(shù)模型的抗差解式，采用等價(jià)權(quán)思想將其轉(zhuǎn)化為最小二乘解形式［9］。采用迭代的抗差M估計(jì)，既保留了最小二乘法的優(yōu)越性，又保證被估參數(shù)既能抵制模型誤差又能抗拒粗差的影響［1，10］。本文將抗差M估計(jì)和閾值法應(yīng)用于航空重力測(cè)量測(cè)線網(wǎng)平差中的粗差處理，并通過(guò)模擬計(jì)算對(duì)這兩種方法進(jìn)行評(píng)價(jià)。

2 系統(tǒng)誤差補(bǔ)償?shù)膬刹椒?/h2>

航空重力測(cè)量的測(cè)線網(wǎng)平差實(shí)際上是系統(tǒng)誤差的補(bǔ)償問(wèn)題，進(jìn)行系統(tǒng)誤差補(bǔ)償?shù)囊话惴椒樽詸z校測(cè)線網(wǎng)平差法，但自檢校平差會(huì)導(dǎo)致法方程奇異，為了解決這個(gè)問(wèn)題，將自檢校測(cè)線網(wǎng)平差過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化，將誤差理論模型簡(jiǎn)化為實(shí)用模型，即為誤差補(bǔ)償?shù)膬刹椒ǎ?1-13］。

2.1 交叉點(diǎn)平差

第一階段使用條件平差法對(duì)測(cè)線交叉點(diǎn)進(jìn)行平差。在主測(cè)線、副測(cè)線的交叉點(diǎn)處可建立如下的誤差方程:

式中，Δgik與Δgjk分別為主測(cè)線i、副測(cè)線j在交叉點(diǎn)k處的重力異常，Δgik-Δgjk表示交叉點(diǎn)不符值，Vik、Vjk為改正數(shù)。對(duì)于具有多個(gè)交叉點(diǎn)的測(cè)線網(wǎng)，可以寫(xiě)出交叉點(diǎn)條件方程的矩陣形式為

其中，V由每一條測(cè)線上交叉點(diǎn)處的改正數(shù)組成，系數(shù)陣B是由1、-1和大量的0構(gòu)成，W為交叉點(diǎn)不符值。依據(jù)最小二乘平差理論可解得

一般來(lái)說(shuō)，測(cè)線上各個(gè)測(cè)點(diǎn)為獨(dú)立等精度觀測(cè)，權(quán)陣P為單位陣。

2.2 測(cè)線系統(tǒng)誤差估計(jì)

以觀測(cè)時(shí)間t為自變量，以式得到的交叉點(diǎn)不符值的改正數(shù)V為虛擬觀測(cè)值，遍歷所有測(cè)線對(duì)每個(gè)交叉點(diǎn)建立如下形式的誤差方程

vi為V中的第i個(gè)元素，f(t)為系統(tǒng)誤差模型，Δi為噪聲，m為該測(cè)線上的交叉點(diǎn)個(gè)數(shù)。f(t)有如下兩種形式:

1)一般多項(xiàng)式模型

2)三角多項(xiàng)式形式

則誤差方程的矩陣形式為

3 粗差處理方法

3.1 閾值法

Huber［2］在1977年采用Tukey污染分布模擬了一些含有不同數(shù)量粗差的正態(tài)分布數(shù)據(jù)，其污染正態(tài)分布模式為

其中Φ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，ε為污染率，是一小量，μ和σ分別為母體均值和標(biāo)準(zhǔn)差。式(9)表明，與均值之差的絕對(duì)值大于3σ的觀測(cè)值被認(rèn)為是粗差。而實(shí)際觀測(cè)中，被測(cè)量的真實(shí)值大多是未知，μ和σ不能精確知道，通常以樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差S代替。閾值法的實(shí)用形式為

在實(shí)際操作過(guò)程中，把交叉點(diǎn)平差后的不符值的改正數(shù)V作為觀測(cè)值向量X，當(dāng)觀測(cè)值xi(xi實(shí)際上為交叉點(diǎn)不符值的改正數(shù)vi)滿(mǎn)足式(10)時(shí)，被認(rèn)作是粗差。

3.2 抗差M估計(jì)

經(jīng)典最小二乘估計(jì)是利用一組來(lái)自于母體為正態(tài)分布的觀測(cè)值，求定母體參數(shù)的一種參數(shù)估計(jì)，它的最優(yōu)統(tǒng)計(jì)特性(不能脫離觀測(cè)值母體)是正態(tài)分布，即觀測(cè)值中僅含有偶然誤差這一前提［14］。因此，最小二乘估計(jì)對(duì)偏離正態(tài)分布的數(shù)據(jù)是不可靠的。與最小二乘估計(jì)相比，抗差估計(jì)應(yīng)具備兩大特點(diǎn):一是它能消除和削弱粗差對(duì)估值的影響;二是它基本上具備經(jīng)典估計(jì)的優(yōu)良特性。

按M估計(jì)原理，取極值函數(shù)為

其中，ai為系數(shù)陣A的第i行。對(duì)X求導(dǎo)，并令其為0，同時(shí)記φ(Vi)=?ρ/?Vi，則有

令φ(Vi)/Vi=Wi(權(quán)因子)=piiWi為等價(jià)權(quán)元素，則式(12)可寫(xiě)為

由此，可得到抗差M估值

抗差估計(jì)采用迭代解法，每一次迭代相當(dāng)于進(jìn)行一次最小二乘估計(jì)，但應(yīng)以等價(jià)權(quán)代替先驗(yàn)權(quán)。式(7)的第k+1步迭代解為

抗差估計(jì)的結(jié)果取決于所選取的等價(jià)權(quán)函數(shù)，權(quán)函數(shù)不一樣，抗差估計(jì)的模型就不同，抗差的效果也不一樣［15］。常見(jiàn)的等價(jià)權(quán)模型有Huber權(quán)函數(shù)、Hampel權(quán)函數(shù)、Tukey權(quán)函數(shù)和 Andrews權(quán)函數(shù)等［9］。本文僅以Huber等價(jià)權(quán)模型為例進(jìn)行了抗差估計(jì)，其具體形式為:

式中c一般取2.0。

4 算例及結(jié)果分析

本文模擬了某航空重力測(cè)區(qū)，它由10條橫向測(cè)線和10條縱向測(cè)線組成，飛機(jī)起伏飛行，飛行時(shí)離地面高度約為1.8 km。應(yīng)用兩步處理法對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，第一階段交叉點(diǎn)平差后主、副測(cè)線驗(yàn)后單位權(quán)中誤差見(jiàn)表1～2。為了更好地檢驗(yàn)閾值法和抗差M估計(jì)的實(shí)際效果，在這些交叉點(diǎn)不符值的改正數(shù)中隨機(jī)挑選10個(gè)加入絕對(duì)值分別為(10～18)×10-5ms-2和(6～10)×10-5ms-2的粗差，形成兩組觀測(cè)值data1和data2，其交叉點(diǎn)的分布如圖1。在兩步處理法第二階段中分別采用閾值法和抗差估計(jì)來(lái)消除粗差的影響，系統(tǒng)誤差模型為2階和3階一般多項(xiàng)式，表3～9給出了相應(yīng)的最小二乘估計(jì)(LSE)和抗差估計(jì)(RE)結(jié)果。

圖1 交叉點(diǎn)的分布Fig.1 Distribution of crosspoints

由表1可見(jiàn)，用閾值法進(jìn)行粗差的剔除后，數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差變小，測(cè)線網(wǎng)精度有所提高。這說(shuō)明閾值法能有效對(duì)粗差進(jìn)行識(shí)別和定位，是一種可靠的粗差探測(cè)手段，但它的缺點(diǎn)也很明顯，其對(duì)絕對(duì)值較小的粗差不敏感，且在剔除粗差觀測(cè)值之后，會(huì)導(dǎo)致交叉點(diǎn)個(gè)數(shù)變少，這將給后續(xù)研究帶來(lái)不利影響。

從表4～7可以看出，當(dāng)部分觀測(cè)值含有粗差時(shí)，主、副測(cè)線的最小二乘估計(jì)驗(yàn)后單位權(quán)中誤差均大于抗差估計(jì)驗(yàn)后單位權(quán)中誤差，這說(shuō)明當(dāng)觀測(cè)值含有粗差時(shí)，從整體精度上，采用抗差估計(jì)進(jìn)行系統(tǒng)誤差補(bǔ)償?shù)某晒黠@優(yōu)于采用最小二乘估計(jì)進(jìn)行系統(tǒng)誤差補(bǔ)償?shù)某晒５覀円膊荒軉渭兊囊越徊纥c(diǎn)不符值的均方差大小作為衡量抗差效果唯一標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)信噪比一定時(shí)，計(jì)算結(jié)果很大程度上取決于誤差模型的合理選擇，從本算例來(lái)看，二階多項(xiàng)式的抗差效果更好。反之，當(dāng)系統(tǒng)誤差模型一定時(shí)，信噪比越低，觀測(cè)值含粗差的絕對(duì)值較大時(shí)，抗差效果越明顯。

表1 不含粗差時(shí)主測(cè)線系統(tǒng)誤差模型驗(yàn)后單位權(quán)中誤差(單位：10-5ms-2)Tab.1 Posteriori unit weight mean errors of system error model on main line of data without outliers(unit：10-5ms-2)

表2 不含粗差時(shí)副測(cè)線系統(tǒng)誤差模型驗(yàn)后單位權(quán)中誤差(單位：10-5ms-2)Tab.2 Posteriori unit weight mean errors of system error model on vice line of data without outliers(unit：10-5ms-2)

表3 閾值法處理結(jié)果(單位：10-5ms-2)Tab.3 Results of Thresholding method(unit：10-5ms-2)

表4 data1主測(cè)線系統(tǒng)誤差模型參數(shù)驗(yàn)后單位權(quán)中誤差(單位：10-5ms-2)Tab.4 Posteriori unit weight mean errors of system error model on main line of data1(unit：10-5ms-2)

表5 data1副測(cè)線系統(tǒng)誤差模型參數(shù)驗(yàn)后單位權(quán)中誤差(單位：10-5ms-2)Tab.5 Posteriori unit weight mean errors of system error model on vice line of data1(unit：10-5ms-2)

表6 data2主測(cè)線系統(tǒng)誤差模型參數(shù)驗(yàn)后單位權(quán)中誤差(單位：10-5ms-2)Tab.6 Posteriori unit weight mean errors of system error model on main line of data2(unit：10-5ms-2)

表7 data2副測(cè)線系統(tǒng)誤差模型參數(shù)驗(yàn)后單位權(quán)中誤差(單位：10-5ms-2)Tab.7 Posteriori unit weight mean errors of system error model on deputy line of data2(unit：10-5ms-2)

表8 data1交叉點(diǎn)最小二乘殘差與抗差估計(jì)殘差(單位：10-5ms-2)Tab.8 Residuals of least squares estimation and robust estimation of data1(unit：10-5ms-2)

表9 data2交叉點(diǎn)最小二乘殘差與抗差估計(jì)殘差(單位：10-5ms-2)Tab.9 Residuals of least squares estimation and robust estimation of data2(unit：10-5ms-2)

表8～9列出了不含粗差時(shí)最小二乘殘差、加粗差后最小二乘殘差以及加粗差后抗差M估計(jì)的殘差(系統(tǒng)誤差模型為二階多項(xiàng)式)。不難發(fā)現(xiàn)，加粗差后抗差M估計(jì)的殘差比最小二乘估計(jì)的殘差更接近于粗差值本身，在異常觀測(cè)值上抗差M估計(jì)具有明顯的抵御粗差干擾的能力，這是因?yàn)樵诘?jì)算時(shí)，抗差M估計(jì)利用等價(jià)權(quán)模型對(duì)異常觀測(cè)值實(shí)施了降權(quán)操作。通過(guò)對(duì)殘差進(jìn)行分析對(duì)比，抗差估計(jì)不僅能對(duì)粗差的位置進(jìn)行識(shí)別，而且還能對(duì)粗差的大小進(jìn)行估計(jì)。上述結(jié)果還表明，當(dāng)粗差絕對(duì)值較小時(shí)，抗差估計(jì)仍然能夠?qū)ζ溥M(jìn)行識(shí)別和定位。從這方面來(lái)講，抗差估計(jì)比閾值法更加有效和可靠。

5 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于各測(cè)線上的所有采樣點(diǎn)的系統(tǒng)誤差補(bǔ)償來(lái)說(shuō)，閾值法和抗差估計(jì)均具有一定的抗差效果。閾值法是直接剔除異常觀測(cè)值，而抗差M估計(jì)能在拒絕和接受一個(gè)觀測(cè)值之間起一個(gè)平滑的作用。相比較而言，抗差估計(jì)可靠性更高，更加有效。值得注意的是，任何一種抗差估計(jì)方法的實(shí)際抗差能力都是有一定條件的，當(dāng)粗差個(gè)數(shù)過(guò)多、絕對(duì)值較小時(shí)，閾值法和抗差估計(jì)對(duì)粗差的處理結(jié)果往往不夠理想。后續(xù)研究將考慮更加復(fù)雜的系統(tǒng)誤差模型(如三角多項(xiàng)式)和更為豐富的權(quán)函數(shù)模型以及對(duì)系統(tǒng)誤差模型的參數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。

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PROCESSING METHODS FOR OUTLIERS IN NETWORK ADJUSTMENT OF AIRBORNE GRAVIMETRY

Zhou Boyang1)，Luo Zhicai1，2)，Lin Xu1)and Zhou Hao1)

(1)School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan 430079
2)Key Laboratory of Geospace Environment and Geodesy，Wuhan University，Wuhan 430079)

The main task of network adjustment of airborne gravimetry is to compensate systemic errors.In order to weaken the influence of outliers and improve the effect of compensation，this paper brings in thresholding and robust estimation，and confirms these two methods’validity and reliability in simulated data processing.By means of comparison，a conclusion is reached that the robust estimation has more practical value in the network adjustment of airborne gravimetry.

airborne gravimetry;network adjustment;thresholding;robust estimation;weight function

1671-5942(2012)02-0110-05

2011-12-25

國(guó)家自然科學(xué)基金(41174062);中國(guó)博士后科學(xué)基金(20110491189);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金(111110)

周波陽(yáng)，1983年生，博士研究生，目前從事航空重力測(cè)量數(shù)據(jù)處理研究.E-mail:byzhou@whu.edu.cn

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