宋碧宏，鄧潮鈴，朱蔚蔚，袁 菊，韓 聰

（1.西北核技術(shù)研究所，西安 710024；2.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045）

結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別的基本問題是如何從給定的結(jié)構(gòu)力學(xué)特性測(cè)量中，確定結(jié)構(gòu)損傷的出現(xiàn)、位置和程度，屬力學(xué)反問題研究范疇。由于實(shí)際工程中測(cè)量信息的不充分和不準(zhǔn)確，使得反問題的解往往是不適定的，也即是解不同時(shí)滿足下列3個(gè)條件：1）解的存在性；2）解的唯一性；3）解的收斂性。在工程實(shí)際中反問題的求解都是根據(jù)實(shí)際問題建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，求反問題的優(yōu)化解，從而反問題的求解問題可歸結(jié)為非線性泛函的極值問題。由于結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別問題的非線性和解的不適定性，使得結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別問題的求解變得極為困難，因此，研究高效實(shí)用的反演方法顯得十分重要和必要。

筆者采用正則化迭代反演方法，通過結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型聯(lián)立進(jìn)行結(jié)構(gòu)的損傷識(shí)別，并用算例驗(yàn)證該方法的可行性。

1 正則化方法簡介

正則化方法是一種行之有效且廣泛使用的用于求解病態(tài)反問題（不適定性反問題）的穩(wěn)定近似解的數(shù)值方法。反問題的不適定性特性將對(duì)整個(gè)數(shù)值求解產(chǎn)生本質(zhì)的影響，可以把不適定性問題的數(shù)值逼近看成是其擾動(dòng)數(shù)據(jù)的解（包括算子擾動(dòng)和輸入數(shù)據(jù)擾動(dòng)），因此直接將方程近似求解的標(biāo)準(zhǔn)方法用于不適定性方程時(shí)將產(chǎn)生無意義的數(shù)值結(jié)果。問題病態(tài)性的程度可由映射算子的條件數(shù)大小來判定，條件數(shù)越大則問題的病態(tài)性越嚴(yán)重。正則化方法是為處理不適定性反問題而提出的。

所謂正則化（regularization），就是通過對(duì)不適定的原問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使之變成與原問題相臨近的適定問題，從而用該適定問題的穩(wěn)定解去逼近原問題的不穩(wěn)定解。

2 鎮(zhèn)定泛函（穩(wěn)定泛函）的構(gòu)造

線性或非線性參數(shù)系統(tǒng)的識(shí)別方程可以統(tǒng)一描述為：

F：｛θ｝→｛P｝是Hilbert空間的有界算子。當(dāng)算子為病態(tài)時(shí)，可采用Tikhonov正則化方法來構(gòu)造該問題的有效算法，即將式（1）化為如下的泛函（展平泛函）極小問題：

其中 Ω（｛θ｝）是定義在空間｛θ｝上的鎮(zhèn)定（穩(wěn)定）泛函。Ω｛θ｝與某些先驗(yàn)知識(shí)，或是先驗(yàn)解有關(guān)。表示歐氏2－范數(shù)；λ＞0為正則化參數(shù)，決定了殘差范數(shù)和鎮(zhèn)定泛函范數(shù)之間的一種協(xié)調(diào)關(guān)系。

在沒有任何先驗(yàn)知識(shí)的情況下，對(duì)于有限維離散的參數(shù)識(shí)別問題，鎮(zhèn)定（穩(wěn)定）泛函通常可選擇為：

其中，[L]是正則化穩(wěn)定矩陣，其選擇主要考慮算子的條件數(shù)和奇異值分布，[L]的不同取法會(huì)影響到近似解的精度和穩(wěn)定性。

在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識(shí)別中，結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值分布往往有一些先驗(yàn)的知識(shí)，將這些先驗(yàn)知識(shí)構(gòu)成的參數(shù)約束條件取為Tikhonov鎮(zhèn)定泛函，從而可以將不適定問題轉(zhuǎn)化為所謂的條件適定問題求解。常用的參數(shù)約束條件是給定參數(shù)的取值范圍，認(rèn)為參數(shù)｛θ｝在某一預(yù)估值｛θ0｝（如參數(shù)設(shè)計(jì)值）附近波動(dòng)，即：

在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識(shí)別中，另一個(gè)常用的參數(shù)約束條件是某些參數(shù)的取值接近相等，如可以認(rèn)為同一構(gòu)件中各單元的物理參數(shù)或同一類型構(gòu)件的物理參數(shù)接近相等。即有：

綜合式（4）、（5），參數(shù)約束方程可合寫為：

考慮約束條件（6）的參數(shù)識(shí)別問題（1）可化為如下優(yōu)化問題求解：

按照Lagrange乘子法，該優(yōu)化問題等效于正則化問題：

其中[L]／｛θ0｝＝｛d｝。

針對(duì)病態(tài)不適定問題，Hoerl和Kennard提出了用嶺估計(jì)的方法來克服矩陣的病態(tài)性。它是一種在均方誤差意義下優(yōu)于最小二乘法估計(jì)的有偏估計(jì)方法。結(jié)合式（1）并且對(duì)式（2）求導(dǎo)，得到嶺估計(jì)的解為：

其中｛θ｝為嶺估計(jì)解；λ為嶺參數(shù)；I為單位矩陣，Q為權(quán)重矩陣；表示歐氏2－范數(shù)。

3 Landweber迭代法

數(shù)學(xué)物理中的反問題往往是不適定的，而不適定問題的求解所面臨的本質(zhì)困難是解的不穩(wěn)定性，若不通過特殊的方法求解就不會(huì)得到合理的結(jié)果。Landweber迭代法對(duì)于求解大規(guī)模問題是十分有利的，而且比較穩(wěn)定。目前，Landweber迭代法已進(jìn)一步發(fā)展于求解非線性的不適定問題。

Landweber迭代法基于嶺估計(jì)，其迭代格式為：

4 算例

4.1 平面26桿桁架結(jié)構(gòu)模型

如圖1所示的平面26桿桁架結(jié)構(gòu)，桿的截面面積為10－4m2，彈性模量和密度均未知。

圖1 平面26桿桁架結(jié)構(gòu)

4.2 區(qū)間參數(shù)反演

已知前5階特征值的上下限見表1。

表1 平面26桿桁架前5階特征值的上下限（×106）

分別對(duì)特征值的上下限采用正則化方法，通過L曲線（圖2、圖3）獲得嶺參數(shù)，經(jīng)過Landweber迭代法，迭代次數(shù)為6次。從而得到結(jié)構(gòu)各個(gè)桿件的彈模上下限如表2所示。

圖2 彈模密度上限L曲線

圖3 彈模密度下限L曲線

表2 平面26桿桁架各桿件彈模的上下限

在計(jì)算過程中，由于彈性模量和質(zhì)量密度的數(shù)量級(jí)不同，并且相差較大，故在計(jì)算處理過程中，將彈性模量和質(zhì)量密度統(tǒng)一到較小的數(shù)量級(jí)上來，這樣會(huì)在一定程度上降低反問題的不適定性和病態(tài)性，從而使反演解達(dá)到穩(wěn)定且收斂。

從計(jì)算反演結(jié)果來看，特征值的上限反演得到彈性模量的上限，特征值的下限反演得到彈性模量的下限，除此之外，還能看出反演的結(jié)果完全與真實(shí)解符合，這說明反演很成功，理論得到證明。

[1]Tikhinov A N，Arsenin V Y.Solutions ofⅢ：posed problems[M].Washington：V.H.Winston，1977.

[2]Hansen P C.Rank-deficient and discrete Ⅲ－posed problems：numerical aspects of linear inversion [M].Philedelphia：SIAM，1998.

[3]Eng H W，Hanke M，Newbauer A.Regularization of inverse problemls[M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2000.

[4]肖庭延，于慎根，王彥飛.反問題的數(shù)值解法[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

[5]柳春圖，陳衛(wèi)江.缺陷識(shí)別反問題的研究狀況與若干進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展，1998，28（3）：361-373.LIU Chuntu，CHEN Weijiang.The research state and some progress on inverse problem of flaw identification[J].Advances in Mechanics，1998，28（3）：361-373.

[6]Marin L.Boundary element：minimal error method for the Cauchy problem associated with Helmholtz：type equations[J].Computationel Mechanics，44（2）：205-219.

[7]Hayashi K，Onishi K，Ohura Y.Direct numerical identification of boundary values in the Laplace equation[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2003，152（1／2）：161-174.

[8]Delvare F，Cimetiere A.A first order method for the Cauchy problem for the Laplace equation using BEM[J].Computational Mechanics，2008，41（6）：789-796.

[9]王振杰.測(cè)量中不適定問題的正則化解法[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[10]金其年，侯宗義.關(guān)于迭代Tikhonov正則化的最優(yōu)正則參數(shù)選取[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)：A輯，1996，11（3）：32l-328.JIN Qinian，HOU Zongyi.Optimal regularization parameter choice for iterated Tirhonov regularization [J]. Applied mathematics A Jonrnal of Chinese Universities，1996，11（3）：321-328.