李 蕊，王正中，張寬地，王志剛

(1.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課教學(xué)部，陜西楊凌 712100;2.西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西楊凌 712100)

1 研究背景

在水工建筑物的下游消能計(jì)算中，常常遇到梯形明渠共軛水深的計(jì)算，其計(jì)算方程式是一個(gè)高次方程，沒有直接的解析解。因此工程上常采用試算法或圖解法來完成求解工作。試算法在計(jì)算上較為麻煩，在查曲線時(shí)也容易產(chǎn)生一定的誤差，影響精度。圖解法是利用已經(jīng)制好的圖表求解，計(jì)算比較快捷，但精度欠佳。為此，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)梯形明渠共軛水深的計(jì)算方法進(jìn)行了多年研究，并取得了大量成果，但目前存在的主要問題仍然是計(jì)算精度不高，適用范圍受限，或計(jì)算式過于復(fù)雜。

梯形明渠水躍共軛水深的計(jì)算在水工消能設(shè)計(jì)中具有重要的意義。本文通過對(duì)水躍方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，應(yīng)用迭代理論及一元二、三次方程提出了梯形明渠共軛水深的直接計(jì)算公式。該公式使用方便簡(jiǎn)捷，且精度完全符合工程計(jì)算要求，從而克服了查圖表法精度低、試算法盲目性大且繁瑣等缺點(diǎn)。

2 梯形明渠共軛水深的基本方程

共軛水深是指:躍前水深h1和躍后水深h2。水流由急流過渡到緩流，會(huì)產(chǎn)生一種水面突然躍起的特殊的局部水力現(xiàn)象，稱為水躍。如圖1所示。

圖1 水躍Fig.1 Hydraulic jump

梯形明渠水躍的基本方程為［1－2］

式中:Q為渠道的流量;A1，A2分別為水躍前、水躍后斷面的過水?dāng)嗝婷娣e;hc1，hc2分別為水躍前、水躍后斷面形心距水面的距離;g為重力加速度。

當(dāng)明渠斷面的形狀、尺寸以及渠中的流量一定時(shí)，水躍方程的左右兩邊都僅是水深的函數(shù)，即

因此，水躍方程也可以寫成如下的形式，

對(duì)于梯形斷面各水力要素:

形心距水面的距離

其中:b為梯形明渠斷面底寬;h為梯形明渠水深;m為邊坡系數(shù)。

將以上各式代入式(1)，得

其中:q為梯形明渠虛擬單寬流量;k為梯形明渠虛擬單寬流量時(shí)水流的動(dòng)量。

3 水躍共軛水深的迭代公式

(1)躍前水深的迭代公式由(5)式可得

故躍前水深的迭代公式為

(2)躍后水深的迭代公式由(5)式可得

故躍后水深的迭代公式為

4 迭代公式收斂性分析

根據(jù)參考文獻(xiàn)［4］第155頁迭代法收斂定理知，若方程x=?(x)的根為a，則迭代形式xk+1=?(xk)收斂于a的條件是:①在a的某一鄰域|x－a|＜δ內(nèi)|?'(x)|＜1;②當(dāng)x∈［x1，x2］時(shí)，?(x)∈［x1，x2］。則以該鄰域內(nèi)任意點(diǎn)為初值的迭代都是收斂于a的。因此，只要能證明以上迭代函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值小于1，則可以證明該迭代函數(shù)是收斂的。

故|?'(y)|＜1，所以迭代公式都是收斂的。

5 迭代公式初值的選取

迭代計(jì)算的精度及收斂速度，不僅與迭代格式有關(guān)，而且與迭代初值選取有關(guān)，只有合理的迭代初值與合理的迭代格式配套使用才能提高計(jì)算效率和精度。

由共軛水深的水流特點(diǎn)，可得到水躍方程的近似公式為

5.1 躍后水深的初值y0

當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程(13)的一個(gè)正實(shí)根［5］為

故可得到躍后水深的初值為

當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程(13)的一個(gè)正實(shí)根為

故可得到躍后水深的初值為

5.2 躍前水深的初值x0

若已知躍后水深y，則可求出y2(3+2ny)，并令k2=y2(3+2ny)，代入式(11)中得

上式為一元二次方程，故可得到躍前水深的初值為

6 水躍共軛水深的直接計(jì)算公式及精度評(píng)價(jià)

確定了恰當(dāng)?shù)牡踔岛?，就可以利用迭代公式得到其直接?jì)算公式，即

為了評(píng)價(jià)該直接計(jì)算公式的精確性，下面列出了在工程上常用范［0，3］內(nèi)，共算出很多組x與y的值。因篇幅所限，本文僅列出部分?jǐn)?shù)值組，見表1。

7 應(yīng)用舉例

一水躍產(chǎn)生于一棱柱體梯形水平渠段中，已知:流量Q=6.0m3/s，邊坡系數(shù)m=1.0，b=2.0m，h1=0.4m。求躍后水深 h2。

(1)計(jì)算躍后水深的初值y0。

(2)迭代求解。

表1 共軛水深直接計(jì)算法精度評(píng)價(jià)表Table 1 Accuracy assessment of the calculated conjugate water depth in trapezoidal channel

(3)用馮家濤公式［6］、劉玲公式［7］和張小林公式［8］分別計(jì)算本例題，計(jì)算結(jié)果列于表2中。

表2 不同計(jì)算方法誤差比較表Table 2 Comparison of calculated results and relative errors of different methods

利用參考文獻(xiàn)［1］中提供的公式計(jì)算出的無量綱躍后水深與劉玲公式一樣，也為0.714 1，相對(duì)誤差為0.29%。

8 結(jié)語

梯形明渠共軛水深的計(jì)算問題其實(shí)質(zhì)是求解2個(gè)高次方程，顯然沒有直接的解析解。基于此，本文利用傳統(tǒng)的迭代法，首先通過求解一元二、三次方程得到共軛水深的初值近似公式;然后以此為初值，用迭代公式進(jìn)行一次迭代得到梯形明渠共軛水深的直接計(jì)算公式。應(yīng)用直接計(jì)算公式來計(jì)算梯形明渠水躍的共軛水深，不但公式形式簡(jiǎn)捷、直觀，計(jì)算方便，且精度完全符合工程計(jì)算要求，值得工程技術(shù)人員采用。

［1］吳持恭.水力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，1979.(WU Chi-gong.Hydraulics［M］.Beijing:High Education Press，1979.(in Chinese))

［2］呂宏興，裴國霞，楊玲霞.水力學(xué)［M］.北京:中國農(nóng)業(yè)出版社，2002.(LV Hong-xing，PEI Guo-xia，YANG Ling-xia.Hydraulics［M］.Beijing:China Agriculture Publishing Press，2002.(in Chinese))

［3］辛孝明.平底梯形明渠水躍共扼水深的直接計(jì)算法［J］.山西水利科技，1997，117(3):59－63.(XIN Xiaoming.The Direct Calculation of the Conjugate Depth of the Trapezoidal Channel with Flat Bottom［J］.Shanxi Hydraulic Science＆ Technology，1997，117(3):59－63.(in Chinese))

［4］鄧建中，葛仁興，程正興.計(jì)算方法［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，1992.(DENG Jian-zhong，GE Renxing，CHENG Zheng-xing.Methods of Calculation［M］.Xi’an:Xi’an Jiaotong University Press，1992.(in Chinese))

［5］華羅庚.高等數(shù)學(xué)引論［M］.北京:科學(xué)出版社，1974.(HUA Luo-geng.Advanced Mathematics Introduction［M］.Beijing:Science Press，1974.(in Chinese))

［6］馮家濤.梯形渠道水躍共扼水深直接計(jì)算公式［J］.海河水利，1998，(5):32－33.(FENG Jia-tao.The Direct Formula of the Conjugate Depth of the Trapezoidal Canal［J］.Haihe River Water Conservancy，1998，(5):32－33.(in Chinese))

［7］劉 玲，劉伊生.梯形渠道水躍共扼水深計(jì)算方法［J］.北方交通大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，23(3):44－47.(LIU Ling，LIU Yi-sheng.Calculating Method for Conjugate Depth of Hydraulic Jump in Trapezoidal Channels［J］.Journal of Northern Jiaotong University，1999，23(3):44－47.(in Chinese))

［8］張小林，劉惹梅.梯形斷面渠道水躍共扼水深的計(jì)算方法［J］.水利與建筑工程學(xué)報(bào)，2003，1(2):41－43.(ZHANG Xiao-lin，LIU Re-mei.Method of Calculation for Conjugate Water Depth of Water Jump in Trapezoid Channel［J］.Journal of Water Resources and Architectural Engineering，2003，1(2):41－43.(in Chinese))