劉倩倩，高紅亞，展正然

(1.河北大學 工商學院，河北 保定 071000;2.河北大學 數(shù)學與計算機學院, 河北 保定 071000;3.中國地質大學 長城學院，河北 保定 071000)

關于退化擬正則映射的加權不等式

劉倩倩1，高紅亞2，展正然3

(1.河北大學 工商學院，河北 保定 071000;2.河北大學 數(shù)學與計算機學院, 河北 保定 071000;3.中國地質大學 長城學院，河北 保定 071000)

為了研究退化擬正則映射的性質，將擬正則映射的加權Poincaré型不等式進行了推廣.首先給出當權重為擬正則映射時的Poincaré型不等式和退化擬正則映射的概念，然后證明了當權重為退化擬正則映射時Poincaré型不等式仍然成立.

退化Jacobian行列式; 退化擬正則映射;Poincaré型不等式

近年來，許多學者在退化橢圓方程的基礎上，建立了加權Poincaré型不等式.文獻[1]證明了下面2 個不等式是等價的：

(1)

(2)

其中，1lt;plt;∞，ω(x)和v(x)-1/(p-1)是定義在A∞上的加權函數(shù).文獻[2]證明了在不等式(1)中，權ω和v不一定是定義在A∞上的函數(shù)，并證明了如果f∈W1,n(Ω,Rn)∩L∞是擬正則映射，令ω(x)=J(x,f),v(x)=J(x,f)1-(p/n)，1lt;plt;n，那么不等式(1)成立.本文是建立在文獻[2]的基礎上，證明了如果f∈W1,l(Ω,Rn)∩L∞是退化擬正則映射，令ω(x)=Jl(x,f)，v(x)=Jl(x,f)1-(p/l)，1lt;plt;l，那么同樣有不等式(1)成立.

1 定義

退化擬正則映射的概念和性質被許多學者廣泛研究[3-8]，退化擬正則映射的定義如下.

2)

|Df(x)|l≤KJl(x,f), a.e.Ω.

(3)

其中|Df(x)|是矩陣范數(shù)，|Df(x)|=sup|ξ|=1|Df(x)ξ|.

定義2 對于每一個方體Q及Q的任意一個可測子集E, 如果存在常數(shù)c,δgt; 0, 使得

成立，則稱權ω(x)屬于A∞類.

2 Poincaré型不等式

(4)

其中，c∈Rn是一個常向量.

證明

因為φ在Ω的邊界為0, 得

(5)

對于退化的擬正則映射f(x),由式(3)不難得|Df(x)|l-1≤K1-(1/l)Jl(x,f)1-(1/l)，令M=‖f‖∞，從式(5)中，得

所以

其中c=c(l,K,‖f‖∞).

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GAO Hongya, GU Guangze, SHI Mingyu.Caccioppoli type inequality for degenerate weakly quasiregular mappings[J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 2008，28(5):548-553.

(責任編輯：王蘭英)

Weighedpoincaréinequalitiesassociatedwithdegeneratequasiregularmappings

LIUQian-qian1，GAOHong-ya2,ZHANZheng-ran3

(1.Industrial and Commercial Collge, Hebei University, Baoding 071000, China； 2.College of Mathematics and Computer Science, Hebei University, Baoding 071002,China； 3.Great Wall College, China University of Geosciences, Baoding 071000,China)

In order to study the properties of degenerate quasiregular mappings, a weighed Poincaré type inequalities associated with quasiregular mappings is generalized.First the article gives the Poincaré type inequalities which weight is a quasiregular mapping and the definition of degenerate quasiregular mappings, then proves that the Poincaré type inequalities is still right when the weight is degenerate quasiregular mappings.

degenerate Jacobian; degenerate quasiregular mappings; Poincaré type inequality

O186.15

A

1000-1565(2012)01-0017-03

2010-11-28

國家自然科學基金資助項目(10971224) .

劉倩倩(1983-), 女，河北淶源人，河北大學助教，主要從事復分析和偏微分方程方向研究.

E-mail:lqq1688@163.com

高紅亞(1969-), 男，河北順平人，河北大學教授，主要從事復分析和偏微分方程方向研究.

E-mail:hongya-gao@sohu.com

MSC2010: 53C43