唐 莉

Dodd-bullough-Mikhailov方程的精確行波解

利用多項式完全判別系統(tǒng),求得了Dodd-bullough-Mikhailov方程大量的精確行波解。從求解的過程可以看出，通過將方程化成可求解的初等積分形式，再利用多項式完全判別系統(tǒng)就可以容易地求出Dodd-bullough-Mikhailov方程全部的精確解。

Dodd-bullough-Mikhailov方程；精確行波解；多項式完全判別系統(tǒng)

過去的幾年，有很多方法被用于解決一些非線性方程[1-8]，但是這些方法都是間接的，有的并不能給出方程所有的精確行波解。劉成仕[9-12]通過多項式完全判別系統(tǒng)更完美地求解出一些非線性方程的精確解，借助于這種方法，筆者求得了Dodd-bullough-Mikhailov方程的精確行波解。

考慮如下Dodd-bullough-Mikhailov方程：

uxt+peu+qe-2u=0

(1)

作行波變換：

u=u(ξ)ξ=kx+ωt(k,ω為行波參數(shù))

(2)

把式(2)代入式(1)，則式(1)變?yōu)?

u″kω+peu+qe-2u=0

(3)

令eu=z，將式(3)化成如下初等積分的形式:

(4)

即:

(5)

下面分2種情形討論Dodd-bullough-Mikhailov方程相應(yīng)的行波解。

情形1a0=0，得到相應(yīng)的解為:

(7)

(8)

(9)

(10)

情形2a0≠0，記F(v)=v3+a2v2+a1v+a0，則F(v)的完全判別系統(tǒng)為：

(11)

(12)

(13)

2)Δ=0，D1=0，F(xiàn)(z)=-(z-α)3，有：

(14)

3) Δgt;0,D1lt;0,此時F(z)=-(z-α)(z-β)(z-γ),αgt;βgt;γ，有：

(15)

4) Δlt;0，此時F(z)=-(z-α)(z2+pz+q),p2-4qlt;0，有：

(16)

其中，式(15)和式(16)得到的是橢圓函數(shù)解，是其他方法沒有得到過的。式(12)～(16)是常微分方程的所有可能解。把相應(yīng)的具體參數(shù)帶入解的表達(dá)式中，即可寫出Dodd-bullough-Mikhailov方程式(1)的精確行波解。

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[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.03.005

O175.2

A

1673-1409(2012)03-N013-02

2012-01-25

唐莉(1981-)，女，2006年大學(xué)畢業(yè)，講師，碩士生，現(xiàn)主要從事數(shù)學(xué)物理方程方面的教學(xué)與研究工作。