黃建吾 (閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系, 福建 福州 350108)

一類生化反應(yīng)方程的周期解

黃建吾 (閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系, 福建 福州 350108)

討論了J.Higgins提出的一類雙細胞生化反應(yīng)模型，并利用Schauder不動點定理以及指數(shù)型二分性理論給出了該類型生化反應(yīng)模型周期解的存在條件。

Schauder不動點定理；周期解；指數(shù)型二分性

關(guān)于J.Higgins提出的描述2個細胞生化反應(yīng)的模型：

(1)

有不少關(guān)于極限環(huán)討論的研究成果[1]。在模型(1)的基礎(chǔ)上，文獻[2]討論了該模型具有米氏飽和反應(yīng)速度的情形，文獻[3]討論了該模型具有二重飽和反應(yīng)速度的情形，得到該系統(tǒng)極限環(huán)存在性或唯一性的若干充分條件。下面，筆者利用Schauder不動點定理及指數(shù)型二分性理論，對周期系數(shù)模型：

(2)

進行了探討，并給出了模型(2)周期解的存在條件。顯然，模型(2)包含模型(1)。

1 引 理

引理1[4]若系統(tǒng)x′=A(t)x具有指數(shù)型二分性，且：

A(t+ω)=A(t)B={f(t)|f:R→Rn,f(t+ω)=f(t),f(t)有界可積}

則對任意的f(t)∈B，系統(tǒng)x′=A(t)x+f(t)有唯一有界周期解，且該解為：

其中，X(t)是系統(tǒng)x′=A(t)x的基本解方陣；P為投影方陣。

引理2[1](Schauder不動點定理) 設(shè)M是線性賦范空間F中的一個有界閉凸子集，T:M→M連續(xù)，TM列緊，則T在M上必有一個不動點。

引理3[5]若F是區(qū)間I上定義的函數(shù)族，任意的f∈F皆在I上可微，且{f′(x):f∈F}在I上一致有界，那么F在I上等度連續(xù)。

引理4[1](Ascoli定理) 設(shè)F={fn(t)|fn:R→Rn}，若F一致有界且等度連續(xù)， 則F存在子列{fnk(t)} 在任意有限區(qū)間上一致收斂。

引理5[5]若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足：存在常數(shù)r≥0,對任意的x,y∈I均有：

|f(x)-f(y)|≤r|x-y|

則f(x)在I上一致連續(xù)。

2 主要結(jié)果

定理1對模型(2)，若kα-1(A+2B+1)≤1，則模型(2)存在周期解。

證明設(shè)M={φ(t)|φ∈C(R,R),φ(t+ω)=φ(t)，|φ(t)|≤1}，?φ1,φ2∈M,?0≤λ≤1有|λφ1+(1-λ)φ2|≤1，故M是有界函數(shù)空間的有界閉凸子集。將模型(2)變形為:

(3)

?φ(t)∈M，考慮線性系統(tǒng)：

(4)

可驗證式(4)齊次部分有基解矩陣如下:

(5)

則：

(6)

故：

(7)

這樣，系統(tǒng)(4)的齊次部分具有指數(shù)型二分性(其中P=I)。由引理1，系統(tǒng)(4)有唯一周期解：

(8)

?φ∈M，定義映射T：Tφ(t)=yφ(t)，下面證明T有不動點。

2)TM是列緊的。事實上，由于：

事實上，由式(6)和式(7)可得：

則：

所以T是連續(xù)的。

由Schauder不動點定理知T有不動點，記為φ0(t),有φ0(t)=Tφ0(t)=yφ0(t),于是有:

[1]鄧宗琦，吳克乾，梁肇軍，等.常微分方程與控制論[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社,1988.

[2]陽平華，徐瑞，胡寶存.一類生化反應(yīng)系統(tǒng)的定性分析[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報,1998,13(3):361-364.

[3]黃建華，張新建.一類生化反應(yīng)系統(tǒng)極限環(huán)的存在唯一性[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報,2000,15(4): 432-436.

[4]林發(fā)興. 線性系統(tǒng)指數(shù)型二分性[M].合肥：安徽大學(xué)出版社，1999.

[5]黃建吾. 二次周期系數(shù)微分方程的周期解[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2004，20(2)：145-149.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.03.004

O175.1

A

1673-1409(2012)03-N010-03

2012-01-16

黃建吾(1973-)，男，1995年大學(xué)畢業(yè)，碩士，副教授，現(xiàn)主要從事微分方程方面的教學(xué)與研究工作。