孔祥強(qiáng) (菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 菏澤 274000)

求解病態(tài)線性方程組的一種新的Jacobi迭代算法

孔祥強(qiáng) (菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 菏澤 274000)

給出了求解病態(tài)線性方程組的一種新的Jacobi迭代算法，證明了算法的收斂性，并通過算例說明了算法的實(shí)用性和有效性。

Jacobi迭代法;病態(tài)線性方程組;收斂性

Jacobi迭代法是解線性方程組的一種有效方法，它具有存儲(chǔ)量小、程序簡單的特點(diǎn)[1]。但當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣為病態(tài)時(shí)，該方法不能再使用。下面，筆者給出了一類全新的Jacobi迭代算法。

1 Jacobi迭代法

設(shè)A=(aij)∈Rn×n,且A為非奇異矩陣,b∈Rn,線性代數(shù)方程組Ax=b有解的一階定常迭代法為x(k+1)=Bx(k)+f,其中B=(bij)∈Rn×n。記J為Jacobi法的迭代矩陣，則J=D-1(L+U)。式中：

Jacobi迭代法[1]的矩陣形式為：

x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b

(1)

分量形式為：

(2)

2 新的Jacobi迭代法及收斂性證明

設(shè)Ax=b,其中A非奇異且病態(tài)。令A(yù)=D+M,則Dx+Mx=b,在兩邊同時(shí)加上擾動(dòng)項(xiàng)ωFx(ωgt;0,F為矩陣),ωgt;0,變?yōu)?(D+ωF)x=b+(ωF-M)x,則新的Jacobi迭代格式為：

(3)

定義1[2]設(shè)A∈Rn×n，若存在正對(duì)角矩陣D，使AD為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則稱A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。

引理1[2]設(shè)A=(aij)∈Rn×n為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,則aii≠0,且det(A)≠0。

引理2[2]嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣、不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣,均為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。

為方便起見,不妨設(shè)F=diag(f1,f2,…,fn)為對(duì)角矩陣。

下面給出不同于文獻(xiàn)[3]的迭代法。

定理1設(shè)A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,ωgt;0,且矩陣F的對(duì)角元素滿足：

則新的Jacobi迭代法(3)收斂。

令A(yù)x=b的新的Jacobi法的迭代矩陣G=(D+ωF)-1(ωF-M),考察G的特征值，即考察G的特征方程的根:

依引理1,aii≠0(i=1,2,…,n)，于是:

若能證明，當(dāng)|λ|≥1 時(shí)，則det(C)≠0，于是G的特征根絕對(duì)值均小于1，由迭代法基本定理[4]，解Ax=b的新的Jacobi迭代法收斂。事實(shí)上：

當(dāng)|λ|≥1且λ≥1時(shí)，|cii|=|λ(aii+ωf1)ei-ωf1ei|(ωgt;0)。

λ≤-1時(shí)的情形與λ≥1類似，不再重復(fù)。

推論1在定理1,若A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣(或不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣)，則依引理2，結(jié)論仍成立。

推論2在定理1，若取：

下面給出式(3)的分量形式：

(4)

3 數(shù)值算例

解若按Jacobi迭代法，式(2)不收斂；按新的Jacobi迭代法，式(4)所得解如表1所示；精確解x*=(1,1,1)T。

表1 初值x(0)=(0,0,0)T,迭代 9步結(jié)果

若采用文獻(xiàn)[5]的方法，至少迭代31步，才有上述的結(jié)果。

解若按Jacobi迭代法，式(2)不收斂；按新的Jacobi迭代法，式(4)所得解如表2所示； 精確解x*=(1,1,1，1)T。

表2 初值x(0)=(0,0,0,0)T,迭代 23步結(jié)果

若采用文獻(xiàn)[6]的方法，迭代的次數(shù)遠(yuǎn)超過23次。

從表1和表2看出,ω取不同的值時(shí),式(4)的收斂速度不同。相同迭代步數(shù)下的誤差相差明顯。

4 結(jié) 語

構(gòu)造了一種病態(tài)線性方程組的高效迭代算法，該方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算效率高，以較快的速度收斂，一般只需數(shù)十次迭代，即可求得滿足精度的近似解；該方法的收斂速度，不受矩陣階數(shù)的限制；迭代公式中ω的選取具有靈活性，ω的適當(dāng)選取，會(huì)使計(jì)算簡便。

[1]關(guān)治,陳景良.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2000.

[2]程公鵬.矩陣論[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,1999.

[3]林勝良.病態(tài)線性方程組解法研究[D].杭州:浙江大學(xué),2005.

[4]易大義,陳道琦.數(shù)值分析引論[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2001:305-408.

[5]張艷英,張?zhí)O蘋.病態(tài)方程組的一種精確解法[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1995,27(6)：26-28.

[6]富明慧,張文志.病態(tài)代數(shù)方程的精細(xì)積分解法[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2011,28(4):530-534.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.03.003

O241.6

A

1673-1409(2012)03-N007-03

2011-12-28

山東省統(tǒng)計(jì)局重點(diǎn)課題項(xiàng)目(KT11048)；山東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)課題項(xiàng)目(2011GG049)。

孔祥強(qiáng)(1983-)，男，2005年大學(xué)畢業(yè)，碩士，助教，現(xiàn)主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。