蔡吉花，　叢凌博

(黑龍江科技學(xué)院 理學(xué)院, 哈爾濱 150027)

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一類(lèi)人口發(fā)展系統(tǒng)生育率的雙控制問(wèn)題

蔡吉花，叢凌博

(黑龍江科技學(xué)院 理學(xué)院, 哈爾濱 150027)

研究了一類(lèi)時(shí)變?nèi)丝诎l(fā)展系統(tǒng)，把非競(jìng)爭(zhēng)生育率和競(jìng)爭(zhēng)生育率作為雙控制元討論了一類(lèi)時(shí)變?nèi)丝诎l(fā)展系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題。利用泛函分析方法，證明了時(shí)變?nèi)丝诎l(fā)展系統(tǒng)優(yōu)化控制元的存在性和唯一性。

人口發(fā)展系統(tǒng); 生育率; 閉凸集; 雙控制元

0引言

人口發(fā)展系統(tǒng)的研究歷史悠久,從最初的常微分方程的人口模型——Malthus人口模型和考慮競(jìng)爭(zhēng)的Logistic模型,發(fā)展到如今廣泛使用的偏微分方程人口模型。在考慮競(jìng)爭(zhēng)條件下,多個(gè)數(shù)學(xué)家提出并完善的人口發(fā)展系統(tǒng):

(1)

偏微分方程人口模型形式的不同主要體現(xiàn)在婦女總和生育率β(r,t)的不同表示。文獻(xiàn)[1]中對(duì)問(wèn)題(1)的β(r,t)=β(r)時(shí),利用算子半群理論得到解的唯一性和穩(wěn)定性,為使我國(guó)人口趨于穩(wěn)定,生育率控制在β≤2.16。文獻(xiàn)[2-3]進(jìn)一步發(fā)展了人口系統(tǒng)的漸進(jìn)性和穩(wěn)定性理論。文獻(xiàn)[4]中首先提出了考慮競(jìng)爭(zhēng)生育率的人口模型(1)。在文獻(xiàn)[5]中用特征線法討論了人口模型(1)的迭代解。關(guān)于人口系統(tǒng)問(wèn)題(1)中生育率β(r,t)的最優(yōu)控制問(wèn)題,文獻(xiàn)[6-8]分別研究了β(r,t)=β(r)、b(r)、c(r)作為控制元的人口系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題。以往的人口模型的最優(yōu)控制問(wèn)題都是以生育率的單個(gè)控制元作為研究對(duì)象,筆者將β(r,t)=b(r)-c(r)p(t)中的(b(r),c(r))作為雙控制元函數(shù),把人口模型的兩個(gè)生育率作為控制對(duì)象,討論了雙最優(yōu)控制元的存在性和唯一性。

記Ω=[0,rm]×[0,T],I=[0,rm],T是所考慮的最大時(shí)間范圍,取t時(shí)刻人口的總數(shù)p(0)(t)=C,在Ω中式(1)成為如下問(wèn)題:

(2)

利用特征線方法[5],可以得到在Ω中方程(2)的迭代解p(1)(r,t)。繼續(xù)這個(gè)過(guò)程:

(3)

其迭代解為

(4)

文獻(xiàn)[7]已經(jīng)證明了問(wèn)題(3)的迭代解{p(n)(r,t)}在Ω中收斂于p(r,t),p(r,t)稱(chēng)作方程(1)的極限解,表示為

1　基本概念

設(shè)L2(Ω)是Ω上Lebesgue平方可積函數(shù)構(gòu)成的Hilbert空間,內(nèi)積和范數(shù)分別定義為

類(lèi)似的設(shè)L2(I)表示Lebesgue平方可積函數(shù)構(gòu)成的Hilbert空間,內(nèi)積和范數(shù)分別定義為

則L2(I)可看成L2(Ω)的子空間。設(shè)M1>0,M2>0,記人口系統(tǒng)的控制集為

c(r)≤M1,0≤b(r)≤M2,a.er∈I}。

對(duì)于L2(I)×L2(I)中元素,定義范數(shù)：

‖(c,b)‖=‖c‖L2(I)+‖b‖L2(I)。

對(duì)U中元素取L2(I)×L2(I)范數(shù),則不難看出U為L(zhǎng)2(I)×L2(I)的閉凸子集。定義:

H1,2(Ω)中范數(shù)定義為

由Soblev嵌入定理,得到嵌入

H1,2(Ω)→L2(Ω)。

H1,2(Ω)可看成L2(Ω)中的完備子空間。任取(c(r),b(r))∈U代入問(wèn)題(3)得到系統(tǒng)方程(1)存在唯一解p(r,t)。設(shè)p*(r,t)為人們追求的理想狀態(tài),定義指標(biāo)泛函J為

J(p)=J(c,b)=‖p(r,t;b,c)-p*(r,t)‖L2(Ω)。

當(dāng)控制變量(c(r),b(r))取遍整個(gè)U,對(duì)于確定的p(t)可表示集合W為

存在(c(r),b(r))∈U,使得方程(1)對(duì)應(yīng)解為p(r,t;b,c),且

以下為表述方便,記

2　主要結(jié)果

定理1W是L2(Ω)中的有界閉凸集。

證明W的有界性直接由式(3)估計(jì)即得。

(1)閉性。

當(dāng)n→∞時(shí)有p(r,0)=p0(r),r∈[0,rm),故p滿足初始條件。

對(duì)邊界條件:由于{βn}有界,所以有弱收斂子列:

結(jié)合在L2(Ω)中pn→p,可得i→∞時(shí),在L2[0,T]中

(2)凸性

設(shè)β1=(c1(r),b1(r))∈U,β2=(c2(r),b2(r))∈U,對(duì)應(yīng)的p1=p1(r,t),p2=p2(r,t)∈W,λ1,λ2≥0,λ1+λ2=1,p=λ1p1+λ2p2,代入式(1)中,則p滿足以下問(wèn)題:

由U的凸性知:(λ1c1+λ2c2,λ1b1+λ2b2)∈U；

定理2人口系統(tǒng)問(wèn)題(1)在U中存在唯一的雙最優(yōu)控制元(c*(r),b*(r))。

證明設(shè)J(p)=J(c,b)=‖p(r,t;b,c)-p*(r,t)‖L2(Ω),由解(3)對(duì)參數(shù)函數(shù)(c(r),b(r))的連續(xù)依賴(lài)性,當(dāng)(c(r),b(r))在有界集U中取值時(shí),W亦為有界集。又設(shè)pn∈p(U)是極小化序列,相對(duì)應(yīng)U中的雙控制元為(cn(r),bn(r)),

由于{pn}在L2(Ω)中有界,由定理1知W為L(zhǎng)2(Ω)中的有界凸集,故能自{pn}中選子列(不妨設(shè)其自身),使得

由Mazur定理,存在{pn}的凸組合序列

使得

(5)

強(qiáng)收斂。

這里，U中與Sm相應(yīng)的雙控制元為(cm(r),bm(r)),由定理1中閉性可得(cm(r),bm(r))強(qiáng)收斂于(c*(r),b*(r)),從而(c*(r),b*(r))∈U,且p*(r,t)為系統(tǒng)(1)的與(c*(r),b*(r))相對(duì)應(yīng)的解。由于J為空間L2(Ω)中的范數(shù)函數(shù),故J為嚴(yán)格凸函數(shù)。注意到{pn}是極小化序列,有

結(jié)合式(5)得

由上，(c*(r),b*(r))是U中人口系統(tǒng)(1)的雙最優(yōu)控制元。最后,由J的嚴(yán)格凸性知p*(r,t)是唯一的,從而得(c*(r),b*(r))亦是唯一的。

[1]宋健, 于景元. 人口控制理論[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1985.

[2]宋健, 于景元. 人口系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和臨界婦女生育率[J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào), 1981, 17(01): 1-12.

[3]宋健, 于景元, 朱廣田, 等.人口發(fā)展方程解及其漸進(jìn)性質(zhì)[J]. 科學(xué)通報(bào), 1982, 27(22): 1356-1359.

[4]谷超豪, 李大潛, 沈瑋熙. 應(yīng)用偏微分方程[M]. 北京: 高等教育出版社, 1993.

[5]黃炯. Verhulst型偏微分方程人口模型整體解的存在唯一性研究(I)[J]. 云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版, 1999, 19(6)： 28-39.

[6]WANG HUI, HOU XUEZHANG. A control problem for nonstationary population systems[J]. Journal of Systems & Science Systems Engineering, 1994, 3(1): 66-73.

[7]蔡吉花, 王輝, 石端銀. 時(shí)變?nèi)丝诎l(fā)展系統(tǒng)非競(jìng)爭(zhēng)人口生育率的最優(yōu)控制[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2006, 36(9): 265-270.

[8]蔡吉花. 時(shí)變?nèi)丝诎l(fā)展系統(tǒng)競(jìng)爭(zhēng)生育率的優(yōu)化控制[J]. 黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào), 2007, 17(6): 483-485.

(編輯晁曉筠)

Two control elements problem of fertility rate for population developing system

CAIJihua,CONGLingbo

(College of Sciences, Heilongjiang Institute of Science & Technology, Harbin 150027, China)

This paper presents a study on the time-dependent population developing system and discusses the optimal control problem of the time-dependent population developing system by regarding the noncompetitive fertility rate and the competitive fertility rate as two control elements. The existence and uniqueness of the optimal control for the time-dependent population developing system are proved by the functional analysis methods.

population developing system; fertility rate; closed convex set; two control elements

1671-0118(2012)01-0089-04

2012-01-04

黑龍江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(A200915)；黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(10551285)

蔡吉花(1963-),女,黑龍江省尚志人，教授,碩士，研究方向：微分方程,E-mail:caijh2003@163.com。

O29； C923

A