馮慶江

(凱里學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 凱里 556000)

1001-5051(2012)04-0375-06

應(yīng)用G′/G展開法求Davey-Stewartson I方程的精確解

馮慶江

(凱里學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 凱里 556000)

通過應(yīng)用G′/G展開法，求出了復(fù)系數(shù)Davey-Stewartson I方程的精確解，并對(duì)解的性質(zhì)進(jìn)行了相應(yīng)的分析研究.

G′/G展開法；復(fù)系數(shù)；Davey-Stewartson I方程；精確解

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，非線性科學(xué)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、力學(xué)、材料科學(xué)、通信技術(shù)、生命科學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)等領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)變得越來越廣泛.最近幾十年來，許多學(xué)者發(fā)現(xiàn)了一系列求解非線性偏微分方程的方法，如B?cklund變換法[1]、Painlevé展開法[2]、齊次平衡法[3]、函數(shù)展開法[4]、混合指數(shù)法[5]、Hirota變換法[6]、分離變量法[7]、F-展開法[8]、輔助方程法[9]、形變映射法[10]等.最近，李幫慶等[11]利用G′/G展開法成功地求解了不同類型的非線性偏微分方程.本文以Davey-Stewartson I方程[12]

為模型，應(yīng)用G′/G展開法求方程(1)的精確解，并對(duì)解的性質(zhì)作簡(jiǎn)單的分析研究.式(1)中:u為復(fù)函數(shù);v為實(shí)函數(shù);r為實(shí)常數(shù)，i為虛數(shù)單位.

1 G′/G展開法的主要思想

首先，考慮非線性偏微分方程

式(2)中:u=u(x,y,…,t)是未知函數(shù);F是關(guān)于u及u的各階偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式.應(yīng)用G′/G展開法求解方程(2)的具體步驟如下：

步驟1 通過行波變換將變量x,y,…,t轉(zhuǎn)化為行波變量ξ，假設(shè)

這樣,式(2)就可以轉(zhuǎn)化為只含有行波變量ξ的常微分方程

步驟2 將方程(4)的解表示成G′/G的多項(xiàng)式

式(5)中,G=G(ξ)滿足

式(5)中的a0,a1,a2,…,am及式(6)中的λ,μ均為待定常數(shù)，且am≠0.正整數(shù)m的具體值可通過齊次平衡法來確定.

步驟3 將式(5)代入式(4)，這時(shí)式(4)的左邊變成一個(gè)關(guān)于G′/G的多項(xiàng)式，合并G′/G的相同冪次項(xiàng)，令該多項(xiàng)式的各階G′/G冪次項(xiàng)的系數(shù)為零，導(dǎo)出關(guān)于以a0,a1,a2,…,am,α,β,…,η,λ,μ為未知量的非線性代數(shù)方程組.

步驟4 求解上述以a0,a1,a2,…,am,α,β,…,η,λ,μ為未知量的非線性代數(shù)方程組的解，通過式(6)可以求出G的值，從而進(jìn)一步確定出G′/G，將a0,a1,a2,…,am,α,β,…,η,λ,μ和G′/G代入式(5)，即可以求出方程(2)的行波解.

2 G′/G展開法的應(yīng)用

下面應(yīng)用G′/G展開法求解Davey-Stewartson I方程(1).由于u為復(fù)數(shù)，于是令

式(7)中:ξ=δx+ζy-ωt;η=αx+βy-γt;i2=-1.分別求出ut，uxx，uyy，vxx，vyy，(|u|2)xx，并將它們代入方程(1)的第1個(gè)方程，化簡(jiǎn)并分離實(shí)部和虛部,得

根據(jù)式(9)可以確定

將ut，uxx，uyy，vxx，vyy，(|u|2)xx代入方程(1)的第2個(gè)方程,得

聯(lián)立式(8)和式(11)得方程組

設(shè)φ和v具有如下形式：

式(13)和式(14)中,G=G(ξ)滿足式(6).通過式(6)可以得到

分別求出φ"，v"，φ3，φv，φ′2，φφ"，并將它們代入方程組(12)，這時(shí)方程組(12)的左邊是一個(gè)關(guān)于G′/G的多項(xiàng)式，令該多項(xiàng)式的各階G′/G冪次項(xiàng)的系數(shù)為零，得出以a0,a1,a2,…,am,α,β,…,η,λ,μ為未知量的非線性代數(shù)方程組

求解上述方程組，可得以下5組解:

下面分3種情況進(jìn)行討論：

情形1當(dāng)λ2-4μ>0時(shí),

(22)

式(21)和式(22)中,ξ=δx+ζy-ωt(以下同).將式(13)，式(14)，式(16)～式(22)代入式(7)，可以得到以下Davey-Stewartson I方程的5組解:

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

情形2當(dāng)λ2-4μ=0時(shí),

將式(13),式(14),式(19),式(20),式(28)和式(29)代入式(7)，可得以下Davey-Stewartson I方程的2組非平凡解:

情形3當(dāng)λ2-4μ<0時(shí),

(32)

(33)

將式(13),式(14),式(19),式(20),式(32)和式(33)代入式(7),可得以下Davey-Stewartson I方程的2組非平凡解:

為了研究Davey-Stewartson I方程解的性質(zhì)，下面給出方程部分解的函數(shù)圖像.

當(dāng)α=1,β=1,γ=1,δ=2,ζ=1,ω=1,r=1,λ=5,μ=4,y=1,C1=1,C2=2時(shí)，式(30)的函數(shù)圖像如圖1所示.

圖1 式(30)的函數(shù)圖像 圖2 式(34)的函數(shù)圖像

當(dāng)α=1,β=1,γ=1,δ=1,ζ=0,ω=1,r=2,λ=0,μ=1,y=1,C1=1,C2=1時(shí)，式(34)的函數(shù)圖像如圖2所示.

3 結(jié) 語

本文應(yīng)用G′/G展開法成功地求出了Davey-Stewartson I方程的9組精確解，并對(duì)解的性質(zhì)作了簡(jiǎn)單的分析.但是，對(duì)于諸如積分形式的(2+1)維Sawaka-Kotera方程[13]

是否也能夠用此方法進(jìn)行求解，作者將作更深入的研究.

[1]范恩貴,張鴻慶.Whitham-Broer-Kaup淺水波方程的B?cklund變換和精確解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1998,19(18):667-670.

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[9]智紅燕,陳勇,張鴻慶.廣義射影Riccati方程方法與(2+l)維色散長波方程新的精確行波解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2005,25A(7):956-964.

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[11]李幫慶,馬玉蘭.(G′/G)展開法和(2+1)維非對(duì)稱Nizhnik-Novikov-Veselov系統(tǒng)的新精確解[J].物理學(xué)報(bào),2009,58(7):4373-4378.

[12]張金良.Davey-Stewartson I的周期波解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2005,25A(2):213-219.

[13]阮航宇.(2+1)維Sawada-Kotera方程中兩個(gè)Y周期孤子的相互作用[J].物理學(xué)報(bào),2004,53(6):1617-1622.

SeekingforexactsolutionsforDavey-StewartsonIequationwithG′/G-expansionmethod

FENG Qingjiang

(CollegeofMathematicsandScience,KaiLiUniversity,KaiLiGuizhou556000,China)

By usingG′/G-expansion method, it was obtained the exact solutions for Davey-Stewartson I equation, the properties of solutions was also analysed.

G′/G-expansion method； complex coefficient； Davey-Stewartson I equation； the exact solutions

2012-04-21

貴州省凱里學(xué)院教學(xué)團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目(JXTD201101);貴州省凱里學(xué)院校級(jí)課題(Z1219)

馮慶江(1981-)，男，河北秦皇島市人，助教.研究方向：孤立子理論與可積系統(tǒng).

O175.2

A

(責(zé)任編輯 陶立方)