劉 濤, 徐秀斌, 肖 媛

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

1001-5051(2012)04-0395-06

弱L-平均條件下非精確牛頓型迭代法的半局部收斂性

劉 濤, 徐秀斌, 肖 媛

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

主要研究了在弱L-平均條件下非精確牛頓型迭代法在求解非線性算子方程時的半局部收斂性.這種弱L-平均條件包含了常用的Lipschitz條件作為特殊情形,故所得收斂結果具有一般性.

非線性算子方程;非精確牛頓型迭代法;半局部收斂;弱L-平均條件

0 引 言

令X和Y是歐氏空間或一般的Banach空間,D是X的一個開凸子集,設F:D?X→Y是一個Fréchet可導的非線性算子,

求解非線性方程(1)的近似解是一個重要的問題,因為大量的不同類型的實際問題都可歸結為方程(1)的形式,如微分方程、邊界值問題、積分方程等.常常用非精確迭代程序求方程(1)解的問題,它的一般表達形式為

式(2)中：初始點x0給定；在Rn中A(xk)是一個n×n的非奇異矩陣;控制序列{ηk}滿足0≤ηk≤1.當A(xk)=F′(xk)時,可以得到非精確牛頓型迭代法,其迭代程序為

當A(xk)=F′(x0)時,可以得到簡化的非精確牛頓迭代法;當A(xk)近似于F′(xk)時,就得到了非精確牛頓型迭代法(2)[1].

非精確牛頓迭代法包含了經典的牛頓迭代法[2-3],對于非精確牛頓法殘余序列的選擇影響著非精確牛頓法的收斂性.文獻[4]給出了非精確牛頓法(3)的半局部收斂定理,其中殘余序列{rn}滿足:

此時0≤ηn<η< 1.文獻[5]利用Lipschitz條件在開集B(x0,δ)上給出了非精確牛頓迭代法(3)的半局部收斂定理,此時{rn}滿足

‖F′(x0)-1rn‖≤ηn‖F′(x0)-1F(xn)‖1+β,0≤β<1.

文獻[6]利用H?lder條件,在集合B(x0,r)上給出了非精確牛頓迭代法(3)的半局部收斂定理.文獻[7]利用局部弱L-平均條件

在集合B(x0,δ)上給出了非精確牛頓迭代法(3)的局部收斂定理.其中：ρ(x)=‖x-x*‖；xτ=x*+τ(x-x*)(0<τ<1).文獻[8]利用弱L-平均條件

本文主要通過利用弱L-平均條件和控制條件‖F′(x0)-1(rn-rn-1)‖≤ηn‖xn-xn-1‖研究非精確牛頓型迭代法(2)的半局部收斂性,所得結果比文獻[4,9]的相關結論更具有一般性.

1 引 理

根據本文的需要,首先給出4個引理及證明,然后在這些引理的基礎上證明迭代方法(2)的半局部收斂性.

在給出收斂定理之前先定義如下2個輔助函數:

式(4)和式(5)中，L(u)為非負非減可積的連續(xù)函數.

函數f(x)和g(x)的導函數分別為:

則由式(6)和式(7)可以得到

取θ0>0,使得

且記

f(0)=β>0,f(θ0)=-ω2b+β<0,f(R)=β+λR>0.

故f在定義域[0,R]內恰有2個正根,分別記為t*和t**,且有

0

證明 由式(4)知

又由前面給出的條件易得f′(0)<0,f′(θ0)=0,f′(R)>0,故可以得到函數f(t)在區(qū)間[0,θ0]上單調遞減,在區(qū)間[θ0,R]上單調遞增;又因f(θ0)=-ω2b+β<0,故f在區(qū)間[0,R]內恰有2個正根t*和t**,所以有0

引理2設迭代序列

式(11)中,f(t),g(t)由式(4)和式(5)定義.設t*是方程f(t)=0在區(qū)間[0,θ0]的一個根,則由式(11)產生的序列{tn}有

且{tn}單調遞增收斂到t*,并有

證明 由式(11)可得

下證t1

因此由f的單調性可知t1=β

現在假設t10,故有

另一方面,由式(8)可以得到

所以式(12)得證.序列{tn}單調遞增地收斂于一點,記為γ(γ∈[0,t*]),且γ也是方程f(t)=0的一個根.又由于t*是方程f(t)=0在[0,t*]內唯一的一個根,所以γ=t*,即序列{tn}收斂到t*.

最后證明式(13)成立.由式(8)可以得到

故式(13)成立.引理2證畢.

引理3假設F′(x0)-1F′在開域B(x0,t*)上滿足

且對于任意x∈B(x0,t*),F′(x)-1存在,則

證明 由已知可得

則由Banach引理和式(9)易得

故式(18)成立.引理3證畢.

引理4[3]設

其中0≤ρ≤t*,且L(u)在[0,t*]上非負遞增,則φ(t)在[0,t*-ρ]上關于t單調遞增.

2 半局部收斂性定理

根據上面的引理,以下給出非精確牛頓型迭代法(2)的半局部收斂性定理.

定理1假設F:D?X→Y是一階連續(xù)Fréchet可導的非線性算子,D是X的開凸子集.若存在初始點x0∈D,使得F′(x0)-1∈L(Y,X)存在,且有:

A(x)可逆;‖F′(x0)-1(A(x)-F′(x))‖≤ω1;‖A(x)-1F′(x)‖≤ω2.

證明 由非精確牛頓型迭代法的迭代式(2)可以得到

xn+1-xn=-A(xn)-1F(xn)+A(xn)-1rn,n=0,1,…,

所以

‖xn+1-xn‖= ‖A(xn)-1(F(xn)-rn)‖≤

‖A(xn)-1F′(xn)‖‖F′(xn)-1F′(x0)‖‖F′(x0)-1(F(xn)-rn)‖.

(25)

下面用數學歸納法證明式(23)和

成立.

當k=0時,由式(20)有

‖x1-x0‖=‖A(x0)-1(F(x0)-r0)‖≤β=t1-t0,t0=0.

‖z-x0‖≤‖z-x1‖+‖x1-x0‖≤t*-t1+t1-t0=t*-t0,

下面假設當k=n-1時結論成立,即有

其中:xn-1+τ=xn-1+τ(xn-xn-1);0<τ<1.所以由式(21)和式(22)及引理4有

(27)

所以由引理2、引理3及式(25)有

(28)

‖z-xn‖≤‖z-xn+1‖+‖xn+1-xn‖≤t*-tn+1+tn+1-tn=t*-tn.

3 應 用

根據定理1,當A(x)=F′(x)時,可以給出非精確牛頓迭代法(3)的半局部收斂性定理.此時優(yōu)函數式(4)和式(5)為如下形式:

(29)

定理2假設F:D?X→Y是一階連續(xù)Fréchet可導的非線性算子,D是X的開凸子集.若存在初始點x0∈D,使得F′(x0)-1∈L(Y,X) 存在,且有

(31)

(32)

(33)

式(34)和式(35)中,{sn}單調遞增收斂到s*并滿足

當令L(u)≡L(這里L是一個大于零的常數)時,由定理2可以得到文獻[4,9]中的相關結論.

推論1設F:D?X→Y在集合B(x0,t*)內連續(xù)可導,假設式(22)成立且控制序列{ηk}滿足0≤ηk<1.F′(x0)F′滿足對于任意的x∈B(x0,t*),‖x-x0‖+‖x-x′‖≤t*時有

‖F′(x0)(F′(x)-F′(x′))‖≤L‖x-x′‖.

若2βL≤(1-η)2,則由迭代方法(3)產生的序列{xk}收斂到方程(1)的解x*.

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SemilocalconvergenceofinexactNewton-typeiterationmethodsunderweakL-averagecondition

LIU Tao, XU Xiubin, XIAO Yuan

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China)

The semilocal convergence properties of the variants of inexact Newton-type iteration methods for nonlinear operator equations were studied under the hypothesis that the first derivative satisfies weakL-average conditions. These conditions included the usual Lipschitz condition as special cases.

nonlinear operator equations; inexact Newton-type iteration method; semilocal convergence; weakL-average condition

2012-04-10

劉 濤(1987-)，男,河南固始人,碩士研究生.研究方向:非線性數值逼近.

O241

A

(責任編輯 陶立方)