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(城峰中學(xué) 浙江仙居 317300)

立足教材拓展能力
—— 一道課本習(xí)題的探究與拓展

●鄭冬連

(城峰中學(xué) 浙江仙居 317300)

教材是教師從事教學(xué)的依據(jù)，也是學(xué)生獲得知識(shí)的主要渠道．課本上的習(xí)題，往往都具有一定的典型性．作為教師，要認(rèn)真研究教材，抓住課本中的典型習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考，激活學(xué)生的思維．這不僅加強(qiáng)了知識(shí)的落實(shí)，更重要的是，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性、廣闊性和批判性等．這種以知識(shí)為載體、培養(yǎng)能力為手段、提高思維為目標(biāo)的教學(xué)方法正是新課改所倡導(dǎo)的理念．更重要的是這種教學(xué)方法能將學(xué)生從題海中解放出來(lái),真正提高學(xué)生獲取知識(shí)的能力．這里僅以人教版《數(shù)學(xué)》必修4第2章平面向量復(fù)習(xí)參考題B組第5題進(jìn)行探索，旨在拋磚引玉．

圖1

探究1例1有哪些證法？

分析要證△P1P2P3為正三角形，只需證△P1P2P3的3條邊相等或△P1P2P3的3個(gè)內(nèi)角相等或△P1P2P3的重心、垂心、外心、內(nèi)心這4個(gè)心中有2個(gè)心重合即可．

即

又因?yàn)?/p>

同理可得

從而

∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1，

△P1OP2≌△P2OP3≌△P1OP3，

因此

故△P1P2P3為正三角形．

由方法1知

故

同理

故△P1P2P3為正三角形．

所以

方法4證明點(diǎn)O既是外心又是垂心.由已知得

亦即

OP2⊥P3P1，

同理可得

OP1⊥P3P2，

探究2例1能否推廣或變換？

拓展1將例1中的3個(gè)向量改為4個(gè)向量，結(jié)論如何？

分析由圖2知四邊形P1P2P3P4不一定是正方形，但一定是矩形.

且

OM⊥P1P4，ON⊥P2P3.

△MOP4≌△OP2N，

即

∠MOP4=∠P2ON，

從而P2P4為⊙O的直徑，同理P2P3也為⊙O的直徑，故P1P2P3P4為矩形．

圖2 圖3

拓展2將例1中的向量推廣為更一般的情形，結(jié)論又如何？

(1) 若推廣為2n(n≥3且n∈N)個(gè)向量，顯然P1P2…Pn不一定為正2n邊形，如圖3所示．

圖4

下面以五邊形為例加以說(shuō)明(見(jiàn)圖4).

證明不妨設(shè)正n邊形的外接圓半徑為1，建立如圖5的直角坐標(biāo)系，則

圖5

…

…

Pn(1,0).

…

…

于是{zn}為等比數(shù)列，從而

z1+z2+…+zn=

即

故命題成立．

在教學(xué)中，可讓學(xué)生對(duì)如下例2進(jìn)行類(lèi)似例1所示的探究和思考．

圖6

探究點(diǎn)(1)例2有哪些證法？(2)若將3個(gè)向量改為4個(gè)向量，結(jié)論如何？推廣為更一般的情形，結(jié)論又如何？(3)若將平面向量改為空間向量，有何結(jié)論？

通過(guò)一道課后習(xí)題的解剖，可見(jiàn)習(xí)題蘊(yùn)藏著豐富的教學(xué)功能．在教學(xué)中，教師可根據(jù)學(xué)生實(shí)際，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生思維，通過(guò)探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，讓他們勇于提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而思維能力得到提高，學(xué)生學(xué)得輕松．高中數(shù)學(xué)新課程理念之一是倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，這些學(xué)習(xí)方式將有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程．因此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)充分挖掘教材中的每一道習(xí)題，進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，最大限度地發(fā)揮習(xí)題的教學(xué)功效，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中增效減負(fù)的目的．