張立鵬, 魏瑞軒, 劉月, 郭立普

(1.空軍工程大學(xué) 工程學(xué)院, 陜西 西安 710038;2.空軍94170部隊(duì) 計(jì)量站, 陜西 西安 710082)

無(wú)人機(jī)編隊(duì)構(gòu)成的分散最優(yōu)控制方法研究

張立鵬1, 魏瑞軒1, 劉月2, 郭立普1

(1.空軍工程大學(xué) 工程學(xué)院, 陜西 西安 710038;2.空軍94170部隊(duì) 計(jì)量站, 陜西 西安 710082)

針對(duì)無(wú)長(zhǎng)機(jī)帶領(lǐng)、具有固定無(wú)向通信拓?fù)涞臒o(wú)人機(jī)編隊(duì)構(gòu)成控制問(wèn)題,提出了一種基于“相鄰”無(wú)人機(jī)狀態(tài)反饋的分散最優(yōu)控制方法。該方法采用Laplacian矩陣描述編隊(duì)通信結(jié)構(gòu),以“相鄰”無(wú)人機(jī)與編隊(duì)構(gòu)型間的相對(duì)狀態(tài)誤差構(gòu)建分散最優(yōu)控制模型,并通過(guò)求解具有LMI約束的線性目標(biāo)最優(yōu)化問(wèn)題得到編隊(duì)各無(wú)人機(jī)的分散最優(yōu)控制律。該方法使得多無(wú)人機(jī)在分散協(xié)同的前提下,基于局部信息快速準(zhǔn)確地形成預(yù)定編隊(duì)構(gòu)型,達(dá)到運(yùn)動(dòng)方向和速度的一致性。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

無(wú)人機(jī); 編隊(duì)構(gòu)成控制; 分散最優(yōu)控制; 線性矩陣不等式

引言

編隊(duì)構(gòu)型形成控制是無(wú)人機(jī)編隊(duì)協(xié)同控制面臨的首要問(wèn)題。其目的是使分散于多個(gè)不同空域的無(wú)人機(jī)迅速集結(jié),形成穩(wěn)定的預(yù)定隊(duì)形,并保持各無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)速度和方向的一致性。無(wú)人機(jī)編隊(duì)協(xié)同控制研究引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1]。

在現(xiàn)有的研究中,Xiaohua Wang等[2]將編隊(duì)構(gòu)成控制問(wèn)題分為兩層,采用最優(yōu)控制與模型預(yù)測(cè)控制相結(jié)合的方法形成預(yù)定編隊(duì)構(gòu)型;R L Raffard等[3]采用對(duì)偶分解方法求解編隊(duì)構(gòu)成控制的最優(yōu)化模型,取得了較好的仿真效果;Sakai Yosuke等[4]研究了兩架YF-22無(wú)人機(jī)的編隊(duì)構(gòu)成控制問(wèn)題,并進(jìn)行了真實(shí)飛行測(cè)試。以上算法在控制過(guò)程中跟隨無(wú)人機(jī)僅與其領(lǐng)航長(zhǎng)機(jī)進(jìn)行通信,并與其保持相對(duì)構(gòu)型,整個(gè)編隊(duì)控制呈現(xiàn)串聯(lián)結(jié)構(gòu)。本文針對(duì)一類無(wú)長(zhǎng)機(jī)帶領(lǐng)、具有固定無(wú)向通信拓?fù)鋱D的無(wú)人機(jī)編隊(duì)構(gòu)成問(wèn)題展開了研究。在無(wú)人機(jī)編隊(duì)構(gòu)型描述的基礎(chǔ)上,以各“相鄰”無(wú)人機(jī)與預(yù)定構(gòu)型間的相對(duì)誤差建立分散最優(yōu)控制模型,采用求解線性矩陣不等式的方法得到分散條件下的最優(yōu)反饋控制輸入。仿真結(jié)果表明,該方法能夠快速準(zhǔn)確地形成預(yù)定隊(duì)形,并能夠保持運(yùn)動(dòng)速度和方向的一致性。

1 無(wú)人機(jī)編隊(duì)構(gòu)成問(wèn)題描述

1.1 無(wú)人機(jī)簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)模型

針對(duì)多無(wú)人機(jī)在同一高度平面內(nèi)的編隊(duì)構(gòu)型形成控制問(wèn)題展開研究。給出簡(jiǎn)化無(wú)人機(jī)運(yùn)動(dòng)方程為[5]:

(1)

為將式(1)轉(zhuǎn)化為線性模型,作如下變換:

(2)

定義狀態(tài)變量z和輸入量u分別為:

(3)

則式(1)可表示為以下偽線性形式:

(4)

其中:

1.2 無(wú)人機(jī)編隊(duì)運(yùn)動(dòng)模型

(5)

式中,xi∈R4為無(wú)人機(jī)UAVi的狀態(tài)量;ui∈R2為其輸入向量。

令

X=[x1,x2,…,xn]Τ

U=[u1,u2,…,un]Τ

則無(wú)人機(jī)編隊(duì)的整體運(yùn)動(dòng)模型可描述為:

(6)

其中:

An=In?A∈R4n×4n

Bn=In?B∈R4n×2n

結(jié)合式(3),進(jìn)一步將無(wú)人機(jī)編隊(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)量X分解為位置狀態(tài)量Xp與速度狀態(tài)量Xv,其關(guān)系如下:

Xp=In?[I20],X∈R2n

(7)

Xv=In?[0I2],X∈R2n

(8)

1.3 無(wú)人機(jī)編隊(duì)構(gòu)型描述

無(wú)人機(jī)編隊(duì)構(gòu)型可從通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和幾何構(gòu)型兩方面描述。首先討論無(wú)人機(jī)編隊(duì)的固定、無(wú)向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。圖1為其通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意圖。

圖1 無(wú)人機(jī)編隊(duì)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意圖

編隊(duì)的整體通信關(guān)系用鄰接矩陣Ad=(gij)n×n表示,gij為:

(9)

在此基礎(chǔ)上,令

D=diag(d1,…,di,…,dn)

其中:

(10)

由此導(dǎo)出與編隊(duì)通信拓?fù)鋵?duì)應(yīng)的Laplacian矩陣為:

L=D-Ad

(11)

L具備的特性可參見文獻(xiàn)[6]。圖1所示的編隊(duì)通信拓?fù)鋵?duì)應(yīng)的Laplacian矩陣為:

進(jìn)而討論編隊(duì)幾何構(gòu)形。當(dāng)無(wú)人機(jī)編隊(duì)達(dá)到穩(wěn)定時(shí),各無(wú)人機(jī)相對(duì)位置固定,運(yùn)動(dòng)速度趨于一致,編隊(duì)呈現(xiàn)穩(wěn)定的幾何構(gòu)型。采用慣性坐標(biāo)系下無(wú)人機(jī)位置和速度關(guān)系描述編隊(duì)構(gòu)型,首先給出編隊(duì)幾何構(gòu)型穩(wěn)定的定義。

定義1:給定編隊(duì)構(gòu)型向量為:

式中,hp∈R2n，為位置構(gòu)型。

當(dāng)存在位置向量q(t)∈R2,速度向量w(t)∈R2,使得當(dāng)t→∞時(shí)有:

(12)

(13)

式中,1n為長(zhǎng)度為n的全1列向量。

則稱編隊(duì)收斂到穩(wěn)定的幾何構(gòu)形h。

式(12)表示若在時(shí)刻t編隊(duì)各無(wú)人機(jī)的位置與預(yù)定構(gòu)型hp(i)間的差向量均相同(均為q(t)),則該時(shí)刻的編隊(duì)構(gòu)型與預(yù)定構(gòu)型一致。式(13)表示各無(wú)人機(jī)的速度一致。編隊(duì)幾何構(gòu)型如圖2所示。

圖2 編隊(duì)幾何構(gòu)型示意圖

2 無(wú)人機(jī)編隊(duì)構(gòu)成的分散最優(yōu)控制方法

在無(wú)人機(jī)編隊(duì)建模和構(gòu)型描述的基礎(chǔ)上,給出分散條件下的編隊(duì)構(gòu)成最優(yōu)控制方法。

首先定義無(wú)人機(jī)UAVi與UAVj間的相對(duì)狀態(tài)為:

xij=xi-xj

(14)

為使得編隊(duì)趨近于預(yù)定構(gòu)型,相對(duì)狀態(tài)xij應(yīng)該趨近于對(duì)應(yīng)編隊(duì)構(gòu)型向量hi與hj之差。定義誤差向量為:

yij=xij-(hi-hj)

(15)

考慮無(wú)人機(jī)UAVi僅能獲得其“相鄰”無(wú)人機(jī)的狀態(tài)信息,令yi表示UAVi與其“相鄰”無(wú)人機(jī)的誤差向量之和,則有:

(16)

對(duì)于編隊(duì)中所有的無(wú)人機(jī),其誤差向量定義為:

y=[y1,…,yi,…,yn]Τ=Ln(X-h)

(17)

其中:

Ln=L?In

結(jié)合編隊(duì)運(yùn)動(dòng)模型,給出編隊(duì)構(gòu)成的最優(yōu)化性能指標(biāo)為:

(18)

式中,Qn∈R4n×4n,Rn∈R4n×4n均為對(duì)稱正定矩陣。

令

可將式(18)化簡(jiǎn)為:

(19)

因?yàn)榫庩?duì)構(gòu)型向量h為預(yù)先給定的常數(shù)向量,則式(19)可視為無(wú)限時(shí)間定常跟蹤系統(tǒng)。為求解該系統(tǒng),首先必須對(duì)其求解條件進(jìn)行討論。為此,給出如下定理:

定理1:當(dāng)存在相互連通的無(wú)人機(jī)編隊(duì)通信拓?fù)鋾r(shí),式(19)存在可行解,即無(wú)人機(jī)編隊(duì)能夠收斂到預(yù)定構(gòu)型。

文獻(xiàn)[7]給出了求解無(wú)限時(shí)間定常跟蹤系統(tǒng)的近似最優(yōu)控制輸入,可表示為:

U=-(Rn)-1BnΤ(PX-g)

(20)

式中,對(duì)稱正定矩陣P滿足下列Riccati方程:

(21)

g為伴隨向量,可通過(guò)求解下式獲得:

(22)

上述求解方法沒(méi)有將編隊(duì)通信關(guān)系考慮在內(nèi),最優(yōu)控制輸入的計(jì)算依賴于整個(gè)編隊(duì)的全狀態(tài)反饋,因此不能保證控制的分散性。為對(duì)上述方法進(jìn)行改進(jìn),定義:

P=L?pij(i,j=1,2,…,n)

(23)

式中,pij∈R4×4為待定參數(shù),當(dāng)不存在無(wú)人機(jī)UAVi與UAVj的通信連接,即L(i,j)=0時(shí)，有:

L(i,j)pijXj=0

(24)

根據(jù)式(20)可知,在上述條件下無(wú)人機(jī)UAVi控制量的計(jì)算不依賴于無(wú)人機(jī)UAVj的狀態(tài),由此可保證反饋控制輸入的分散性。為求解P中所有需待定的參數(shù),將式(21)的求解轉(zhuǎn)化為帶線性矩陣不等式(LMI)約束的最優(yōu)化問(wèn)題[8]:

(25)

(26)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮4架無(wú)人機(jī)所構(gòu)成的邊長(zhǎng)為200 m的菱形編隊(duì)(見圖1),選取一組初始狀態(tài)(見表1)進(jìn)行編隊(duì)構(gòu)成仿真。

表1 無(wú)人機(jī)編隊(duì)構(gòu)成仿真的初始參數(shù)

選取加權(quán)矩陣Qn=500I16,Ri=100I16,通過(guò)求解,得到如圖3所示的編隊(duì)形成航跡。從圖中可以看出,各無(wú)人機(jī)快速準(zhǔn)確地形成了預(yù)定構(gòu)型。

圖3 編隊(duì)構(gòu)成航跡

圖4為編隊(duì)構(gòu)成過(guò)程中無(wú)人機(jī)UAV1與其它各無(wú)人機(jī)的相對(duì)位置誤差(Δl)曲線,圖5為各無(wú)人機(jī)的速度變化曲線。

圖4 UAV1與編隊(duì)中其它無(wú)人機(jī)間的距離誤差

圖5 無(wú)人機(jī)的速度變化曲線

從圖中可知,采用文中的算法實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)速度和方向的一致性要求。為進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性,以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,在半徑為1 000 m的圓形空域內(nèi)隨機(jī)生成4架無(wú)人機(jī)的初始位置、初始速度和偏航角,進(jìn)行4組仿真,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖6 4組不同初始狀態(tài)下的編隊(duì)構(gòu)成航跡

根據(jù)多組仿真結(jié)果,通過(guò)進(jìn)一步分析編隊(duì)無(wú)人機(jī)初始速度與最終編隊(duì)收斂速度間的關(guān)系,可以發(fā)現(xiàn)存在如下關(guān)系:

(27)

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)一類無(wú)長(zhǎng)機(jī)帶領(lǐng)且具有無(wú)向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的無(wú)人機(jī)編隊(duì)構(gòu)型形成的控制問(wèn)題,提出了基于“鄰近”無(wú)人機(jī)狀態(tài)反饋的分散最優(yōu)控制方法。從仿真結(jié)果可以看出,本文提出的方法能夠較好地實(shí)現(xiàn)任意初始狀態(tài)下的編隊(duì)構(gòu)型形成控制,并具有形成速度快、編隊(duì)構(gòu)型準(zhǔn)確的特點(diǎn)。在編隊(duì)構(gòu)型形成的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)無(wú)人機(jī)編隊(duì)對(duì)任意航跡的跟蹤,以及考慮無(wú)人機(jī)性能約束條件下編隊(duì)的保持與跟蹤將是下一步研究的重點(diǎn)。

[1] 樊瓊劍,楊忠,方挺,等.多無(wú)人機(jī)協(xié)同編隊(duì)飛行控制的研究現(xiàn)狀[J].航空學(xué)報(bào),2009,30(4):683-691.

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DecentralizedoptimalcontrolforUAVformationforming

ZHANG Li-peng1, WEI Rui-xuan1, LIU-Yue2, Guo Li-pu1

(1.Engineering Institute, Air Force Engineering University, Xi’an 710038, China;2.Computation Department, 94170 Unit of Air Force, Xi’an 710082, China)

In order to form a special formation when the leaderless UAVs maneuver with the undirected communication topology, a decentralized optimal control method based on the neighbors’ state feedback is proposed. The Laplacian Matrix is intorduced to discribe the communication topology, and a decentralized optimal control model based on the error between the neighbors’ state and the target formation is built. And the decentralized optimal control law is obtained by solving the minimum problem with the linear matrix inequalities(LMI) constrains. This method can guarantee the UAVs form the formation rapidly and precisely， and reach speed and direction consensus with the local information. Simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed method.

UAV; formation forming control; decentralized optimal control; LMI

2011-03-10;

2011-08-28

張立鵬(1986-)，男，陜西禮泉人，碩士研究生，從事多無(wú)人機(jī)協(xié)同控制研究。

V279; TP273

A

1002-0853(2012)01-0025-04

(編輯：姚妙慧)