方輝平

(黃山學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽黃山245041)

極限是研究數(shù)列和函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要工具，在數(shù)學(xué)分析中許多基本概念和問題都和極限密切相關(guān).和式極限在不少專著里均有所涉及［1，2］，卻并沒有專題研究它的求法.大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題涉及該類極限問題較多，促使學(xué)者探究如何較好解決和式極限問題.

1 利用定積分定義求極限

定積分是用黎曼和的極限來刻畫的，可以利用定積分的定義及其計(jì)算求極限.利用極限定義求極限的技巧就是把通項(xiàng)寫成兩部分的乘積，一部分是區(qū)間等分所得的小區(qū)間長度，另一部分是關(guān)于分點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù).首先看第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽的一道試題.

這是第十八屆北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的一道試題，綜合使用了夾逼準(zhǔn)則和極限的定義求極限.

2 利用Stolz定理求極限

也有一些學(xué)者［3］對(duì)Stolz定理進(jìn)行推廣，并用來求極限.

3 等價(jià)代換求極限及其誤區(qū)分析

在數(shù)學(xué)分析里提到等價(jià)無窮小量的概念，并利用等價(jià)無窮小量替換來計(jì)算極限.有少數(shù)學(xué)者研究了求和式極限時(shí)利用等價(jià)無窮小代換，但都沒有分析過這種代換的誤區(qū).下面著重分析定理的運(yùn)用和誤解.

定理1 設(shè)點(diǎn)列{xnk}(k=1，2，…，n)，滿足=0，并且當(dāng) n→∞時(shí)，f(xnk)和 g(xnk)是兩個(gè)等價(jià)無窮小量，如果

下面是首屆中國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽的一道試題.

下面給出兩個(gè)易混淆的錯(cuò)誤命題:

錯(cuò)誤命題1 設(shè)當(dāng) n→∞時(shí)，f(n，k)和 g(n，k)是兩個(gè)等價(jià)無窮小量，如果(n，k)存在，則

錯(cuò)誤命題2 設(shè)點(diǎn)列{xnk}(k=1，2，…，n)，滿足=0，并且當(dāng) n→∞時(shí)，f(xnk)和 g(xnk)是兩個(gè)等價(jià)無窮小量，如果存在，

這兩個(gè)錯(cuò)誤命題都可以以例4作為反例.以上這兩種代換在一般數(shù)列極限的等價(jià)無窮小替換法經(jīng)常使用，但是對(duì)于和式極限，使用這兩個(gè)命題，往往導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果.

［1］毛京中.高等數(shù)學(xué)競賽與提高［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社，2002

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)［M］.3版.北京:高等教育出版社，2001

［3］庹亞林.Stolz定理數(shù)列形式的一個(gè)逆命題及其推廣［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，26(4):322-326