史 玲，蔡美峰

（1. 北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083；2. 北京科技大學(xué) 金屬礦山高效開采與安全教育部重點實驗室，北京 100083）

1 引 言

CNS（constant normal stiffness）剪切試驗是指試件在剪切過程中，存在一固定法向剛度Kn，所施加的法向壓應(yīng)力隨著法向剪脹位移的變化而變化。Goodman通過試驗及圖解方式說明了巖塊在滑落過程中，若通過不斷施加法向壓力限制其剪脹為0，節(jié)理在剪切過程中就會需要更大的剪力[1]。

這一節(jié)理剪切狀態(tài)通常出現(xiàn)在地下巷道圍巖中松散巖體的下滑過程。此時若要使巖石滑落首先要使石塊在滑落過程中具備足夠的剪脹空間，否則因為周圍巖塊的法向位移限制，而使節(jié)理摩擦阻力增大，巖石要想滑落，所需下滑主動力也相應(yīng)增大。

目前對節(jié)理在 CNS條件下的剪切研究主要以試驗為主，根據(jù)試驗結(jié)果提出半經(jīng)驗強度公式[2－3]。理論上主要根據(jù)Goodman的圖解法，提出法向位移方向的剪切剛度 kns、剪切位移方向的法向剛度 ksn來預(yù)測CNS剪切過程[4－6]。但這一方法較為復(fù)雜，不易理解。本文從剪切過程中法向剪脹位移與剪切位移的關(guān)系出發(fā)，將該問題簡化成一個簡單的物理模型，并假設(shè)最大剪切應(yīng)力與殘余剪切應(yīng)力出現(xiàn)時的剪切位移為定值，根據(jù)模型中塊體相對位移不變，算出某剪切位移條件下的壓應(yīng)力值與剪切應(yīng)力值，通過不斷的循環(huán)迭代得到整個過程的剪切應(yīng)力變化曲線。

2 節(jié)理在CNS條件下的剪切模型

2.1 基本假設(shè)

根據(jù)大量的試驗結(jié)果[4]，普通直剪試驗所得曲線如圖1所示，對于剪切應(yīng)力與剪切位移關(guān)系曲線，當(dāng)剪切位移u從0增大到up時，假設(shè)剪切應(yīng)力線性增大到τp，當(dāng)upur，保持τr不變。而對剪脹與剪切位移關(guān)系曲線，法向剪脹位移從0線性增大的最大值（u

式中：c為節(jié)理凝聚力；σn為法向壓應(yīng)力；φ為節(jié)理基礎(chǔ)摩擦角；in為剪脹角。

圖1 普通直剪試驗曲線Fig.1 Curves of ordinary direct shear test

對于不同法向壓應(yīng)力下的直剪試驗曲線，一般有兩種形式[4]，如圖2所示：一種是剪切剛度不變，即ks為定值，剪切應(yīng)力表達(dá)式為

另一種是剪切應(yīng)力達(dá)到最大值和殘余強度時的剪切位移不變，即up、ur為定值，此過程中剪切應(yīng)力表達(dá)式為

式中：u為剪切位移；up為達(dá)到最大剪切應(yīng)力時的位移；ur為達(dá)到殘余強度時的位移。

第1種形式計算過程相對簡單，很多軟件在處理節(jié)理強度問題時都采用此種形式；第2種形式較第 1種形式更能真實反映大量試驗數(shù)據(jù)結(jié)果，Goodman[1]、Seab[4]在研究CNS剪切過程中均采用此種形式。因此，本文也用第2種形式來進(jìn)行計算。

圖2 不同壓應(yīng)力下剪切應(yīng)力與剪切位移曲線形式Fig.2 Curves of shear stress vs. shear displacement

2.2 物理模型的建立

根據(jù)圖1剪切過程中法向位移與剪切位移的關(guān)系簡化曲線，本文采用兩塊相配的楔形體的相對運動來表示，如圖3所示。

圖3(a)中，對于初始壓應(yīng)力σ0，剪脹角為i0，直剪試驗中剪脹曲線的變化可以由塊體A以傾角i0沿塊體B運動過程來表示，楔形體寬度為ur。若壓應(yīng)力增大為σn，如圖3(b)所示，假設(shè)在剪切過程中，均先施加壓力再施加剪力，由于彈簧Kj，塊體B會下降一段距離，相對于圖3(a)，剪脹角減小為i，但塊體A和B的相對運動角度仍為i0。Kj表示的是節(jié)理在剪切過程中因法向壓應(yīng)力增大而使法向位移減小的狀況，包括節(jié)理的法向壓縮與剪脹角的磨損，很明顯Kj不是定值，這將在2.3節(jié)中討論。

因此，對于CNS條件下的剪切過程，在塊體A上加一彈簧 Kn即可控制法向壓應(yīng)力的變化，如圖3(c)所示。若CNS剪切試驗時所施加的初始壓應(yīng)力為σ0，初始剪脹角為i0，則在任意狀態(tài)（u

當(dāng)u>ur時，法向壓應(yīng)力保持不變。

式中：σ0為初始壓應(yīng)力；i0為初始剪脹角；Kn為控制壓應(yīng)力的法向剛度；Kj為控制節(jié)理法向變形的剛度，此處應(yīng)為絕對值。

將式（7）代入式（1）～（4）即可得到該時刻剪切應(yīng)力的值。

圖3 楔形塊體模擬剪切過程示意圖Fig.3 Sketches of wedge block simulating shear progress

2.3 模型中具體參數(shù)確定及運算方法

CNS試驗式（4）～（7）中，初始壓應(yīng)力σ0、i0、up、ur、Kn為定值。但對于Kj，它表示壓應(yīng)力增大使得剪切過程中節(jié)理法向剪脹位移減小的變化。由圖3(b)可以看出，節(jié)理剪脹法向位移由兩部分組成，一是單純的節(jié)理法向位移隨著壓應(yīng)力的增大而減小量f(σn)：另一部分表示剪切過程中由于節(jié)理齒的磨損 f(in)，剪脹角由i0減小為in。故總的法向位移可以表示為

式（8）中節(jié)理法向單調(diào)加載本構(gòu)關(guān)系 f(σn)項由于接觸結(jié)構(gòu)面的強度性質(zhì)和接觸狀態(tài)，存在不同的經(jīng)驗公式[1,7－9]。此處采用 Bandis的雙曲模型來代入計算[9]。將σ0定為初始壓應(yīng)力，如圖4(a)所示，則其關(guān)系式可寫為

式中：Vm為節(jié)理的最大閉合位移；Kni為雙曲線模型中的最初斜率，此處假設(shè)為常數(shù)。

圖4 不同法向壓應(yīng)力下節(jié)理法向位移與剪脹角變化曲線Fig.4 Variation curves of normal displacement and dilatancy angle (tangent value) with different normal compressive stresses

同理，式（8）中剪脹角的磨損項，根據(jù)Ladanyi和Archambault得出的經(jīng)驗公式[10]，也引入初始壓應(yīng)力σ0和初始剪脹角i0，則由剪脹角引起的法向位移變化可寫為

式中：σT為節(jié)理在直剪過程中不發(fā)生剪脹現(xiàn)象時的最大壓應(yīng)力；m為系數(shù)，一般情況下，m=4。

將式（10）、（11）代入式（9），同時使Kj取正值得：

將式（12）代入式（7），即可用迭代法解得壓應(yīng)力與剪切位移在CNS剪切條件下的關(guān)系式，得到σn，進(jìn)而可得到剪切應(yīng)力與剪切位移的關(guān)系。注意當(dāng) σ0=σT時，式（11）不成立，此時初始剪脹角i0=0，無剪脹，為Kn=0的情況。且在CNS剪切過程中，可能出現(xiàn) σn=σT的情況，這時剪脹角的磨損量即為初始剪脹角，也無剪脹，故在迭代計算時要考慮σn（包括σ0）與σT的關(guān)系。計算流程如圖5所示。

圖5 計算流程圖Fig.5 Flow chart of calculation

3 算例及各參數(shù)影響

取初始值如表 1所示，設(shè)所有應(yīng)力單位均為MPa，剛度單位為 MPa/mm，位移單位為 mm，位移變量u從0到15，所得結(jié)果如圖6所示。

表1 初始參數(shù)Table 1 Initial values

圖6 節(jié)理在CNS條件下的剪切應(yīng)力曲線Fig.6 Shear stress vs. shear displacement curves under CNS conditions

由計算得 CNS剪切過程中壓應(yīng)力的變化從5 MPa到10 MPa左右，故在圖6中分別畫出壓應(yīng)力為5～11 MPa時直剪狀態(tài)（CNL）下的剪切應(yīng)力曲線。通過對比可得，初始壓應(yīng)力為5 MPa時，CNS條件下剪切應(yīng)力隨著剪切位移的增大而增加，其值明顯大于壓應(yīng)力5 MPa時CNL條件下的剪切應(yīng)力值。而且在此算例中，與CNL直剪曲線相比，CNS的剪切應(yīng)力曲線沒有明顯的衰減過程，到達(dá)最大強度后，幾乎一直保持該強度到最后。因此，在CNS條件下，剪切應(yīng)力曲線更加平緩。

由式（7）得 CNS條件下壓應(yīng)力的變化由 Kn與 Kj協(xié)調(diào)控制，Kn的確定較為簡單，而 Kj的取值則較為復(fù)雜。決定Kj取值的式（10）與式（11）中的參數(shù)值不僅與巖石強度有關(guān)，還與節(jié)理風(fēng)化程度、接觸狀態(tài)、節(jié)理粗糙度及實驗室試驗條件有關(guān)，其值存在很大的離散性。大量試驗數(shù)據(jù)顯示，即使同一種巖石，試驗所得節(jié)理強度參數(shù)也不盡相同[11]。

為簡單計，本文只討論式（7）與式（12）中參數(shù)單獨變化時的剪切應(yīng)力曲線。

3.1 不同Kn條件下的CNS剪切應(yīng)力變化

初始壓應(yīng)力仍為5 MPa，對于Kn值，分別取2、10、50、500 MPa/mm，其他參數(shù)同表1中所列，所得剪切應(yīng)力曲線如圖 7所示。當(dāng) Kn很小時（圖中Kn=2 MPa/mm曲線），其變化趨勢類似于CNL條件下的剪切應(yīng)力曲線，隨著Kn的增加，其曲線逐漸變的平滑。當(dāng)Kn無限大時，通過式（7）可得，壓應(yīng)力變化由Kn與 Kj相互協(xié)調(diào)控制，在此情況下其壓應(yīng)力增量則取決于 Kj（Kj此處可看為定值），故其剪切應(yīng)力曲線隨著Kn的無限增大而趨于穩(wěn)定。

圖7 不同Kn條件下CNS剪切應(yīng)力曲線Fig.7 Shear stress vs. shear displacement curves under CNS conditions with different values of Kn

3.2 不同Vm條件下的CNS剪切應(yīng)力變化

取不同的Vm值0、3、5、10 mm，其余參數(shù)保持不變，所得結(jié)果如圖8所示。當(dāng)Vm=0 mm 時，不存在式（10）代表的節(jié)理法向變形，剪切過程中只有剪脹角的磨損。因為只存在剪脹，所引起的壓應(yīng)力值較大，故剪切應(yīng)力值也較大。隨著Vm的增加，緩解了法向的變形，剪切應(yīng)力值逐漸減小。

圖8 不同Vm條件下CNS剪切應(yīng)力曲線Fig.8 Shear stress vs. shear displacement curves under CNS conditions with different values of Vm

3.3 不同σT條件下的CNS剪切應(yīng)力變化

當(dāng) σn=σT時，式（11）所代表的變形為-u tani0，此時剪脹角的磨損量為原剪脹角，即不存在剪脹。同理當(dāng) σn＞σT時，剪切過程中也不存在剪脹，法向壓應(yīng)力維持不變，且此時因為剪脹角為 0，最大剪切應(yīng)力值同殘余剪切應(yīng)力值。故參考表1中相關(guān)數(shù)值，取不同的σT值分別為2、5、10、50 MPa，其余參數(shù)保持不變，結(jié)果如圖9所示。由圖9可看出，隨著σT的增加，其剪切應(yīng)力也逐漸增大。

當(dāng)σT=2 MPa與σT=5 MPa時，因為初始壓應(yīng)力σ0=5 MPa，剪切過程中不存在剪脹，最大剪切應(yīng)力值與殘余剪切應(yīng)力值相同，且兩條曲線重合，如圖9所示。對于圖中σT=10 MPa的曲線，其剪切應(yīng)力在從剪切位移約為5 mm時即維持不變。這表明在CNS剪切過程中，在剪切位移為5 mm附近，壓應(yīng)力 σn≥ σT，剪脹角為0，此后將不在發(fā)生剪脹，法向壓應(yīng)力保持不變。

圖9 不同σT條件下CNS剪切應(yīng)力曲線Fig.9 Shear stress vs. shear displacement curves under CNS conditions with different values of σT

3.4 不同Kni條件下的CNS剪切應(yīng)力變化

表1中，取不同的Kni值3、5、9、13 MPa/mm，其余參數(shù)保持不變，得到的結(jié)果如圖 10所示，Kni值越大，其剪切應(yīng)力強度越大。Kni表示式（10）雙曲線的最初斜率，其數(shù)值越大，表示節(jié)理越不易壓縮，它與Vm的作用相反。

圖10 不同Kni條件下CNS剪切應(yīng)力曲線Fig.10 Shear stress vs. shear displacement curves under CNS conditions with different values of Kni

4 結(jié) 論

本文以節(jié)理剪切過程中法向剪脹位移與剪切位移的關(guān)系為基礎(chǔ)，通過一個楔形物理模型來模擬節(jié)理在CNS條件下的剪切過程，同時討論了節(jié)理主要參數(shù)對CNS剪切曲線的影響。

（1）增大法向壓應(yīng)力剛度Kn，其CNS剪切強度也增大，但并不是無限增大，而是隨著Kn的增加而趨于穩(wěn)定。

（2）對于影響節(jié)理法向變形的參數(shù)（包括單軸壓縮變形及剪脹角的磨損），其值的改變所引起的剪切應(yīng)力變化規(guī)律表現(xiàn)為，節(jié)理在剪切過程中越不易發(fā)生壓縮變形，其剪切應(yīng)力值也就越大。

所提出的計算模型能準(zhǔn)確的預(yù)測節(jié)理在 CNS條件下的剪切過程，使得研究各參數(shù)的影響變得更加容易，為以后的研究奠定基礎(chǔ)。

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