樓夢(mèng)麟，康 帥，殷 琳

（同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092）

阻尼作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力的基本參數(shù)之一，對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析有著很大的影響［1－2］.實(shí)際地震時(shí)的耗能有著多方面的影響因素.阻尼的形成機(jī)理十分復(fù)雜，沒有直接的測量和分析方法，難以用精細(xì)理論來分析，而主要采用宏觀總體的表達(dá)方法，由此出現(xiàn)了不同的阻尼模型理論［3－4］.由于工程實(shí)際的需要，目前廣泛采用的阻尼模型為Rayleigh阻尼，其假定結(jié)構(gòu)的振型阻尼比只能處于某一范圍且前幾階振型阻尼比相同.對(duì)此，我國規(guī)范［5］規(guī)定，一般鋼結(jié)構(gòu)取0.02，混凝土結(jié)構(gòu)為0.05.已有不少的研究揭示，采用這種模型計(jì)算所得結(jié)果和實(shí)際的結(jié)構(gòu)反應(yīng)有較大差別［6－7］.筆者基于振動(dòng)臺(tái)模型的試驗(yàn)結(jié)果，首先采用不同的計(jì)算方法，對(duì)模型的頻率及阻尼比進(jìn)行識(shí)別，再分別采用Rayleigh阻尼和Caughey阻尼進(jìn)行仿真分析，從而揭示不同阻尼模型的適用性及對(duì)反應(yīng)的影響規(guī)律.

1 試驗(yàn)概況

模型為10層框架結(jié)構(gòu)，立面見圖1所示.層高20cm，柱和梁的橫截面尺寸分別為4cm×4cm和3cm×4cm，樓板厚度為1cm，選用微?；炷良俺善峰冧\鋼絲網(wǎng)制作.其中，微粒混凝土彈性模量E＝7500MPa，密度ρ＝1933kg·m－3.圖2為相應(yīng)的傳感器布置，圖3為模型試驗(yàn)照片.

阻尼比的計(jì)算，分別采用自由衰減振動(dòng)方法、白噪聲作用下傳遞函數(shù)的修正半功率譜法以及基于HHT（Hilber－Huang Transform）的參數(shù)識(shí)別方法.

1.1 自由衰減

在模型頂部布置加速度傳感器，使框架頂部偏移，瞬間釋放后為自由衰減振動(dòng).測試結(jié)果如圖4所示.取其平均值計(jì)算，得出第1階頻率為6.64Hz，阻尼比為0.052.

1.2 振動(dòng)臺(tái)半功率譜法［8－9］

經(jīng)白噪聲掃描，各測點(diǎn)（A1～A6，位置見圖2）的傳遞函數(shù)如圖5所示.可看出，對(duì)應(yīng)于1階頻率，峰值曲線較為光滑，可大致估算出模型的第1階頻率為6.73Hz.從圖5的傳遞函數(shù)中可看出，不同測點(diǎn)的傳遞函數(shù)規(guī)律不同，顯示出各階振型的參與程度不同.前3階水平振型如圖6所示.在第1，2，3階振型圖中，第10，4，6層都分別達(dá)到了較大的值，分別對(duì)應(yīng)測點(diǎn)A6，A3，A4.故分別采用A6的第1階頻率、A3的第2階頻率、A4的第3階頻率來估算相應(yīng)的阻尼比.

由于傳遞函數(shù)的高階頻率對(duì)應(yīng)的曲線帶有較多的毛刺，系試驗(yàn)中的噪聲干擾，故首先對(duì)實(shí)測曲線插值擬合，結(jié)果見圖7，然后采用半功率譜方法計(jì)算.

1.3 基于 HHT的參數(shù)識(shí)別［10－13］

1999年，Yang首先將HHT變換用于結(jié)構(gòu)的參數(shù)識(shí)別，得到了結(jié)構(gòu)的頻率及阻尼.此后經(jīng)過不斷的擴(kuò)展及改進(jìn)，得到廣泛認(rèn)可.HHT是一種基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ降哪B(tài)分解，核心是EMD（empiricial mode decomposition，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解）分解，能夠很容易地得到結(jié)構(gòu)的前幾階模態(tài)反應(yīng).當(dāng)用于參數(shù)識(shí)別時(shí)，目前的問題就是模態(tài)混疊.通過查閱以往文獻(xiàn)，得到的解決辦法主要有兩種，一是應(yīng)用頻率截?cái)鄿?zhǔn)則，對(duì)每次分解的IMF（intrisic mode function，本征模態(tài)數(shù)組）分量設(shè)置截?cái)囝l率；二是先將信號(hào)通過帶通濾波器，再對(duì)得到的信號(hào)進(jìn)行EMD分解，應(yīng)用HT（Hilbert Transformation）變換得到結(jié)構(gòu)的各參數(shù).本試驗(yàn)采用第二種方法.經(jīng)EMD分解得到IMF分量后，由于是經(jīng)過帶通濾波的，故僅分析第1階分量，再應(yīng)用隨機(jī)減量方法，得出相應(yīng)模態(tài)的自由衰減振動(dòng)，經(jīng)HT變換，再應(yīng)用最小二乘法擬合，即可得到所需結(jié)果.

圖8為白噪聲作用下測點(diǎn)A6的加速度反應(yīng).由前面分析結(jié)果可知，前3階頻率分別大致為6.75，23.1，48.3Hz.將原始信號(hào)分別通過4～10Hz，21～26Hz，45～52Hz的帶通濾波器，然后分別對(duì)各信號(hào)進(jìn)行EMD分解，共分解出9個(gè)分量C1～C9，（如圖9所示）.圖10為信號(hào)通過4～10Hz的濾波器后第1個(gè)IMF分量應(yīng)用隨機(jī)減量法得到的結(jié)果，圖11為對(duì)圖10中的經(jīng)HT變換后的幅值及相位曲線根據(jù)最小二乘法得到的結(jié)果.從幅值圖中可看出存在著端點(diǎn)效應(yīng)［14］，可采用鏡像延拓等方法消除.從圖11b中的直線斜率ωd＝43.05rad·s－1，圖11a的斜率ξω＝1.47，可得出第1階頻率f1＝6.85Hz，第1階阻尼比ξ1＝0.034.同理，可得出2階和3階的頻率及阻尼比.

圖8 白噪聲掃描時(shí)程圖Fig.8 Time history of white noise scan

從試驗(yàn)結(jié)果中采用三種不同方法解得模型結(jié)構(gòu)前3階自振頻率與相應(yīng)的振型阻尼比，如表1所示.

表1 模型自振頻率及阻尼比Tab.1 Natural frequency and damping ratio of the model

由表1結(jié)果可知，采用不同的分析方法，結(jié)構(gòu)振型阻尼比相差比較大，且變化規(guī)律也不一樣，半功率譜方法得出的阻尼比越來越小.下面對(duì)這兩組阻尼比，采用不同的阻尼模型，進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)值模擬.

2 模型地震反應(yīng)的數(shù)值模擬

2.1 阻尼模型介紹

Rayleigh阻尼為目前應(yīng)用最為廣泛的阻尼模型［9］，即假定結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，由兩個(gè)階的自振頻率及對(duì)應(yīng)的振型阻尼比來確定其他階的阻尼比.一般工程中，低階振型在結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)中起主導(dǎo)作用，通常采用前兩個(gè)階的振型及阻尼比來簡化計(jì)算.表達(dá)形式為

Caughey阻尼又稱擴(kuò)展的Rayleigh阻尼，可寫成如下形式：

式（1）和（2）中：ξn表示振型阻尼比；ωn表示頻率；a0，a1，ab為系數(shù).

當(dāng)已知結(jié)構(gòu)的多階自振頻率及對(duì)應(yīng)的振型阻尼比時(shí)，可采用Caughey阻尼計(jì)算.但是如果階數(shù)太多，可能造成病態(tài)方程組，出現(xiàn)奇異解.本試驗(yàn)取四項(xiàng)，b從0開始，包括Rayleigh阻尼，并向后擴(kuò)展兩項(xiàng).由于第4階阻尼比無法測出，根據(jù)第3階阻尼比及工程經(jīng)驗(yàn)，假定為0.03.圖12顯示了對(duì)應(yīng)本實(shí)驗(yàn)的Rayleigh阻尼與Caughey阻尼曲線的不同，當(dāng)指定1，2階阻尼比時(shí)，高階阻尼比會(huì)隨著頻率的增大而增大，但Caughey阻尼可以通過指定多個(gè)阻尼比，而使對(duì)于結(jié)構(gòu)反應(yīng)有較大影響的、對(duì)應(yīng)頻率分量的阻尼比較為精確.

2.2 數(shù)值模擬結(jié)果

在振動(dòng)臺(tái)模型試驗(yàn)中，分別設(shè)計(jì)3條不同頻率成分的輸入地震波，依據(jù)地震波頻譜的不同，分別選擇了低頻、中頻、高頻含量的地震波.所謂高頻，是指輸入地震波的主要頻率成分遠(yuǎn)高于結(jié)構(gòu)的第1階自振頻率，也略高于第2階自振頻率.輸入幅值均為0.15g，實(shí)測基礎(chǔ)底部的時(shí)程及頻譜如圖13所示.

表2列出了分別采用半功率譜方法及HHT方法所得的模型結(jié)構(gòu)前3階振型阻尼比時(shí)，應(yīng)用Rayleigh阻尼模型和Caughey阻尼模型在3條不同地震波作用下模型結(jié)構(gòu)加速度反應(yīng)峰值的計(jì)算結(jié)果，并與模型試驗(yàn)實(shí)測數(shù)據(jù)對(duì)比，Rayleigh阻尼用第1，2階自振頻率和對(duì)應(yīng)的振型阻尼比確定.為了使結(jié)果更加清晰，將不同工況下各樓層峰值加速度的放大系數(shù)隨高度的變化作于圖14.可看出，在低、中頻地震波作用下，Rayleigh與Caughey阻尼模型的計(jì)算結(jié)果基本一致，加速度峰值從底層到頂層逐漸增大，主要為第1，2階振型參與；在高頻地震波下，兩種模型所得的計(jì)算結(jié)果有較大差別，Caughey的結(jié)果更接近于實(shí)驗(yàn)，其中第6層的差別最大，主要是由于第3振型的參與程度較大.可從圖5的傳遞函數(shù)圖中看出，當(dāng)采用Rayleigh阻尼的1和2階振型阻尼比時(shí)，高階振型的阻尼比被高估，從而使結(jié)構(gòu)的反應(yīng)減小.

在低、中頻地震波作用下，當(dāng)采用HHT方法得出阻尼比時(shí)，計(jì)算結(jié)果比采用半功率譜的方法更接近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果.但是在高頻地震波作用下，情況剛好相反，說明了采用HHT方法估算的低階阻尼比要比半功率譜方法更精確.但對(duì)于第3階振型阻尼比的結(jié)果恰恰相反.同時(shí)也可以看出，在高階地震波作用下時(shí)，采用Caughey阻尼模型計(jì)算所得的模型結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)更接近于實(shí)測結(jié)果.

表2 按不同方法確定的阻尼比計(jì)算所得的反應(yīng)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of response results using damping ratio acquired from semi－power spectrum method g

圖15為低、中頻作用下，采用HHT方法識(shí)別阻尼比時(shí)，頂層加速度實(shí)測數(shù)據(jù)與Caughey阻尼計(jì)算結(jié)果的對(duì)比圖.圖16為高頻作用下，采用半功率譜方法得出的阻尼比時(shí)，頂層及第6層加速度實(shí)測數(shù)據(jù)與Caughey阻尼的計(jì)算結(jié)果對(duì)比.為了顯示清楚些，僅截取了包含峰值部分的反應(yīng).

3 結(jié)論

（1）當(dāng)?shù)卣鸩ǖ念l率主要集中在結(jié)構(gòu)的前2階范圍內(nèi)時(shí)，采用Rayleigh阻尼模型的前2階阻尼比是可行的；但當(dāng)主要激勵(lì)頻率遠(yuǎn)高于結(jié)構(gòu)基頻時(shí)，會(huì)誤差較大，而Caughey阻尼能更好地反映實(shí)際情況.

（2）采用基于HHT方法得出的低階振型阻尼比計(jì)算所得模型結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)，更接近試驗(yàn)結(jié)果，由半功率譜方法得出的阻尼比更精確，但是高階振型阻尼比卻是由半功率譜方法得出的更接近于試驗(yàn)結(jié)果.

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