龔啟榮

(貴州大學，貴陽 550025)

客觀世界的n元關系
——兼談傳統(tǒng)形式邏輯和數(shù)理邏輯

龔啟榮

(貴州大學，貴陽 550025)

當代形式邏輯對客觀世界n元關系的研究，其視野是傳統(tǒng)形式邏輯和數(shù)理邏輯無法相比的。從主導思想上看，傳統(tǒng)形式邏輯是真正的名副其實的邏輯科學，但它只研究1元關系，不研究多元關系和真正普遍有效的關系推理，因此，傳統(tǒng)形式邏輯頂多只能算n分之1的邏輯。數(shù)理邏輯雖然把1元或多元關系作為自己的研究對象之一，但它沒有從內涵的角度去區(qū)分關于同一外延的k個盡管相當然而并不相同的n元關系，從量上說至少是“掛1漏k－1”的，即只從外延的角度研究一種關系而漏掉(k－1)種關系，因此，純外延的數(shù)理邏輯頂多只能算k分之1的邏輯。當代形式邏輯從研究論域上的n目組和n目組集入手，亦即通過確定論域上的個體的所有不同序列，對論域上n個個體(n≥1)之間的所有關系進行了邏輯科學應有的全方位研究。

當代形式邏輯;傳統(tǒng)形式邏輯;數(shù)理邏輯;n目組;n目組集;n元關系

古希臘亞里士多德2300多年前開創(chuàng)的傳統(tǒng)形式邏輯的推理能出新知、論證不許循環(huán)、深深植根于同自然語言緊密聯(lián)系的人的普通邏輯思維實際等思想，迄今久盛不衰。但是，傳統(tǒng)形式邏輯演算技巧陳舊簡陋，因而發(fā)展緩慢。數(shù)理邏輯雖然系統(tǒng)地采用清晰的符號語言，演算技巧精密嚴格，但它把非函數(shù)的以充分條件為核心的真正的邏輯關系處理成同語反復的真值函數(shù)和個體－真值函數(shù)關系，完全背離了傳統(tǒng)形式邏輯深刻正確的主導思想，徹底離開了邏輯科學的發(fā)展軌道，成為一門離散的基礎數(shù)學(又稱“真值數(shù)學”或“二值數(shù)學”)。我們的研究立足于辯證唯物論，充分肯定先賢韓非自發(fā)的客體邏輯傾向，以自覺的邏輯客體說為主導思想，堅持傳統(tǒng)形式邏輯真正的邏輯科學方向，繼承其久盛不衰的理論成果，盡力廓清籠罩在它身上朦朧的歷史迷霧，在不背離其主導思想從而不會發(fā)展成為數(shù)學的一部分的先決條件下，借鑒現(xiàn)代數(shù)學精確的演算方法，探討具有當代科學水準的客體說當代形式邏輯。當代形式邏輯就是應用按照指謂同一準則同自然語言相互翻譯的符號語言的機械的排列和變形方式去探討以客觀世界事件之間的客觀的充分條件關系為核心的邏輯結構和邏輯規(guī)律，從而向人們提供認識和改造客觀世界的普遍有效的從已有知識獲取新知識的工具。

當代形式邏輯對客觀世界n元關系的研究，其視野是傳統(tǒng)形式邏輯和數(shù)理邏輯無法相比的。當代形式邏輯從討論論域上的n目組和n目組集入手，亦即通過確定論域上的個體的所有不同序列，對論域上n個個體(n≥1)之間的所有關系進行了邏輯科學應有的全面分析。因此，為了討論清楚n元關系，我們得先討論n目組和n目組集。

一、n目組和n目組集

(一)論域上的n目組

討論所涉及的不空的個體的領域稱為論域，以U加撇或下標表示。譬如，數(shù)學研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式，而生物學則以生物為探討的對象領域。對于所進行的討論來說，論域是最廣泛的集，討論只在這個范圍內進行。關于對象的討論不僅需要有作為分析的起點的對它進行分解的個體，而且還需要有作為概括的終點的始終不可逾越的論域。

若e1、e2、…、ei、…、en是論域U中的n(n為非負整數(shù))個未必互異的個體，則由之組成的具有一定順序的排列(簡稱序列)稱為U上的一個有序n目組，簡稱為n目組。論域U上的n目組可表示為:

左右括弧表示n目組的起止范圍，括號中的e1、e2、…、ei、…、en表示組成該n目組的U中的n個未必互異的個體序列。

“屈原是偉大的詩人”這句話指謂的事實涉及到的個體域是“人”，故，其論域是“人”，而(屈原)便是“人”這個論域上的一個1目組?！霸侥先肭旨砥艺边@句話指謂的事實涉及到的個體域是“國家”，其論域是“國家”，而(越南，柬埔寨)便是“國家”這個論域上的一個2目組?！暗厍騼揉徑鹦峭忄徎鹦恰边@句話指謂的事實涉及到的個體域是“太陽系”，其論域是“太陽系”，而(地球，金星，火星)便是“太陽系”這個論域上的一個3目組?？梢姡斢懻摽陀^上存在著某一個事實時，就可以確定這個事實所涉及到的不空的領域，即論域，同時也可以確定這個確實有的論域上的n目組。

在序列的n個位置中，任意兩個不同位置上出現(xiàn)的個體未必互異，其意思是說，在n目組中，任意兩個個體ei和ej可以不同，但也可以相同。

論域U上的全部n目組，是這個論域內的個體的全部可能的不同序列。鑒于在序列的n個位置中的任意兩個不同位置上出現(xiàn)的個體未必互異，因而，在序列中出現(xiàn)的互異的個體數(shù)可以小于n，當然可以等于n，但是不會大于n;序列中不同的位置有且僅有n個。正由于此，我們稱含有n個不同位置的序列為“n目組”，而不稱“n元組”。比如，任意一首7言律詩，除去題跋，共有56個漢字，這首7言律詩就是論域“漢文字”上的一個56目組，而其中互不相同的漢字就是這56目組的互不相同的個體，這些互不相同的個體不會多于56個，可以等于56個，可以少于56個(如果這首7言律詩中有重復的漢字)，但這56目組的目有且僅有56個。

(二)n目組的性質

與論域上的n元子集不同，論域U上的n目組的性質主要有:

1.個體排列的有序性

n目組中個體的排列是有次序的，換一下順序就會改變原n目組的性質，成為新的n目組;而n元子集與構成該集的n個元的排列順序無關(n元子集的元具有無序性)，改變元的排列順序仍然是同一個n元子集。例如，(2，1，3)和(1，2，3)是論域“自然數(shù)”上兩個不同的3目組，前者滿足關系“…介于…和…之間”，后者卻不滿足;而{2，1，3}和{1，2，3}是論域“自然數(shù)”上同一個3元子集，因為它們的元相同，無需排列順序。又如，(地球，太陽)和(太陽，地球)是太陽系的兩個不同的2目組，前者滿足關系“…繞…轉”，不滿足關系“…比…大”，但后者滿足“…比…大”，而不滿足“…繞…轉”。然而，{地球，太陽}和{太陽，地球}則是太陽系的同一個2元子集，因為它們的元相同，也無需排列順序。

2.個體可重復性

在n元子集中，任一屬于該集的元只能在這個集中出現(xiàn)一次，這就是集中之元的單一性。然而，對于同一個n目組來講，n個位置中出現(xiàn)的個體未必不同，或者說，n目組中可以有重復出現(xiàn)的個體。例如，(3，3)和(3)不同，前者是論域“自然數(shù)”上的一個2目組，滿足2元關系“…與…相等”，后者則是論域上的一個1目組，滿足1元關系“…是奇數(shù)”;{3，3}和{3}是論域“自然數(shù)”上的同一個子集，只是{3，3}表述不規(guī)范。(雷鋒，螺絲釘)和(雷鋒，雷鋒，螺絲釘)不同，一個是2目組，一個是3目組，前者滿足2元關系“…像…”，后者滿足3元關系“…把…比作…”;{雷鋒，螺絲釘}和{雷鋒，雷鋒，螺絲釘}是同一個集，只是{雷鋒，雷鋒，螺絲釘}表述不規(guī)范。

3.當論域的基數(shù)為m時，U上的n目組的數(shù)目可以大于m，而n元子集的元的個數(shù)不可能大于m

以“英文字母”為論域，由于互不相同的英文字母共有26個，故這個論域的基數(shù)是26。一首出現(xiàn)200個字母的英文詩就是這個26元論域U上的一個200目組，它的目數(shù)遠遠大于U的基數(shù)，而該26元論域的n元子集的元的個數(shù)絕不會大于26。

(三)n目組的種類

對論域U上的n目組進行分類，可按“目”的有無，先把n目組分為空組和實組，然后再按“目”的數(shù)量分為1目組和多目組，即:

當n目組的n＞0時，該n目組就叫實組。在實組中，當n=1時稱為1目組;當n＞1時稱為多目組。當n=2時，除了稱為2目組外，有時也稱為“序偶”、“序對”或者稱為“有序偶”、“有序對”。

以“太陽系”為論域，(金星)就是這個論域上的一個1目組，(金星，水星)就是這個論域上的一個2目組，(金星，水星，地球)就是這個論域上的一個3目組，這3個n目組中目的個數(shù)大于0，因而都稱為實組。

當n目組中目的個數(shù)等于0，即n=0時，該n目組就叫0目組，又稱為空組。在空組中，其目數(shù)為0，也就是論域中的任何個體不會在其中出現(xiàn)?？战M可用中空的括弧“()”表示。這個中空的括弧表明在其中沒有位置，因而也沒有個體?？战M并不是不滿足任何性質，而是切切實實地滿足“不存在”，而且只有空組才滿足這個性質，因為任何目數(shù)大于0的n目組都必須滿足性質“存在”，不會滿足“不存在”。比如說“美國歷史上的皇帝是女的”，這顯然是以“人”為論域，但在人這個論域中，“美國歷史上的皇帝”是空組，因為美國歷史上根本就沒有皇帝。

(四)m元論域上的n目組的個數(shù)

1.相同的n目組和不同的n目組

同一論域上的兩個n目組(e1，e2，…，ei，…，en)、(e'1，e'2，…，e'i，…，e'n)，若它們的每一對ei和e'i(1≤i≤n)均相同，則這兩個n目組是相同的n目組。若其中至少有一對ei和e'i不相同，則這兩個n目組是不相同的n目組。(北京，天津，上海，蘇州)與(北京，天津，上海，西安)就是“城市”這一論域上兩個不同的4目組，因為它們有一對個體“蘇州”、“西安”不同。

2.m元論域上的n目組的個數(shù)

由于論域U上的全部n目組(n指確定的一個非負整數(shù))是這個論域內的個體的全部可能的不同序列，因此，m元論域上的全部n目組應該是m元論域內的m個個體的全部不同的序列。一般說來，m元論域上的不同的n目組共有mn個。

(五)論域U上的n目組集

由且僅由U上的任意n目組為元組成的集，稱為論域U上的n目組集(n為確定的非負整數(shù))。更通俗地說，論域U上的n目組集就是以論域上所有具有相同目數(shù)的n目組為元組成的集合。以“人”為論域，滿足1元關系“…是歌唱演員”的1目組有:(關牧村)、(李谷一)、(董文華)、(殷秀梅)、(德德瑪)、(陳美玲)、(費翔)等等。以所有這些1目組為元構成的集{…(關牧村)，(李谷一)，(董文華)，(殷秀梅)，(德德瑪)，(陳美玲)，(費翔)，…}，就是論域“人”上的一個1目組集。仍以“人”為論域，滿足2元關系“…早于…”的2目組有(孔子，孟子)，(老子，莊子)，(施惠，公孫龍)，(董仲舒，楊雄)，(王充，王弼)，…。以所有這些2目組為元構成的集{…(孔子，孟子)，(老子，莊子)，(施惠，公孫龍)，(董仲舒，楊雄)，(王充，王弼)，…}就是論域“人”上的一個2目組集。

論域U上的n目組集可用符號Un表示(n為目數(shù))，U0、U1、U2、U3、U4、U5就分別表示U上的 0目組集、1目組集、2目組集、3目組集、4目組集、5目組集。按照n目組集的定義，采用一般元刻劃法，n目組集可表示為:

其中，(x1，x2，…，xi，…，xn)表示論域U上的任一n目組。

由于n目組集是以論域U上的任意n目組為元組成的集，并且m元論域U上不同的n目組共有mn個，因此，m元論域U上n目組集的元的個數(shù)就為mn個?；蛘哒f，當U的基數(shù)為m時，不同的n目組共有mn個，因此，m元論域U上n目組集的基數(shù)就為mn。亦即，m元論域U上的n目組集Un為mn元集。

二、n元關系

一個論域的n目組集確定了這個論域的個體的所有可能的序列。在這個基礎上我們就可以進一步討論論域U上某個個體或n個個體之間的所有可能關系，即n元關系。

(一)n元關系的定義

若集P的任意元均為集Q的元，則稱P為Q的子集，以P?Q(讀做“P含于Q”)表示。若P?Q且QP，則稱P為Q的真子集。

若P?Un(集P為n目組集Un的一個子集)，且p為P的共僅屬性，則稱p為U上的一個n元關系。較通俗地說，U上的一個n元關系p就是U上的n目組集的一個子集P的共僅屬性。

例如，論域U為 4元集{(a)，(b)，(c)，(d)}，集Q1={(a，a)，(b，b)，(c，c)，(d，d)}，Q1是論域U上的2目組集U2的一個子集，用q1表示“…等于…”，q1就是集Q1的共僅屬性，這個共僅屬性q1就稱為U上的一個2元關系。論域U2為{x|x是人}，通俗地說，以人為論域，集P={…，(趙高，胡亥，李斯)，(秦檜，趙構，岳飛)，(魏忠賢，朱由校，周順昌)，…}，是論域U上的3目組集U32的一個子集，其的共僅屬性p是“…通過…殺害…”，這個共僅屬性p就稱為U32上的一個3元關系。而“…侵略…”則是論域“國家”上的一個2元關系，它是U22的下述這個確定的2元子集的共僅屬性:{…，(美國，中國)，(日本，中國)，(德國，蘇聯(lián))，(英國，阿根廷)，…}。

若n元關系的n=1，則這樣的n元關系就稱為1元關系。如，論域U2為{x|x是人}，集R={…，(李斯)，(岳飛)，(周順昌)，(趙高)，(秦檜)，(魏忠賢)，(奧巴馬)，(布什)，(卡特)，…}，R是論域U2上的1目組集U12的一個子集，它的共僅屬性r是“…是人”，這個共僅屬性r就稱為U2上的一個1元關系。又如，集S={…，(魯迅)，(巴金)，(郭沫若)，(但丁)，(歌德)，(高爾基)，(巴爾扎克)，(李白)，(杜甫)，…}，S是論域{x|x是人}上的1目組集U12的一個子集，它的共僅屬性s是“…是文學家”，這個共僅屬性s就稱為論域{x|x是人}上的一個1元關系。

(二)m元論域U上不同的n元關系

1.互相對當?shù)牟煌膎元關系

我們知道，任一集的共僅屬性未必是唯一的。當論域U上的n目組集Un的任一子集P具有一個以上互相對當?shù)墓矁H屬性p1、p2、…、pi、…、pk時，這k個互相對當?shù)墓矁H屬性又稱為論域U上互相對當?shù)牟煌膎元關系。比如，論域U={x|x是人}上的1目組集U1的一個子集P為{(馬克思)，(恩格斯)}，這個子集就有兩個互相對當?shù)墓矁H屬性:p1為“…是科學社會主義的創(chuàng)始人”，p2為“…是《共產黨宣言》的作者”，p1和p2就是論域{x|x是人}上的2個互相對當?shù)?元關系。又如以太陽系為論域，太陽系這個論域上的2目組集的一個子集Q為{(月亮，地球)，(地球，太陽)}，集Q有兩個互相對當?shù)墓矁H屬性:q1是“…繞…轉”，q2為“…比…小”，q1和q2就是論域太陽系上的2個互相對當?shù)?元關系。

2.互不相當?shù)膎元關系

一個n元關系pi也就是論域U上的n目組集Un的冪集P(Un)的一個元(即Un的一個子集)的共僅屬性，而P(Un)的不同的元作為Un的一個子集，具有不同的共僅屬性p1、p2、…、pi、…、pk。這些不同的共僅屬性不僅互不相同，而且互不相當，因此稱為論域U上的互不相當?shù)膎元關系。

當論域U的基數(shù)為m時，論域U上的n目組集Un的基數(shù)為mn，此時，Un的不同的子集共有2mn。以4元論域(即基數(shù)m=4)為例，4元論域上3元關系的個數(shù)就為:

這已經(jīng)是一個非常巨大的天文數(shù)字了。實際上，對于m元論域上2mn個互不相當?shù)膎元關系，人們感興趣的只是其中很小的一部分。

三、n元關系的并、交、補

n元關系可以簡稱關系，當p是P的共僅屬性時，就稱p為P的關系。

(一)并關系

并關系就是兩個集的并集所具有的關系，是原先兩個集的關系的并。設關系p、q、r分別是集P、Q、R的關系，若R是P、Q的并集，則稱關系r是關系p、q的并關系。

以3元集{四川，貴州，西藏}為論域，滿足2元關系“…比…海拔高”的2目組集P是集{(西藏，四川)，(西藏，貴州)，(貴州，四川)};滿足 2元關系“…比…海拔低”的2目組集Q是集{(四川，貴州)，(四川，西藏)，(貴州，西藏)}。集P和集Q的并集R是{(西藏，四川)，(西藏，貴州)，(貴州，四川)，(四川，貴州)，(四川，西藏)，(貴州，西藏)}，并集R中所有的2目組都滿足2元關系“…與…的海拔高度不相等”。因此，2元關系“…與…的海拔高度不相等”是2元關系“…比…海拔高”和2元關系“…比…海拔低”的并關系，即r是p和q的并關系。

(二)交關系

交關系就是兩個集的交集所具有的關系，是原先兩個集的關系的交。設關系p、q、r分別是集P、Q、R的關系，若R是P、Q的交集，則稱關系r是關系p、q的交關系。

以3元集{長江，黃河，珠江}為論域，滿足2元關系“…比…長”的2目組集P是{(長江，黃河)，(長江，珠江)，(黃河，珠江)};滿足2 元關系“…與…不一樣長”的2目組集Q是{(長江，黃河)，(長江，珠江)，(黃河，長江)，(黃河，珠江)，(珠江，長江)，(珠江，黃河)}。集P和集Q相乘所得的交集R是{((長江，黃河)，(長江，珠江)，(黃河，珠江)}，顯然，交集R仍然是集P，所以，集R滿足2元關系“…比…長”。這個關系正是集P的關系“…比…長”和集Q的關系“…與…不一樣長”的交關系，即r是p和q的交關系。

(三)補關系

設關系p、r分別是集P、R的關系，若R是P的補集，則稱關系r是關系p的補關系。以～p表示p的補關系，～p讀作“補p”。

以4 元集{1，2，3，4}為論域，滿足 2 元關系“…等于…”(p)的 2 目組集P是{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}，論域上除此之外的其它 2 目組所組成的2 目組集R是{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，這個 2 目組集R滿足的關系是“…不等于…”(r)。因此，r關系“…不等于…”就是p關系“…等于…”的補關系，反之，p關系“…等于…”就是r關系“…不等于…”的補關系。

顯然，論域上滿足某個關系的n目組和滿足它的補關系的n目組就是該論域上的全部n目組。比如，滿足2元關系“…小于…”的2目組和滿足它的補關系“…不小于…”(2元關系)的2目組就是該論域上的所有2目組，亦即論域上所有2目組都在滿足“…小于…”關系的2目組集和滿足“…不小于…”關系的2目組集的并集之中。

四、n元全關系和n元空關系

(一)n元全關系

論域U上的n目組集Un的所有n目組所滿足的關系，就稱為n元全關系。

以3元集{長江，黃河，珠江}為論域U，這個論域上的一個1目組集是{(長江)，(黃河)，(珠江)}，由于“…是中國的河流”為該1目組集中所有的1目組所滿足，故“…是中國的河流”就是論域U上的1元全關系。而“…是中國最長的河”就不是該論域上的1元全關系，因為只有其中一個真子集所滿足。論域{長江，黃河，珠江}上的一個2目組集是{(長江，長江)(長江，黃河)，(長江，珠江)，(黃河，長江)，(黃河，黃河)，(黃河，珠江)，(珠江，長江)，(珠江，黃河)，(珠江，珠江)}，由于“…和…并存”為該2目組集中所有的2目組所滿足，故“…和…并存”就是論域{長江，黃河，珠江}上的2元全關系。而關系“…比…長”、“…比…短”，以及“…與…不一樣長”就不是該論域上的2元全關系，因為他們都是只為其中的某些真子集所滿足的關系。

對于不同的n，Un是不同的，如U0為U的0目組集，即{()}，U1為U的1目組集，U2為U的2目組集，U3為U的3目組集，……因此，對應于不同的n，n元全關系也是不同的。以“人”為論域，“…是制造和使用生產工具的動物”就是“人”這個論域上的1目組集的1元全關系;“…認識或者不認識…”就是“人”這個論域上的2目組集的2元全關系;“…的歲數(shù)介于或者不介于…的歲數(shù)和…的歲數(shù)之間”就是“人”這個論域上的3目組集的3元全關系;……

由于集P與其補集～P的并集是論域U，所以，關系p以及補關系～p的并關系就是n元全關系。以3元集{1，2，3}為論域，滿足關系“…小于…”的2 目組集是{(1，2)，(1，3)，(2，3)}，滿足其補關系“…不小于…”的補集～P是{(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}，集P與其補集～P的并集R是{(1，1)，(1，2)，(1，3)(2，1)，(2，2)，(2，3)(3，1)，(3，2)，(3，3)}，它所滿足的關系r是“…小于…”和“…不小于…”的并關系，即“…小于或者不小于…”，這一關系是論域{1，2，3}上的一個2元全關系，因為它為論域{1，2，3}上2目組集中的所有2目組所滿足。

我們知道，0目組是空組。在任意的m元論域上只有唯一的一個0目組“()”，因此，0目組集只有唯一的一個元()，并且任何論域上的0目組集都是相同的，即{( )}，故，0目組集既是一個單獨集又是一個全集，但不是一個空集而是其中有一個元即0目組()的1元集{()}。0目組所具有的共僅屬性，就是0元全關系，即是為而且只為0目組具有的屬性，它可以表述為“…在論域上”或者“有…存在”。比如，我們知道某種空想(相當于0目組)確實是存在的，盡管符合空想的事物并不存在，雖然沒有“美人魚”、“龍王爺”、“以太”、“燃素”之類的個體存在，但確實有“空想美人魚”、“空想龍王爺”、“空想以太”、“空想燃素”的存在。這就是0目組滿足的全關系。

(二)n元空關系

空關系就是沒有個體能滿足的關系，是沒有n目組滿足的關系?？贞P系可表述為“不在論域上”或者“不存在”。

空集Φ是無元之集，是任何集的子集，也是n目組集的子集，是沒有n目組的n目組集，因此，任何n目組集都有一個共同的子集，即空集。由于空集一無所有，所以它只滿足空關系“不在論域上”，并且，由于空集Φ是不同的Un的一個共同的子集，因此，對應于不同的n，n元空關系都是相同的，即“不在論域上”。

在集的運算中，由于某個集P與其補集～P的交集是空集，故關系p與其補關系～p的交關系就是空關系。以3元集{1，2，3}為論域，滿足關系“…小于…”的 2 目組集是{(1，2)，(1，3)，(2，3)}，滿足其補關系“…不小于…”的補集～P是{(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}，集P與其補集～P的交集就是空集Φ，這一空集Φ所滿足的關系就為空關系“不在論域上”。

五、2元關系

在n元關系中，2元關系是一種最普遍最常見的關系。對于2元關系本身，有一些需要引起注意和研究的關系和性質，前者如逆關系、連關系，后者如對稱性、傳遞性、自反性。

(一)2元關系的前域、后域和域

1.2 元關系的前域

設P?U2，且，p為P的共僅屬性，則2元關系p的前域D(p)為:由任意的x組成之集，使得對于某個y，(x，y)∈P，亦即:

2元關系是為2目組滿足的關系。在某個2目組中，位置在前的個體稱為關系前項，位置在后的個體稱為關系后項。2目組(穆鐵柱，朱建華)滿足2元關系“…比…個子高”，在這個2目組中，“穆鐵柱”就是2元關系“…比…個子高”的關系前項，“朱建華”是關系后項。

2元關系的前域就是由論域中滿足2元關系的2目組中的關系前項的個體為元所組成的集。以4 元集{1，2，3，4}為論域，滿足 2 元關系“…大于…”的2 目組有 6 個，即(2，1)、(3，1)、(3，2)、(4，1)、(4，2)、(4，3)，其中滿足 2 元關系“…大于…”的關系前項分別是2，3，4，因此，由它們所組成的集{2，3，4}就是論域{1，2，3，4}上的滿足 2 元關系“…大于…”的前域D(p)。以集{上海，北京，天津，蘇州}為論域，滿足2元關系“…比…人口多”的2目組有6個，即(上海，北京)、(上海，天津)、(上海，蘇州)、(北京，天津)、(北京，蘇州)、(天津，蘇州)，其中滿足2元關系“…比…人口多”的關系前項分別是上海，北京，天津，因此，由它們所組成的集{上海，北京，天津}就是論域{上海，北京，天津，蘇州}上的滿足2元關系“…比…人口多”的前域D(p)。

2.2 元關系的后域

設P?U2，且p為P的共僅屬性，則2元關系p的后域C(p)為:由任意的y組成之集，使得對于某個x，(x，y)∈P，亦即:

2元關系的后域就是由論域中滿足2元關系的2目組中的關系后項的個體為元所組成的集。前述以4元集{1，2，3，4}為論域，滿足2元關系“…大于…”的后域C(p)就是{1，2，3};以集{上海，北京，天津，蘇州}為論域，滿足2元關系“…比…人口多”的后域C(p)就是{北京，天津，蘇州}。

3.2 元關系的域

2元關系的域F(p)就是由滿足某種2元關系的個體為元組成的集。其中，滿足2元關系的個體包括關系的前項的個體和后項的個體，因此，2元關系的域F(p)就是其前域和后域的并集。用符號表示為:

以4元集{1，2，3，4}為論域，滿足 2 元關系“…大于…”的前域D(p)是{2，3，4}，后域C(p)是{1，2，3}，故，這個論域上的 2元關系的域F(p)為:

以4元集{上海，北京，天津，蘇州}為論域，滿足2元關系“…比…人口多”的前域D(p)是{上海，北京，天津}，后域C(p)是{北京，天津，蘇州}，故，這個論域上的2元關系的域F(p)為:

F(p)={上海，北京，天津}∪{北京，天津，蘇州}={上海，北京，天津，蘇州}

“…是…的父親”是以“人”為論域的2元關系，其前域是所有滿足這個關系的前項的人的集合，如曹操(曹植之父)、蘇洵(蘇軾之父)、周樹人(周海嬰之父)、金正日(金正恩之父)等等，都是2元關系“…是…的父親”的前域之元，即D(p)={x|x是有子女的男人}。而這個關系的后域是一切人，即C(p)={y|y是人}，因為任何人都有父親。因此，這一關系的域是F(p)={x|x是有子女的男人}∪{y|y是人}={z|z是人}，即一切人。

(二)逆關系、連關系與對稱性、傳遞性、自反性

1.逆關系與對稱性

(1)2元關系的逆關系

設有兩個集P、P'?U2，且，p、p'分別為集P、P'的共僅屬性，p'為p的逆關系，當且僅當，(x，y)∈P，則(y，x)∈P'。這就是說，如果關系p的后域是另一關系p'的前域，并且關系p的前域是關系p'的后域，那么這兩個關系間就具有逆關系。

以“人”為論域，關系p“…殺害…”的前域D(p)={x|x是殺害別人的人}，其后域C(p)={y|y是被殺害的人};關系p'“…被…殺害”的前域D(p')={x|x是被殺害的人}，其后域C(p')={y|y是殺害別人的人}。由于關系p的前域是關系p'的后域，并且，關系p的后域是關系p'的前域，因此，關系“…殺害…”的逆關系是“…被…殺害”，反之亦然，二者互為逆關系。

以“國家”為論域，關系“…侵略…”與“…被…侵略”互為逆關系。以“自然數(shù)”為論域，關系“…大于…”與“…小于…”互為逆關系。

(2)2元關系的對稱性

若關系p的逆關系也是關系p，即，如果(x，y)∈P則(y，x)∈P，那么稱關系p具有對稱性。關系p具有對稱性是2元關系中關系p與其逆關系正好相同時的特殊情況。

以“國家”為論域，關系“…與…相鄰”的逆關系仍然是“…與…相鄰”，因此稱關系“…與…相鄰”是具有對稱性的2元關系。即，若x與y相鄰，則必有y與x也相鄰。

以“人”為論域，關系“…和…是同學”的逆關系仍然是“…和…是同學”，因此稱關系“…和…是同學”是具有對稱性的2元關系。即，若x與y是同學，則必有y與x也是同學。

2.連關系與傳遞性

(1)2元關系的連關系

設有3 個集P、Q、R?U2，且，p、q、r分別為P、Q、R的共僅屬性，r是p、q的連關系，當且僅當，(x，y)∈P，且(y，z)∈Q，則(x，z)∈R。這就是說，對于任意的兩個關系p、q，當p的后項就是q的前項時，就必然存在連關系r，r以p的前項為其前項，以q的后項為其后項。

以“人”為論域，關系“…是…的哥哥”為關系p，以“…是…的父親”為關系q，當p的后項與q的前項完全相同時，關系p與關系q就有連關系r，r就是“…是…的伯父”。亦即，若x是y的哥哥，并且y是z的父親，則x一定是z的伯父。論域為“人”，關系p為“…是…的鄰居”，關系q為“…是…的同學”，當p的后項與q的前項完全相同時，關系p與關系q就有連關系r，r就是“…是…同學的鄰居”。亦即，若x是y的鄰居，并且y是z的同學，則x一定是z的同學的鄰居。

對于任意兩個2元關系，只要當關系p的后項與q的前項完全相同時，那么關系p的前項與關系q的后項就必定滿足一種關系，這種關系就是關系p與關系q的連關系r，盡管這種關系有時不容易用一個短語說清楚，但它一定是存在的。

(2)2元關系的傳遞性

若p是p、p的連關系，即，如果(x，y)∈P且(y，z)∈P則(x，z)∈P，那么就稱p具有傳遞性。具有傳遞性的2元關系是與連關系有關的p、q、r均為p時的特殊情況。

以“自然數(shù)”為論域，“…大于…”為關系p1，顯然，關系p1與關系p1的連關系仍然是p1。因此，稱“…大于…”是具有傳遞性的2元關系:若x＞y，且y＞z，則x＞z。

以“人”為論域，“…是…的哥哥”為關系p2，顯然，關系p2與關系p2的連關系仍然是p2。因此，關系“…是…的哥哥”具有傳遞性:若x是y的哥哥，且y是z的哥哥，則x一定是z的哥哥。

3.2 元關系的自反性

設集P?U2，p為P的共僅屬性，若對于任意的x，必有(x，x)∈P，則稱關系p具有自反性。

以某集的“n元子集之集”為論域，關系“…包含…”就具有自反性，即，任一集x包含x自身。以“人”為論域，關系“…認識…”具有自反性。張三自己認識自己，王五自己認識自己。以“自然數(shù)”為論域，關系“…等于…”具有自反性;以“幾何圖形”為論域，關系“…相似于…”也具有自反性。

一個關系具有自反性，是指任一個體與其自身必定滿足該關系。因此，在一個2元關系中，只要同一個體必定在其前域和后域中同時出現(xiàn)，則這一2元關系一定具有自反性。

六、對傳統(tǒng)形式邏輯和數(shù)理邏輯的相關討論

(一)對傳統(tǒng)形式邏輯的討論

通常，習慣于把1(n=1)元關系稱為“性質”，2元或2元以上的多(n＞1)元關系才稱為“關系”。其實，性質和關系只不過是同一事物的兩個不同的側面:“關系”是多(n＞1)目組的性質，也是一種性質;而“性質”則是1(n=1)目組的關系(即1元關系)，也是一種關系。迄今，流行的傳統(tǒng)形式邏輯讀本給概念內涵下的定義是:“概念的內涵就是指反映在概念中的對象的本質屬性?！保?］有些書不叫“本質屬性”，而叫“特有屬性”，有些書則叫“固有屬性”。無論流行的傳統(tǒng)形式邏輯讀本用什么屬性定義概念的內涵，傳統(tǒng)形式邏輯所研究的“概念的內涵”就是相當于我們這里講的1元關系p。流行的傳統(tǒng)形式邏輯讀本給概念外延下的定義是:“概念的外延，就是指具有概念所反映的本質屬性的對象?！保?］顯然，傳統(tǒng)形式邏輯研究的“概念的外延”就相當于我們這里講的與1元關系p相對應的U1的確定的子集P。關于作為傳統(tǒng)形式邏輯研究的命題系列的出發(fā)點的性質命題(或稱直言命題、簡單命題)，流行的傳統(tǒng)形式邏輯讀本的定義是:“性質命題，就是斷定思維對象性質的簡單命題?！保?］傳統(tǒng)形式邏輯研究的性質命題就是基于1元關系命題的復合命題，譬如，為傳統(tǒng)形式邏輯所研究的全稱肯定命題“所有在座的都是中國人”(其符號表達式為:所有S都是P)，實際就是當代形式邏輯所研究的外延合取命題:“在座的第一個人是中國人，并且，在座的第二個人是中國人，并且，…，并且，在座的第i個人是中國人，并且，…，并且，在座的最后一個人是中國人”(當代形式邏輯的符號表達式為:p(e1)∧p(e2)∧…∧p(ei)∧…∧p(em)。這是m個傳統(tǒng)形式邏輯所研究的單稱命題(性質命題的一種)構成的合取命題)。又如，為傳統(tǒng)形式邏輯研究的特稱肯定命題“有些在座的是中國人”(其符號表達式為:有些S是P)，實際就是當代形式邏輯所研究的外延析取命題:“在座的第一個人是中國人，或者，在座的第二個人是中國人，或者，…，或者，在座的第i個人是中國人，或者，…，或者，在座的最后一個人是中國人”(當代形式邏輯的符號表達式為:p(e1)∨p(e2)∨…∨p(ei)∨…∨p(em)。這是m個傳統(tǒng)形式邏輯所研究的單稱命題構成的析取命題)。傳統(tǒng)形式邏輯從誕生之日起，從來就不研究多元關系概念。雖然在一些后來出版的傳統(tǒng)形式邏輯讀本中增添了關于關系命題的內容，可是，仍然不研究多元關系和真正的普遍有效的關系推理，譬如，流行的傳統(tǒng)形式邏輯讀本介紹的對稱性關系推理是:

或者表達為:

反對稱性關系推理是:

或者表達為:

專業(yè)人士一眼就能看出，上述2式不是有效式，故而，不是推理式。

傳統(tǒng)形式邏輯讀本新增的關系命題，前無淵源后無歸宿。因此，盡管從主導思想上說，傳統(tǒng)形式邏輯是真正的名副其實的邏輯科學，其研究成果是久盛不衰的，然而從研究范圍來看至少是“掛1漏n－1”的，即研究1元關系而漏掉(n－1)種關系，因此，傳統(tǒng)形式邏輯至多只能算n分之一的邏輯。

(二)對數(shù)理邏輯的討論

以研究內涵為主同時也研究外延的當代形式邏輯與只研究外延的數(shù)理邏輯不同。n元關系指的不是Un的一個子集P，而是它的共僅屬性p。對應于Un的同一個子集P，客觀世界有k個盡管互相對當然而卻依舊兩兩不同的n元關系p1、p2、…、pi、…、pk。純外延的數(shù)理邏輯(其實并非邏輯，而是被稱為“邏輯”的離散數(shù)學)卻不從內涵的角度來區(qū)分這k個互不相同的n元關系，從量上說至少是“掛1漏k－1”的，即只從外延的角度研究一種關系而漏掉(k－1)種關系，數(shù)理邏輯頂多只能算k分之1的邏輯。也正是由于它不從內涵的角度研究k個互不相同的n元關系，因此，我們稱其為“純外延的”數(shù)理邏輯［4－6］。

注:本文作者通訊地址為貴陽市花溪區(qū)貴州大學(北區(qū))，歡迎廣大讀者來函交流。

［1］李小克.普通邏輯學教程［M］.北京:首都經(jīng)濟貿易大學出版社，2002:13.

［2］李廉.普通邏輯基礎［M］.南京:南京大學出版社，1985:44.

［3］楚明錕.邏輯學:正確思維與言語交際的基本工具［M］.開封:河南大學出版社，2000:61.

［4］龔啟榮.客觀世界的集——兼對悖論之王“羅素悖論”的剖析［J］.重慶理工大學學報:社會科學，2011(9).

［5］龔啟榮.當代形式邏輯及其在人工智能中的應用理論研究［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2011.

［6］龔啟榮.邏輯斯諦——又稱“數(shù)理邏輯”的二值數(shù)學［M］.貴陽:貴州教育出版社，1998.

N-ary Relations of Objective World——Also a Discussion on Traditional Formal Logic and Mathematical Logic Being at Most 1/x of Logic

GONG Qi-rong
(Guizhou University，Guiyang 550025，China)

The prospect of the study onn-ary relations of objective world by contemporary formal logic is incomparable that traditional formal logic and mathematical logic can do.To view the dominant ideas，traditional formal logic is a veritable science of logic，which just studies on 1-ary relations，but not on multivariate relations and generally effective relation inference.Therefore，traditional formal logic is at most onen-th of logic.From connotation angle，mathematical logic doesn’t distinguish the equivalent but differentk n-ary relations of denotation，though 1-ary or multivariate relations is one of the study objects of mathematical logic.It is at least having 1 but losingk-1，that’s to say，mathematical logic just studies one relationship from denotation angle but losesk-1 relationship.Therefore，mathematical logic of pure denotation is at most onek-th logic.Contemporary formal logic begins to study withn-item andn-item set of universe of discourse，i.e.it does thorough study，including every field of science of logic，on all the relations among n individuals(n≥1)by confirming the different sequences of individuals in universe of discourse.

contemporary formal logic;traditional formal logic;mathematical logic;n-item;n-item set;n-ary relation

B81

A

1674－8425(2012)04－0016－09

2012－01－11

教育部人文社會科學研究項目“當代形式邏輯及其在人工智能中的應用理論研究”(07JA720006)成果。

龔啟榮(1942—)，男，江西景德鎮(zhèn)人，教授，研究方向:邏輯學、離散數(shù)學、人工智能學。

(責任編輯 魏艷君)