李鏡培，唐 耀，張 飛

（1.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系 上海 200092）

基坑的抗隆起穩(wěn)定性驗(yàn)算是基坑工程設(shè)計(jì)中一項(xiàng)十分關(guān)鍵的分析計(jì)算內(nèi)容.對(duì)于基坑抗隆起穩(wěn)定性計(jì)算，目前常用的方法是極限平衡法.這種驗(yàn)算方法大致分為兩類：一類是基于地基承載力概念的方法，如太沙基［1］（Terzaghi）公式、普朗特爾［2］（Prandtl）公式和 Caguot［2］方法等；另一類是圓弧滑動(dòng)法［2］，假定某一圓弧作為滑裂面，通過計(jì)算滑裂面上的抗滑力矩和滑動(dòng)力矩的比值得到安全系數(shù).近年來一些學(xué)者［3－7］將基于傳統(tǒng)塑性力學(xué)上下限定理的極限分析方法應(yīng)用于基坑抗隆起穩(wěn)定性的驗(yàn)算，取得了較為理想的計(jì)算結(jié)果.

上海等沿海地區(qū)的土層中，在一定深度內(nèi)存在著致密的不透水層，其下有透水性很強(qiáng)的粉土，粉土中的水頭壓力往往較高，表現(xiàn)出一定的承壓性質(zhì)［8］.近年來隨著基坑開挖深度的不斷加大，承壓水層對(duì)于基坑抗隆起穩(wěn)定性的影響日益突出.目前對(duì)于基坑抗隆起穩(wěn)定性的研究?jī)H僅考慮了潛水層滲流的影響［3，9］，而承壓水對(duì)于深基坑抗隆起穩(wěn)定性影響的研究較為少見.承壓水問題對(duì)于基坑抗隆起穩(wěn)定性驗(yàn)算有著不可忽視的影響，如劉國彬和王洪新［10］曾報(bào)道了某地鐵基坑由于受上海⑤層承壓水影響，出現(xiàn)了地下連續(xù)墻明顯“踢腳”，坑內(nèi)立柱上浮，房屋裂縫等險(xiǎn)情.本文利用極限分析上限理論，考慮承壓水對(duì)坑底土層的驅(qū)動(dòng)機(jī)制的影響，對(duì)基坑抗隆起穩(wěn)定性驗(yàn)算方法進(jìn)行了進(jìn)一步的探討.

1 考慮承壓水層影響的上限定理

1.1 極限分析的上限定理

極限分析的上限定理是建立在Drucker公設(shè)和虛功原理之上的，表述的方法有很多種，其中一種表述為：某機(jī)構(gòu)在假定的運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)下，外力功功率不大于內(nèi)能耗散率［11］，即

當(dāng)有外力作用在機(jī)構(gòu)上時(shí)，將在該機(jī)構(gòu)上產(chǎn)生附加應(yīng)力場(chǎng).附加應(yīng)力場(chǎng)所做的外力功功率可以表示為［12］

本文同時(shí)考慮土體的粘聚力c和內(nèi)摩擦角φ［13］，即將土體看作一種Coulomb材料，這樣間斷速度與速度間斷面s的方向始終成夾角φ.Coulomb材料單位體積附加應(yīng)力做功功率P可以表示為

根據(jù)相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，有

因此對(duì)于Coulomb材料附加應(yīng)力做功功率為

由上述推導(dǎo)不難看出，求出承壓水頭壓力引起的附加應(yīng)力做功功率的關(guān)鍵是求出承壓水頭壓力所引起的附加應(yīng)力的分布.

1.2 水頭壓力在不透水層中產(chǎn)生的附加應(yīng)力

當(dāng)坑底土的滲透系數(shù)很小，坑底土為弱透水層或者不透水層時(shí)，坑底土將以“板”的形式承受承壓水產(chǎn)生的水頭壓力［14］.此時(shí)，可以將坑底隔水土層作為隔離體進(jìn)行受力分析［15］，推導(dǎo)水頭壓力作用下的土層應(yīng)力分布.計(jì)算假設(shè)基坑底部隔水土層為四邊固支的板，將其所承受的承壓水頭壓力作為均布荷載，當(dāng)基坑長(zhǎng)寬比大于2時(shí)，隔水土層作為單向板處理，否則作為雙向板處理.坑底土層的受力如圖1所示.

無論將隔水土層作為單向板還是雙向板處理，均可以取單位寬度的板帶進(jìn)行計(jì)算，即當(dāng)作土梁進(jìn)行內(nèi)力分析.當(dāng)基坑寬度與不透水層厚度的比值（跨高比）達(dá)不到作為普通梁的要求時(shí)，將土梁看作“深梁”［16］來處理，采用彈性力學(xué)兩端固定的梁的應(yīng)力解來計(jì)算.在圖1所示的坐標(biāo)系下，應(yīng)用彈性理論得到土梁的內(nèi)力分布為

式中：p為承壓水頭壓力簡(jiǎn)化的均布荷載，且p＝γwhw，γw為水的重度，hw為承壓水頭高度；l為土梁的計(jì)算寬度，即基坑開挖的寬度；h為土梁的計(jì)算梁高，即基坑不透水層的厚度；ν為土體材料的泊松比.

圖1 坑底隔水土層內(nèi)力計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Calculating sketch of base plate of foundation pit

土梁內(nèi)應(yīng)力分量為

式中：I為截面慣性矩，I＝bh3／12；S＊為截面靜矩，S＊＝［h2／4－（z－h(huán)／2）2］／2；b為土梁的計(jì)算寬度，在此取單位寬度.

將坑底隔水土層內(nèi)的應(yīng)力分布計(jì)算結(jié)果作為外力帶入到極限分析的上限定理公式中，計(jì)入承壓水頭壓力對(duì)基坑穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的外力做功，即考慮坑底承壓含水層的水壓力對(duì)基坑隆起的影響.選取適當(dāng)?shù)钠茐哪Ｊ?，研究極限分析上限定理機(jī)構(gòu)的能量耗散和各部分外力做功等作用.

2 破壞模式的選取

Chen［11］認(rèn)為上限分析選取的破壞模式越接近實(shí)際破壞情況，計(jì)算結(jié)果就越精確；Chang［4］和Faheem等［17］均指出基坑隆起的Prandtl破壞模式比較接近軟土深基坑開挖時(shí)土體實(shí)際的破壞模式.另外，F(xiàn)aheem 等［17］和 Goh［18］通過有限元方法得到擋墻與土體之間的摩擦對(duì)基坑抗隆起穩(wěn)定性分析幾乎沒有影響.鄒廣電［3］認(rèn)為基坑隆起問題的根本機(jī)理是當(dāng)?shù)鼗梁偷孛婧奢d在基坑基底所產(chǎn)生的垂直荷載超越了基底以下的土體所能承受的極限荷載時(shí)，坑底以下土體會(huì)沿著某一滑裂面向開挖側(cè)滑移，從而導(dǎo)致基坑坑底發(fā)生隆起，因此本文將開挖面上JG范圍內(nèi)（見圖2）的土體作用力簡(jiǎn)化成均布荷載.本文采用Prandtl滑動(dòng)模式，構(gòu)成如圖2所示的朗肯主動(dòng)區(qū)Ⅰ、過渡區(qū)Ⅱ和朗肯被動(dòng)區(qū)Ⅲ所形成的滑裂土體，滑裂面尺寸由圍護(hù)墻插入深度D決定.對(duì)定理的計(jì)算推導(dǎo)作如下計(jì)算假設(shè)：① 土體將繞墻體底面發(fā)生滑動(dòng)；② 忽略墻體與土體之間的摩擦作用；③將開挖面以上的土體作用力簡(jiǎn)化為均布荷載作用；④ 忽略JG范圍以外的土體及地表超載的作用.

圖2所示的破壞模式中，過渡區(qū)滑裂面曲線為對(duì)數(shù)螺線，其曲線方程為r＝r0eθtanφ，AB，BK 以及KE分別為各區(qū)的滑裂面，整個(gè)破壞機(jī)構(gòu)的尺寸已在圖中標(biāo)出，其中，r0＝De－（45°＋φ／2）tanφ，D 為支護(hù)結(jié)構(gòu)入土深度，h為不透水層厚度，H 為基坑開挖深度，L＝2r0cos（45°－φ／2）.選取一種協(xié)調(diào)的速度場(chǎng)，土體KEF的速度為V0，且與滑裂面KE成夾角φ；土體BKF其速度沿滑裂面BK呈指數(shù)分布，任意轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ處的速度為V＝V0eθtanφ；土體ABF的速度為V1＝V0e（πtanφ）／2，且與滑裂面成夾角φ；q為地面超載.

圖2 破壞模式計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.2 Calculating sketch of failure model

3 安全系數(shù)的計(jì)算

為計(jì)算基坑抗隆起穩(wěn)定性的安全系數(shù)，需要分別計(jì)算出外功率和內(nèi)能耗散率，通過外功率和內(nèi)能耗散率相等的平衡方程，求出基坑的臨界開挖深度，臨界開挖深度與實(shí)際開挖深度的比值即為基坑的安全系數(shù).

3.1 外力做功功率

外力做功功率包括重力、基坑開挖基準(zhǔn)面以上土體作用力簡(jiǎn)化形成的均布荷載、地表超載以及承壓水頭壓力引起的附加應(yīng)力做功功率.

（1）重力做功功率計(jì)算土體KEF

式中：γ為土體重度.

土體ABF

指數(shù)螺線區(qū)BKF

（2）承壓水頭引起的附加應(yīng)力做功功率

附加應(yīng)力做功功率的計(jì)算首先需要求出由承壓水頭所引起的附加應(yīng)力在速度間斷面上的正應(yīng)力和切向應(yīng)力分布.附加應(yīng)力在土梁內(nèi)的分布已經(jīng)由公式（8）得到，只需將其進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)角變換即可.

直線AB上的應(yīng)力分量

式中：α＝π／4＋φ／2.

指數(shù)螺線BC上的應(yīng)力分量

區(qū)域BCF的徑向應(yīng)力分量

式中：δ＝θ－π／4＋φ／2

通過上述應(yīng)力分量計(jì)算，可以進(jìn)一步得到附加應(yīng)力在速度間斷面上的做功功率.

直線AB上的應(yīng)力分量做功功率

弧線BC上的應(yīng)力分量做功功率

區(qū)域BCF的徑向應(yīng)力做功功率

（3）地表超載和土體等效外荷載做功功率

3.2 內(nèi)能耗散率

內(nèi)能耗散率只是存在速度間斷面上，即

3.3 安全系數(shù)計(jì)算

首先計(jì)算基坑的臨界開挖深度，由內(nèi)能耗散率與外力做功功率相等，即

得到臨界開挖深度為

根據(jù)前述的安全系數(shù)定義，計(jì)算達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)的基坑開挖深度與實(shí)際開挖深度的比值，從而得到基坑抗隆起穩(wěn)定性的安全系數(shù)

4 參數(shù)對(duì)于抗隆起穩(wěn)定性影響分析

采用本文計(jì)算方法能夠考慮坑底承壓水層對(duì)基坑抗隆起穩(wěn)定性的影響.以下主要分析承壓水頭大小、不透水層厚度以及擋土墻插入深度對(duì)于基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)的影響.為了便于分析，假定基坑開挖土體的參數(shù)為c＝10kPa，φ＝20°，γ＝18kN·m－3.開挖深度 H＝10m，不透水層厚度h＝10m，基坑寬度l＝20m.

4.1 承壓水頭大小對(duì)于安全系數(shù)的影響

為了分析承壓水頭大小對(duì)于安全系數(shù)的影響，先定義量綱一參數(shù)λ＝hw／H，用來衡量承壓水頭大小的影響.

圖3為不同承壓水頭下基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)的變化規(guī)律.由圖3可以看出，隨著承壓水頭的增大，基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)逐漸減??；承壓水頭每增加10m，安全系數(shù)減小約15%～20%，說明考慮承壓水的影響是非常必要的.另外，在不同擋土墻插入深度下，安全系數(shù)隨水頭大小的變化近乎平行，這說明擋土墻插入深度對(duì)于安全系數(shù)隨承壓水頭的總體變化規(guī)律不產(chǎn)生影響.

圖3 承壓水頭對(duì)安全系數(shù)的影響Fig.3 Effect of confined water on factor of safety

4.2 不透水層厚度對(duì)于安全系數(shù)的影響

為了分析不透水層厚度對(duì)于安全系數(shù)的影響，先定義量綱一參數(shù)η＝h／H，用來表征不透水層厚度與基坑開挖深度的比值.圖4表示不透水層厚度對(duì)于基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)的影響.

圖4 不透水層厚度對(duì)安全系數(shù)的影響Fig.4 Effect of thickness of water resisting layer on factor of safety

由圖4可以看到隨著不透水層厚度的增加，安全系數(shù)逐漸增加；在不同承壓水頭下，安全系數(shù)隨著不透水層厚度的變化都以水頭壓力為零的直線為漸近線.這也說明了不透水層在達(dá)到一定厚度（基坑開挖深度2～3倍以上）以后，可以忽略承壓水頭的影響.

4.3 擋土墻插入深度對(duì)于安全系數(shù)的影響

為了研究擋土墻插入深度對(duì)于安全系數(shù)的影響，定義量綱一參數(shù)擋土墻插入深度比ξ＝D／H，用來衡量擋土墻入土深度的影響.圖5表示基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)隨擋土墻入土深度的變化規(guī)律.

圖5 擋土墻插入深度比對(duì)安全系數(shù)的影響Fig.5 Effect of ratio of immersion depth on factor of safety

從圖中可以看出，安全系數(shù)隨著擋土墻入土深度的增加而增加；在相同的插入深度比之下，承壓水頭對(duì)于基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)有著不可忽視的影響.

5 算例驗(yàn)證

5.1 算例一

文獻(xiàn)［8］中記錄了上海某基坑的設(shè)計(jì)施工及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，該基坑開挖深度為12.65m，擋土墻的入土深度為13.35m，坑底不透水層厚度為16.4m，其下為上海第一承壓水層，承壓水頭高度為24m.土性指標(biāo)取加權(quán)平均值為c＝17.8kPa，φ＝19.11°，γ＝18.0kN·m－3.采用Prandtl和Terzaghi公式計(jì)算的基坑抗隆起安全系分別為1.86，2.08.采用本文考慮承壓水的計(jì)算方法得到安全系數(shù)為1.34，與文獻(xiàn)［18］中的結(jié)論保持一致.

本算法與傳統(tǒng)算法所得到的安全系數(shù)相比在一定程度上有所降低，這是由于本文的計(jì)算方法考慮了承壓水層對(duì)于基坑抗隆起穩(wěn)定性的不利影響，本文的計(jì)算結(jié)果對(duì)于工程實(shí)際有著一定的參考價(jià)值.

5.2 算例二

文獻(xiàn)［10］中記錄了上海某地鐵車站基坑在施工過程中出現(xiàn)基坑臨界失穩(wěn)的事故.該基坑寬度為20m，長(zhǎng)度方向292m，基坑開挖深度為10m，地下連續(xù)墻埋深18m，即入土深度為8m，不透水層厚度為8.63m，承壓水頭為16m.地下連續(xù)墻墻底以上的土性指標(biāo)加權(quán)平均為c＝6.17kPa，φ＝24.03°，γ＝17.9kN·m－3.文獻(xiàn)中采用圓弧滑動(dòng)法計(jì)算得到安全系數(shù)為1.73，采用本文的方法考慮承壓水的影響，得到安全系數(shù)為0.97，在降水后承壓水水頭為12m時(shí)，險(xiǎn)情得到明顯控制，用本文方法計(jì)算此時(shí)的安全系數(shù)為1.41，計(jì)算結(jié)果與工程實(shí)際較為符合，這也證實(shí)了本文方法在工程中的適用性.

6 結(jié)語

（1）在基坑開挖時(shí)，基坑抗隆起穩(wěn)定性分析考慮承壓水的影響是十分必要的.

（2）如果不考慮基坑底部承壓水層水頭壓力的影響，則計(jì)算得到的安全系數(shù)偏大，在工程設(shè)計(jì)中偏于不安全.

（3）基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)隨承壓水頭增大而減小，隨著不透水層厚度的增加而增大并趨于穩(wěn)定.

（4）采用本文方法可以計(jì)算受到承壓水影響的基坑抗隆起穩(wěn)定性安全系數(shù)，能夠反映出承壓水所帶來的不利影響，并且為采取相應(yīng)的設(shè)計(jì)、施工措施提供了理論依據(jù).

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