陳俊宏,張欽宇
(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院,廣東 深圳 518055)
隨著無(wú)線通信技術(shù)的發(fā)展,多媒體通信得到日益廣泛的應(yīng)用,其技術(shù)的發(fā)展也越來越受重視。而作為多媒體通信技術(shù)中最重要和最基礎(chǔ)的圖像傳輸技術(shù)近幾年來已成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。對(duì)于傳統(tǒng)的基于香農(nóng)分離定理的分離圖像傳輸系統(tǒng),其對(duì)編解碼器的復(fù)雜性和存儲(chǔ)能力的要求很高,在實(shí)際應(yīng)用中代價(jià)太高難以滿足,從而激發(fā)了對(duì)更為有效的聯(lián)合信源信道編碼(JSCC)方法的探索和研究。目前很多具體的基于JSCC的圖像通信系統(tǒng)被提出[1~6]。這其中有一類重要的JSCC系統(tǒng)是把信源信息按照重要性程度分成不同等級(jí),在信道編碼時(shí)對(duì)不同等級(jí)實(shí)行不等錯(cuò)誤保護(hù)(UEP)。由于在信道傳輸過程中,各類數(shù)據(jù)對(duì)于誤比特率的敏感性是完全不同的,因此,較之UEP,對(duì)于在所有信息都采取相同程度差錯(cuò)控制編碼的等差錯(cuò)保護(hù)(EEP)方法而言,在非重要信息的保護(hù)上是一種帶寬的浪費(fèi),而對(duì)重要信息的保護(hù)又顯得不足。因而,近年來的很多研究都集中在UEP上,像IRA碼[7]、RCPC碼[8]、RC-LDPC碼[9]以及WICP-LDPC碼[10]等大量的信道編碼被應(yīng)用到UEP傳輸系統(tǒng)中。
基于小波變換的圖像壓縮編碼是一類非常優(yōu)秀的圖像信源編碼,無(wú)論是在壓縮效率上,還是在頑健性上,都有很好的性能,近幾年來的大量研究使其獲得了極大的成功。例如新一代的圖像標(biāo)準(zhǔn)JEPG 2000的核心算法——優(yōu)化截取的嵌入式編碼算法(EBCOT)[11,12],其性能要優(yōu)于以DCT變換為核心的上一代JEPG標(biāo)準(zhǔn)。基于SPIHT小波變換的信源編碼[13],以及基于小波分組分解的圖像壓縮算法[14,15]等大量的基于小波變換的圖像壓縮編碼被提出,并且均取得了很好的效果。
對(duì)基于小波分組分解的圖像信源編碼而言,小波分組的最優(yōu)剪枝是該類算法的核心技術(shù)之一,如文獻(xiàn)[14]中提出的在率失真意義下是最優(yōu)剪枝算法。然而當(dāng)圖像需要經(jīng)過噪聲信道進(jìn)行傳輸時(shí),文獻(xiàn)[14]中提出的算法由于信道噪聲的影響將不再是最優(yōu)剪枝算法。本文提出了一種新的基于小波分組分解的圖像信源編碼算法,其小波分組的剪枝算法引入了信道噪聲強(qiáng)度和信道編碼碼率等參數(shù),從而在圖像有噪信道傳輸時(shí)仍具有全局率失真意義上的最優(yōu)性。在量化編碼方式上,采用可將信息按其重要性程度分成不同等級(jí)的位平面編碼,從而可以很好地適用于UEP系統(tǒng)。將所提出的信源編碼系統(tǒng)結(jié)合 WICP-LDPC信道編碼系統(tǒng),構(gòu)成一個(gè)基于JSCC的圖像UEP傳輸系統(tǒng)。
小波分組的基本思想是通過非倍頻帶的分解,從而對(duì)某個(gè)給定的信號(hào)自適應(yīng)地選擇最好的基。對(duì)于最優(yōu)基的選擇,一般的方法就是定義一個(gè)代價(jià)函數(shù),然后在這個(gè)完全樹中查找一個(gè)子樹,使得其全局的代價(jià)函數(shù)最小。如圖1所示,在完全樹的每一個(gè)分支,父親子帶的代價(jià)J(P)與其4個(gè)孩子子帶的代價(jià)之和ΣJ(Ci)進(jìn)行比較,如果前者更大,則這 4個(gè)子節(jié)點(diǎn)被保留(對(duì)應(yīng)這個(gè)父節(jié)點(diǎn)被分解),并且將父節(jié)點(diǎn)的代價(jià)更新為其孩子代價(jià)之和;否則這 4個(gè)分支被剪去。當(dāng)這個(gè)自底向上的樹剪枝過程到達(dá)根節(jié)點(diǎn)時(shí),使全局代價(jià)最小的最優(yōu)子樹就找到了。
圖1 完全樹的一個(gè)分支
Ramchandran和 Vetterli[14]提出一個(gè)基于編碼率和失真的代價(jià)函數(shù),根據(jù)這個(gè)代價(jià)函數(shù),小波分組分解以及每個(gè)小波分組子帶的量化編碼在率失真意義下是最優(yōu)的,該準(zhǔn)則通過定義以下一個(gè)Lagrange代價(jià)函數(shù)
其中,λ>0,為權(quán)重因子,用于控制編碼率 R與相應(yīng)失真D之間的平衡,且D是用MSE來度量。對(duì)于任意給定的一個(gè)小波分組分解,分解樹的葉節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)最終的分組子帶。假設(shè)這些子帶由{B1,B2,…,Bm}來表示,由于率和失真的可加性,全局代價(jià)可由式(2)表示
其中,Ri和 Di分別表示子帶 Bi的總編碼率和相應(yīng)的總失真。
此時(shí)對(duì)小波分組的最優(yōu)剪枝算法為:在完全樹的每一個(gè)分支,如果式(3)滿足,則父親子帶被保留;否則它被分解為4個(gè)孩子子帶。當(dāng)樹剪枝算法到達(dá)根節(jié)點(diǎn)時(shí),對(duì)于給定的 λ,可同時(shí)得到最優(yōu)的小波分組分解和每個(gè)分組子帶的最優(yōu)量化編碼方式。
以上是針對(duì)圖像壓縮時(shí)對(duì)小波基的選取,沒有考慮到信道噪聲以及信道編碼的情況。在圖像傳輸系統(tǒng)中,由于信道噪聲的存在,需要對(duì)信源壓縮后的碼流進(jìn)行信道編碼,這樣就增加了信道編碼的碼率,以及由信道噪聲引入的失真。
假設(shè)信道編碼造成的碼率增加比率,既碼率的倒數(shù)為σ,此時(shí)全局代價(jià)函數(shù)可寫成
其中,D(σ)是由信道噪聲引入的失真。設(shè)e為譯碼所得碼字y與原碼字x之間的誤差,既e=|x-y|,則,e的期望值為
并且
其中,σRi為子帶經(jīng)過信道編碼后的碼率,1/σ即為信道編碼碼率;P為經(jīng)過信道編碼后噪聲信道的誤比特率,與信道噪聲以及信道編碼碼率及編碼方式相關(guān),對(duì)于BSC信道,信道誤比特率p即為式(6)中的P。而對(duì)于其他噪聲信道,在給定信源信道條件下,信道編碼碼率與信道噪聲之間具體的約束關(guān)系可由具體的編解碼方法所確定的。因此可先計(jì)算出差錯(cuò)控制編碼在各個(gè)信道信噪比和各信道編碼碼率下的誤比特率,并存儲(chǔ)起來,在實(shí)際的編碼傳輸中,編碼器根據(jù)當(dāng)前的信道條件和傳輸要求,從存儲(chǔ)表格中查找對(duì)應(yīng)的信道編碼碼率后代入式(6)。
因而,小波分組剪枝判決式變?yōu)?/p>
值得注意的是,從式(7)可以看出,當(dāng)信道情況較好,即信噪比很大時(shí),P的值趨于0。此時(shí)式(7)退化為式(3),得到的最優(yōu)小波基即為Ramchandran和 Vetterli在文獻(xiàn)[14]中提出的基于編碼率和失真的最優(yōu)小波基。
綜上所述,在圖像傳輸時(shí),最優(yōu)小波基的選擇概括如下。
1) 完全分解輸入圖像至一個(gè)給定的分深度N,從而得到完全分解樹。
2) 給定一個(gè)λ,并根據(jù)信道情況選取P值,根據(jù)信道編碼的碼率選擇σ值,再?gòu)耐耆纸鈽涞娜~節(jié)點(diǎn)開始根據(jù)各節(jié)點(diǎn)的代價(jià)函數(shù)(7)進(jìn)行自底向上的剪枝算法,在樹的每一個(gè)節(jié)點(diǎn),判斷是否要保持其4個(gè)子分支。當(dāng)剪枝工作完成后,就對(duì)給定的λ得到了其在噪聲信道情況下最優(yōu)的小波分組分解和每個(gè)分組子帶的最優(yōu)量化編碼方式。
3) 二分法調(diào)整λ,重復(fù)上述步驟2),以滿足給定的目標(biāo)比特率R。
圖像進(jìn)行最優(yōu)小波分組分解后,需要對(duì)其每個(gè)小波分組子帶進(jìn)行塊分割編碼。對(duì)于一個(gè)小波分組子帶?,設(shè)它的一個(gè)像素點(diǎn)p的坐標(biāo)是(i, j),該點(diǎn)的系數(shù)值由cij來表示。設(shè)B是子帶?的一個(gè)子塊,如果下式滿足,則稱塊B相對(duì)于閾值n是重要的,否則稱其為不重要的。
塊編碼算法采用位平面編碼的方式,其主要目的是定位每個(gè)位平面的重要系數(shù),同時(shí)將一組不重要系數(shù)僅用一個(gè)符號(hào)來編碼。為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo),算法總是先檢測(cè)一個(gè)系數(shù)塊的重要性狀態(tài)。如果這個(gè)塊在當(dāng)前位平面n是重要的,則被分割為4個(gè)相等的子塊以定位其中的重要系數(shù),如圖2所示;否則,這個(gè)塊保留至下一位平面再進(jìn)行重要性檢測(cè)。因此可以依據(jù)位平面的重要程度對(duì)各碼塊進(jìn)行不等差錯(cuò)保護(hù)信道編碼。
圖2 對(duì)于某一閾值重要塊的分割及其輸出碼流
馬丕明等人在文獻(xiàn)[10]中構(gòu)建的重量遞增校驗(yàn)矩陣的LDPC碼(WICP-LDPC)具有很好的UEP性能。對(duì)于非規(guī)則LDPC編碼,由于高度數(shù)的比特節(jié)點(diǎn)能夠從鄰近的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)得到更多的信息,因而度數(shù)高的比特節(jié)點(diǎn)的錯(cuò)誤比低度的比特節(jié)點(diǎn)優(yōu)先得到糾正,即隨著比特節(jié)點(diǎn)度數(shù)的增加,該點(diǎn)的錯(cuò)誤保護(hù)的能力變的更強(qiáng)。而WICP-LDPC可以成功地實(shí)現(xiàn)重要信息到非規(guī)則LDPC高度比特點(diǎn)的映射,從而達(dá)到UEP的目的。
對(duì)于第2節(jié)中的最優(yōu)小波分組編碼,假設(shè)其閾值的最大值為N,顯然閾值為N的位平面具有最高的重要級(jí)別,隨著閾值的減小后面幾層的重要性依次降低。在WIPC-LDPC的信息節(jié)點(diǎn)選取N個(gè)不同度數(shù),假設(shè)每個(gè)度數(shù)的信息節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為S1,S2,…,SN,其中,SN這些信息節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的度數(shù)最大,S1這些信息節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的度數(shù)最小,則編碼分以下2步。
1) 按圖3所示,重新排列圖像碼流,組成新的信息矢量V。首先從閾值為N的位平面碼流中由前往后取SNbit,然后從第N-1層平面由前往后取SN-1bit…,從第1層平面由前往后取S1bit按照如下的順序組成一個(gè)信息矢量。即第1層的碼流比特放在最后面,最后一層的碼流比特放在最前面。循環(huán)以上的過程,當(dāng)某一位平面的數(shù)據(jù)比特取完后,繼續(xù)按照重要的信息比特放在信息矢量后面的原則在相鄰平面取數(shù)據(jù),直到把所有的碼流比特都按照上述的結(jié)構(gòu)組成信息矢量。
圖3 信息矢量的構(gòu)成
2) 對(duì)排列后的信息矢量 V進(jìn)行系統(tǒng)編碼。使用WICP-LDPC方法完成信息矢量V到編碼碼字x的編碼。
綜上所述,傳輸系統(tǒng)的聯(lián)合編碼方案如圖 4所示,對(duì)于給定的信道及總的傳輸速率要求,通過查表獲得P值,根據(jù)信道編碼的碼率獲得σ值,代入式(7)中,并對(duì)信源圖像進(jìn)行小波分組分解后的剪枝。對(duì)各小波子帶系數(shù)進(jìn)行位平面編碼,再將高位面的編碼碼流映射到WICP-LDPC的高度比特點(diǎn),完成聯(lián)合編碼過程。
圖4 信源信道聯(lián)合編碼圖像傳輸系統(tǒng)
實(shí)驗(yàn)采用標(biāo)準(zhǔn)8bit灰度圖像Lena、Goldhill和Barbara在BSC信道上進(jìn)行仿真。選取3組碼率為1/2的非規(guī)則LDPC碼,分別對(duì)其生成矩陣進(jìn)行初等變換,將會(huì)得到3組列重遞增校驗(yàn)矩陣的非規(guī)則LDPC碼,利用這3組WIPC-LDPC碼作為傳輸系統(tǒng)的信道編碼進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。
選取的第1組信道編碼碼長(zhǎng)為8 192,碼率1/2,即(8 192, 4 096)非規(guī)則LDPC碼,其生成列多項(xiàng)式為
行多項(xiàng)式為
第2組非規(guī)則LDPC碼為(10 000, 5 000),其生成列多項(xiàng)式為
行多項(xiàng)式為
第3組非規(guī)則LDPC碼為(10 000, 5 000),其生成列多項(xiàng)式為
行多項(xiàng)式為
所選取的3組WIPC-LDPC碼的各項(xiàng)參數(shù)見表1。
由于信道編碼的碼率為 0.5,因而在信源編碼時(shí),參數(shù)σ=2再結(jié)合BSC信道的誤比特率p完成信源編碼,其中小波分組分解使用了 Daubechies 9/7-tap濾波器組,分解深度為5,圖5分別給出了Lena圖在BER為0.01,0.05,0.1時(shí),用式(7)作為小波分組剪枝判決式,剪枝后的小波分解框架,同時(shí)作為對(duì)比,圖5中也給出了信道噪聲為0時(shí),即剪枝判決式(7)退化為式(3)時(shí)Lena圖的小波分解結(jié)構(gòu)??梢钥吹剑谛旁氡容^大時(shí)小波分組分解框架的變動(dòng)較小。
表1 各組WIPC-LDPC參數(shù)
圖5 不同BER下Lena圖的小波分解結(jié)構(gòu)
信道編碼時(shí)先按所述方法將圖像碼率排列成信息矢量,再進(jìn)行系統(tǒng)編碼。圖6、圖7分別給出了實(shí)驗(yàn)中 3幅圖像在傳輸碼率為 0.5bit/pixel和0.25bit/pixel時(shí)重建圖像的峰值信噪比PSNR與BSC信道誤比特率BER之間的關(guān)系。
由表1可以看出,第1組WIPC-LDPC碼的最高級(jí)別比特節(jié)點(diǎn)的度數(shù)最大,與其他級(jí)別節(jié)點(diǎn)間性能差異最明顯,但其最優(yōu)比特的數(shù)量卻最少,只占有效比特的 12.5%,而第 2組和第 3組卻占到了16.3%和29.7%,因而可以認(rèn)為其UEP的特征更明顯。從圖 6和圖 7中可以看出采用第 1組的WIPC-LDPC編碼的重構(gòu)圖像效果要好于第2組和第3組的。為了更進(jìn)一步地對(duì)比,用式(9)和式(10)生成的 LDPC碼,即第 1組 WIPC-LDPC的生成LDPC碼作為信道編碼,做了EEP傳輸模式下的仿真實(shí)驗(yàn),其結(jié)果如圖6和圖7所示。顯然,UEP方案要優(yōu)于EEP,并且這種優(yōu)勢(shì)在信道條件惡劣的情況下更加明顯。此外,在使用WIPC-LDPC作為信道編碼的UEP傳輸時(shí),WIPC-LDPC碼的UEP特征越明顯,其傳輸效果越好。
由于篇幅所限,在這里僅給出了Lena在信道BER為0.03和0.1時(shí),不同傳輸碼率下的重建圖像,如圖 8所示,其中,圖 8(a)和圖 8(b)傳輸碼率為0.25bit/pixel,圖8(c)和圖8(d)傳輸碼率為0.5bit/pixel。
圖6 傳輸碼率為0.5bit/pixel時(shí)重建圖像的PSNR
圖7 傳輸碼率為0.25bit/pixel時(shí)重建圖像的PSNR
圖8 Lena的重建圖像
表2和表3給出了幾種近幾年提出的圖像傳輸系統(tǒng)與本文所提出系統(tǒng)的比較,其中,F(xiàn)resia等人在文獻(xiàn)[4]中提出的系統(tǒng)使用 JPEG 2000和RC-Turbo碼作為傳輸系統(tǒng)的信源信道編碼器,Lan等人在文獻(xiàn)[7]中的系統(tǒng)使用了 SPIHT和 IRA,Sanchez在文獻(xiàn)[8]中提出的系統(tǒng)則使用了 JPEG 2000和RCPC碼。在傳輸碼率為0.25bit/pixel時(shí),三幅重建圖像的PSNR值如表2所示,表3為傳輸碼率在0.5bit/pixel時(shí),3幅重建圖像的PSNR值。
表2 傳輸碼率為0.25bit/pixel時(shí),重建圖像的PSNR值
表3 傳輸碼率為0.5bit/pixel時(shí),重建圖像的PSNR值
文獻(xiàn)[7]所提出的傳輸系統(tǒng)使用SPIHT作為信源編碼,信道編碼使用IRA碼,其中,IRA碼是一種具有接近香農(nóng)限性能的碼,與本文所使用的信道編碼類似,其UEP特性主要也體現(xiàn)在不同度數(shù)的節(jié)點(diǎn)具有不同的抗誤碼能力上,該系統(tǒng)在傳輸Lena圖時(shí)具有很好的性能,本文所提出方法與其相比只有微弱的優(yōu)勢(shì)(平均0.05dB的增益),特別是在高信噪比的傳輸條件下(只有0.03dB的增益),這是由于在信噪比較高的情況下Lena圖像的最優(yōu)小波分組分解結(jié)構(gòu)基本上就是通常的金字塔分解,因而在最優(yōu)小波分解結(jié)構(gòu)與金字塔分解差異較大的 Barbara和Goldhill圖的實(shí)驗(yàn)中具有更高增益,Barbara平均提高0.19dB,Goldhill平均提高0.58dB。文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[8]所提出的系統(tǒng)均使用JPEG 2000作為信源編碼器,在信道編碼時(shí),也均采用了率兼容的信道編碼對(duì)信源圖像進(jìn)行分級(jí)保護(hù),其中文獻(xiàn)[4]中使用的RC-Turbo碼的性能更優(yōu),然而這2種信道編碼與本文所使用的WIPC-LDPC碼及IRA碼相較而言,不具備線性時(shí)間編碼和譯碼的特性。對(duì)于Lena圖,本文所提出方法比文獻(xiàn)[4]所使用的方法平均提高0.33dB,對(duì)于Barbara和Goldhill圖,其平均PSNR的提高分別是0.26dB和0.33dB。圖9給出了Lena圖在傳輸總碼率為0.25bit/pixel,信道BER為0.03時(shí)重建圖像的放大細(xì)節(jié),從中可以看出本文所提出的方法比文獻(xiàn)[4,7,8]中的方法保持了更多的細(xì)節(jié)信息。
圖9 Lena在傳輸碼率為0.25bit/pixel信道,BER為0.03時(shí)重建圖像的放大細(xì)節(jié)
與使用固定子帶分解的圖像傳輸方法相比,本文所提出的方法在信源編碼時(shí)的計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較大,這主要是因?yàn)樗惴ㄐ枰獙?duì)完全分解樹進(jìn)行多次剪枝以及查找最優(yōu)小波分組分解,但是這一部分計(jì)算均在發(fā)送端完成,而在接收端的信道譯碼所耗費(fèi)時(shí)間卻要低于文獻(xiàn)[4, 7, 8]中使用的方法。
本文提出了一種在率失真意義上具有最優(yōu)的基于小波分組分解的圖像編碼算法。所提出的圖像編碼器在信源編碼過程中引入了信道誤比特率P以及信道編碼的碼率σ等參數(shù),將信道信息及信道編碼情況考慮到信源編碼中來,采用聯(lián)合信源信道編碼的方式來實(shí)現(xiàn)圖像在有噪信道中的可靠傳輸。構(gòu)建了以WIPC-LDPC碼作為信道編碼的圖像傳輸系統(tǒng),從BSC信道的仿真結(jié)果上來看,所提出的方法具有很好的性能,無(wú)論從主觀質(zhì)量上,還是在客觀度量上,均要優(yōu)于Fresia、Lan和Sanchez等人提出的方法。在進(jìn)一步的工作中,將對(duì)查找最優(yōu)小波分組分解的快速算法進(jìn)行研究。
[1] SHERWOOD P G, ZEGER K. Progressive image coding for noisy channels[J]. IEEE Signal Processing Letter, 1997, 4(7): 189-191.
[2] BABUSTER B, BELZER B, FISCHER T. Robust image transmission using JPEG 2000 and turbo-codes[J]. IEEE Signal Processing Letter,2002, 9(4): 117-119.
[3] PAN X, BANIHASHEMI A H, CUHADAR A. A fast trellis-based rate-allocation algorithm for robust transmission of progressively coded images over noisy channels[J]. Transactions on Communications, 2006, 54(1): 1-6.
[4] FRESIA M, LAVAGETTO F. Determination of optimal distortion-based protection in progressive image transmission: a heuristic approach[J].Transactions on Image Processing, 2008, 17(9): 1654-1662.
[5] KIM H, ANNAVAJJALA R, COSMAN P, et al. Source-channel rate optimization for progressive image transmission over block fading relay channels[J]. IEEE Transactions on Communications, 2010, 58(6):1631-1642.
[6] SABIR M F, BOVIK A, HEATH R, et al. Unequal power allocation for JPEG transmission over MIMO systems[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2010, 19(2): 410-421.
[7] LAN C, XIONG Z, NARAYANAN K R. Source-optimized irregular repeat accumulate codes with inherent unequal error protection capabilities and their application to scalable image transmission[J]. Transactions on Image Processing, 2006, 15(7): 1740-1750.
[8] SANCHEZ V, MANDAL M K. Efficient channel protection for JPEG2000 bitstream[J]. IEEE Transactions on Circuits Syst Video Technology, 2004, 14(4): 554-558.
[9] PAN X, CUHADAR A, BANIHASHEMI A H. Combined source and channel coding with JPEG 2000 and rate-compatible low-density parity-check codes[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2006,54(3): 1160-1164.
[10] 馬丕明, 袁東風(fēng), 楊秀梅. 非規(guī)則LDPC碼的不等錯(cuò)誤保護(hù)性能研究[J]. 通信學(xué)報(bào), 2005, 26(11): 132-136.MA P M, YUAN D F, YANG X M. Research on unequal error protection of irregular LDPC codes[J]. Journal on Communications, 2005,26(11): 132-136.
[11] ATZORI L. Transmission of JPEG 2000 images over wireless channels with unequal power distribution[J]. IEEE Trans Consumer Electronics, 2003, 49(4): 883-888.
[12] MAHIN T, ATOUSA H. Unequal power allocation for transmission of JPEG2000 images over wireless channels[A]. 2009 IEEE Global Telecommunications Conference (GLOBECOM'09)[C]. Honolulu,2009. 3279-3284.
[13] 肖嵩, 張方, 吳成柯. 基于小波 SPIHT的聯(lián)合信源信道編碼新方法[J]. 計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào), 2003, 26(3): 281-286.XIAO S, ZHANG F, WU K C. A new method of joint channel coding based on SPIHT[J]. Chinese Journal of Computers, 2003, 26(3): 281-286.
[14] RAMCHANDRAN K, VETTERLI M. Best wavelet packet bases in a rate-distortion sense[J]. IEEE Trans Image Process, 1993, 2(4): 160-175.
[15] YANG Y, XU C. A wavelet packet-based rate-distortion optimization algorithm for block partitioning image coding[J]. Sci China Ser F: Information Sciences, 2008, 51(8): 1036-1054.