陳德建

（黎明職業(yè)大學(xué)，福建 泉州 362000）

偶完全數(shù)有無(wú)窮多

陳德建

（黎明職業(yè)大學(xué)，福建 泉州 362000）

本文從完全數(shù)的定義出發(fā)，運(yùn)用已證得的定理，并利用梅森合數(shù)的性質(zhì)，求出兩梅森數(shù)下標(biāo)素?cái)?shù)的關(guān)系；用反證法，假設(shè)存在最大梅森素?cái)?shù)，從而引出矛盾，證明命題。

完全數(shù)；偶完全數(shù)；梅森數(shù)；梅森合數(shù)；梅森素?cái)?shù)；最大梅森素?cái)?shù)；反證法

一、引論

定義1：設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，如果n的全部因數(shù)的和等于2n，n就叫做一個(gè)完全數(shù)（perfect number）。

例如，6的因數(shù)的和σ（6）=1+2+3+6=12，28的因數(shù)的和σ（28）=1+2+4+7+14+28=56，故6和28都是完全 數(shù)①。

定義2：形狀是 Mn=2n-1的數(shù)叫梅森（M·Mersenn）數(shù)。

定理1：如果n＞1，且an-1是素?cái)?shù)，那么a=2,且n是素?cái)?shù)。

證：如果a＞2，又因n＞1，所以1＜a-1＜an-1，且an-1=(a-1)(an-1+an-2+…+a+1)，所以an-1有真因數(shù)（a—1），即它不是素?cái)?shù)了，因此a=2。如果n是復(fù)合數(shù)，即n=kl，其中1＜k＜n，那么1＜2k-1＜2n-1，且（2k-1）丨（2n-1），從而2n-1也將不是素?cái)?shù)了。所以如果an-1是素?cái)?shù)，則必須a=2及n是素?cái)?shù)。

定理證完。

定義3：如果p是素?cái)?shù)，且 Mp=2p-1也是素?cái)?shù)，則Mp稱(chēng)梅森素?cái)?shù)。

例 如 22-1=3,23-1=7,25-1=31均 為 素 數(shù) ， 故M2,M3,M5均為梅森素?cái)?shù)。

但并不是所有Mp均為梅森素?cái)?shù)，例如等等②。

顯然，n是合數(shù)時(shí)，an-1是合數(shù)，而Mp中也有合數(shù)，本文所稱(chēng)梅森合數(shù)是指Mp中的合數(shù)。已知的前33個(gè)梅森素?cái)?shù)依次是

這第33個(gè)梅森素?cái)?shù) 2859433- 1有258716位。

Mersenne prime（梅森素?cái)?shù)）的個(gè)數(shù)無(wú)疑是無(wú)限的，但其證明卻毫無(wú)希望地超出了我們的能力。③

定理 2：如果Mp是素?cái)?shù)，那么(2p- 1)是一個(gè)偶完全數(shù)，而且除了這些以外，在沒(méi)有其他的偶完全數(shù)。

證：我們用σ(n)表示n的全部因素之和，如果Mp是素?cái)?shù)，那么的因數(shù)顯然為1，2，所以

現(xiàn)在假定a是一個(gè)偶完全數(shù)，假設(shè)a的標(biāo)準(zhǔn)分解式中含2的最高方冪的次數(shù)為n-1，因a是偶數(shù)，所以n-1≥1，又因 2n-1顯然不是偶完全數(shù)，所以a= 2n-1u，u＞1，2u。

因此a的因數(shù)為所有形如2iv的數(shù)，其中0≤i≤n-1及vu。從而 2nu=2a=σ(a)= (1+2+…+2n-1)σ(u)=σ(u)(2n-1)，即得是整數(shù)。另一方面，由上面等式得到都是u的因數(shù)，而σ( u)又是u的所有因數(shù)的總和，所以u(píng)只有兩個(gè)因數(shù)u和因u＞1及u至少有兩個(gè)因數(shù)u和1，所以必須換句話(huà)說(shuō)，u是一個(gè)素?cái)?shù)，且u= 2n-1。由定理1，n必須是素?cái)?shù)。

定理證完。

這個(gè)定理說(shuō)明，是否有無(wú)窮多個(gè)偶完全數(shù)的問(wèn)題，即歸結(jié)為是否有無(wú)窮多個(gè)梅森素?cái)?shù)的問(wèn)題。④

是否有無(wú)窮多個(gè)p使Mp為素?cái)?shù)，是數(shù)論中尚未解決的難題。

值得注意的是梅森素?cái)?shù)在一些應(yīng)用學(xué)科（如代數(shù)編碼）中得到應(yīng)用。⑤

定理 3（拉格朗日）：假定 p是素?cái)?shù)，那么同余方程f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0≡0(Modp)，1≤x≤p……（1）的解數(shù)≤n，重解也計(jì)算在內(nèi)。這里an,an-1,…，a1,a0都是整數(shù)，且pan。

證：如果（1）沒(méi)有解，那么定理成立。如果x=α是（1）的一個(gè)解，那么（1）式可以寫(xiě)成 f(x)=(x -a)f1(x)+r1，以x=α代入得所以 f(x)≡(x - a)f1(x)(Modp)，如果x=α又是 f1(x)≡ 0( Modp)的解，那么同樣可得f1(x)≡(x - a)f2(x)(Modp)。 這 時(shí) 我 們 稱(chēng) α做f(x )≡ 0(Modp)的重 解 。 繼續(xù) 下 去 ，如 果f(x)≡(x -a)kg1(x)(Modp)，其中g(shù)1(x)≡/ （0 Modp)，就稱(chēng)a是f(x)≡0(Modp)的h重解。

由證明可以看出 g1(x)的次數(shù)是 n－h(huán)。設(shè)（1）另有一解x=b，那么所以有 g1(b)≡（0 Modp)。如果x=b是 g1(x)≡（0 Modp)的K重解，那么同樣有這樣繼續(xù)進(jìn)行下去可得，其中g(shù)(x)的次數(shù)是n-h-k-…-l，且 g (x )≡（0 Modp)不再有解，所以f(x )≡（0 Modp)的解數(shù)是 h +k+…+l ≤n。定理證完⑥。

定義4：假定m是一個(gè)自然數(shù)，如果（ n ,m)=1，且同余式 x2≡ n(modm)有解，我們就稱(chēng)n做模m的二次剩余。如果上面的同余式?jīng)]有解，n就叫做模m的二次非剩余。

例如1，2，4是模7的二次剩余，而3，5，6是模7的二次非剩余。

用p除所得的余數(shù)，就是模p的全體二次剩余。

證：用p除（1）中各數(shù)所得的余數(shù)，顯然都是模p的二次剩余，現(xiàn)在要證明的是：1，2，…，p－1中，模p的二次剩余也就是這些。

假定1≤n p＜。如果同余式

有解，那么由拉格朗日定理可知它至多有二個(gè)解，由（p-x)2≡(-x)2≡x2≡n(modp)可知（2）還有一個(gè)解p- x。如果那么 1≤p－x≤因此如果（

2）有解，它總會(huì)有一個(gè)解適合于

換句話(huà)說(shuō)，如果n是模p的二次剩余，那么n必定模p同余于（1）中的一個(gè)數(shù)。因此剩下來(lái)要證明的就是n中是模p的二次剩余恰有個(gè)，這只要證明（1）中的任何兩個(gè)數(shù)模p都不同余。假定 a2,b2是（1）中的任何二數(shù)，且a＞b，如果 a2≡ b2(modp)，即得，由于p是素?cái)?shù)，可知但1≤a+b＜p， 1≤a-b＜p，這是不可能的。因此（1）中任何二數(shù)都是模p互不同余。 定理證完⑦。

定理5（費(fèi)馬小定理）：如果p是素?cái)?shù)，那么對(duì)于任何整數(shù)a都有 ap≡a(mod p)

中的一個(gè)，這是因?yàn)橛胮除n后的余數(shù)總是其中之一。假定在這p-1個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)k1與k2，現(xiàn)在來(lái)

模p分別同余于（1）中的一個(gè)數(shù)，而且（3）中的數(shù)又彼此對(duì)模 p互不同余。又因從c≡d (mod p)與c＇≡d＇(mod p)可 以 推 出cc＇≡ dd＇ (m od p)，所以（1）中各數(shù)相乘的積同余于（3）中各數(shù)相乘的積，因此

(p-1)！ap-1≡(p-1)！(modp),即因此p是素?cái)?shù)，所以p（p-1)！，故有即得

定理6（歐拉）：當(dāng)p為素?cái)?shù)時(shí)，有關(guān)系式

證：假定n是模p的二次剩余，那么同余式x2≡ n(modp)有解x，即所以由

推論：當(dāng)n＝2，p為奇素?cái)?shù)時(shí)，由歐拉定理有

定理7：設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù)，q是Mp的一個(gè)素因數(shù)，則q形如 q = 2 kp +1。

證明這個(gè)定理之前，先證一個(gè)簡(jiǎn)單的引理。

引理：設(shè) a＞0,b ＞0 ,s ＞1，則

證：不妨設(shè)a＞b，由輾轉(zhuǎn)相除法得

定理證完。⑩

二、證明

以下我們來(lái)證明梅森素?cái)?shù)有無(wú)窮多。

設(shè)q、p均為奇素?cái)?shù)，且p q＞ ，由歐拉定理的推論知存在正整數(shù)A、a,使得

令p- q =2t，顯然t是正整數(shù)。若Mp不是素?cái)?shù)，即Mp為梅森合數(shù)，由定理7知存在正數(shù)m、n，使得

由于2p-1不是一個(gè)完全平方數(shù),所以m≠n，不失一般性，不妨設(shè)m＞n。由（1）有 m+n≡±2a(modp),設(shè)m+n=bp±2a，我們來(lái)證b＞0。

由（1）有 2mn= a2-b ，由（2）有b＞0。

由（1）式及a為奇數(shù)， a2p ± 2a為奇數(shù)，m+n必為奇數(shù)，所以 m與 n必一奇一偶，2mn是 4的倍數(shù)，a2≡1(mod4)，所以 b≡1(mod4)。

事實(shí)上 p=11時(shí) ， a =3,m=4,n =1,b=1；

我們用反證法證明之。

設(shè)梅森素?cái)?shù)為有限個(gè)。則存在奇素?cái)?shù)q，使 Mq=2q-1為最大梅森素?cái)?shù)，對(duì)任何 p= q +2t的奇素?cái)?shù)p，Mp均為梅森合數(shù)。

由費(fèi)馬小定理 2q-1≡ 1(mod q ),知存在正整數(shù)S，使

令C=4tS -2 mnp -m-n ，則（6）式變?yōu)?/p>

由算數(shù)基本定理知C＞0，C為奇數(shù)。由（7）式有

若4t＜p,則22t＜q+2t,22t-2t＜q 。事實(shí)上，當(dāng)t=1時(shí)， 4t= 4t；當(dāng)t＞1時(shí)，4t＞4t，例如t=2時(shí)， 42=16＞8 = 4×2。

設(shè)4t＜p,則22t＜q+2t,22t-2t＜q 。

事實(shí)上，當(dāng) t =1時(shí)，4t=4t,當(dāng)t＞1時(shí)，4t＞4t ，例如t=2時(shí)，42=16＞8=4×2。

由（8）式，當(dāng) 4t＜ p時(shí)，有2St -1＞C，

由于C 為奇數(shù)，故有2 St＞ C ，即

若n=1，有 2mp +m +1＞S(22t-2t)，

又有有2 mp+m ≤S (22t- 2t)，若n＞1，有 mn＞ m+n，

代入 (10) 2mnp +mn＞S(22t-2t)

由于 2mn= a2-b，由（11）式有

若a2-b＞ S ，必有a2＞S，即

由假設(shè) 4t＜p,又q＜p,∴ 4tq＜p2，得一矛盾。

故 a2-b＜S 。

若a2＜S ,必 有a2-b＜S。

若2St- 1＜p ， 當(dāng)q=3時(shí),A=1,S=1,

當(dāng)q=5時(shí), A=1,S=3,當(dāng) q=7時(shí),A=1,S =9,

當(dāng)q=11時(shí) ,A = 3,S=81。

2St＜ p+1＝q+2t+1，2t (S -1)＜q+1,由于S≥1，恒有

由 （8） 式 ， 當(dāng) 2St-1＜p時(shí) ，必有4t＞C， 即

當(dāng)n=1時(shí)， 2mp +m ≥4t( S -1)

當(dāng)n＞1時(shí)，m n＞m + n,代入（15），2 mnp +mn＞4t( S-1)

綜之有 mn( 2p+1)≥4t(S-1)， 又有2 mn (p+1)＞4t(S-1)，(a2-b)(p +1)＞4t(S -1)， 必 有 a2(p +1)＞4t(S-1)，于是得一矛盾。即4t＜C。故第二種情形不存在。

綜上所證，當(dāng)Mp為梅森合數(shù)時(shí)，p＜2q。

由于素?cái)?shù)有無(wú)窮多，因而大于q的素?cái)?shù)也有無(wú)窮多，所以必有大于2q的素?cái)?shù)p使Mp為素?cái)?shù)，這與假設(shè)存在最大梅森素?cái)?shù)相矛盾。所以，梅森素?cái)?shù)有無(wú)窮多，因而偶完全數(shù)有無(wú)窮多。

證完。

[1] 王文才，施桂芬.數(shù)學(xué)小詞典[Z].北京:科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1983.

[2][4][6][7][8][9] 王元.談?wù)勊財(cái)?shù)[M].上海：上海教育出版社，1983.

[3]［加］R.K.蓋伊.數(shù)論中未解決的問(wèn)題（第二版）[M].張明光，譯.北京：科學(xué)出版社，2004.

[5][10] 柯召，孫琦.數(shù)論講義（上）[M].北京:高等教育出版社，1990.

There are inexhaustible even perfect numbers

In this paper, beginning with the defination of perfect number, using some theorems, we applied the character of Mersenne composite number, found the relation of two primes subscripted to two Mersenne numbers, and assumpted existing the maximum Mersenne prime, derivated a paradox.Them, we proofed the proposition

perfect number; even perfect number; Mersenne composite number; the maxinum prime; derivate a paradox

CHEN De-jian

O1-0

A

1008-7427（2012）03-0156-03

2012-01-04

作者系黎明職業(yè)大學(xué)副教授，高級(jí)工程師。