朱曉軍，呂士欽，王延菲，余雪麗

（太原理工大學(xué)a.計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院；b.數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024)

腦電信號(hào)（Electroencephalograph，EEG)是腦神經(jīng)細(xì)胞傳導(dǎo)信息時(shí)在大腦皮層或頭皮表面的總體電位反映［1］，自1932年 Dietch［2］首先采用傅立葉變換對(duì)腦電信號(hào)進(jìn)行分析之后，在該領(lǐng)域相繼產(chǎn)生了時(shí)域分析、頻域分析和時(shí)頻分析等方法。時(shí)域分析方法主要基于信號(hào)的幅值、方差、均值等參數(shù)，而頻域分析方法主要基于各頻段功率、相干等，時(shí)頻分析則綜合考慮了時(shí)間域和頻率域兩個(gè)方面的特性，來(lái)闡述EEG信號(hào)的頻率隨著時(shí)間變化的關(guān)系。近幾年來(lái)，隨著信號(hào)處理技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析、混沌分析［3］、非線性時(shí)間序列分析［4］等新方法被應(yīng)用到了EEG的信號(hào)處理中，但是這些方法還在探索研究中，還不成熟，有的使用起來(lái)過(guò)于復(fù)雜，衡量的指標(biāo)具有一定的不確定性。

2005年，Jonathan S.Smith在處理腦電信號(hào)時(shí)，提出了一種新的時(shí)頻分析方法——局域均值分解［5］（Local mean decomposition，LMD)，并且取得了一定的成功。該方法從提出到至今，經(jīng)過(guò)幾年的發(fā)展，取得很大進(jìn)展。但是該方法在應(yīng)用時(shí)會(huì)存在端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題［6］，使得信號(hào)產(chǎn)生畸變，分解過(guò)程中可能會(huì)造成信號(hào)兩端端點(diǎn)發(fā)散，導(dǎo)致信號(hào)在重構(gòu)時(shí)丟失部分原有的特征。鑒于此，為了降低這種端點(diǎn)效應(yīng)的影響，提高腦電信號(hào)的特征提取效果，本文提出了一種基于相似波形加權(quán)匹配的端點(diǎn)延拓算法。該算法主要利用在一段波形中相似子波會(huì)反復(fù)出現(xiàn)這一特點(diǎn)，提取與端點(diǎn)處波段相似的子波，求得其加權(quán)平均波，并利用得到的平均波對(duì)原始信號(hào)的左右端點(diǎn)進(jìn)行延拓。該方法綜合考慮了信號(hào)的內(nèi)在規(guī)律及其在端點(diǎn)處的變化趨勢(shì)，使得延拓出的波形在端點(diǎn)處更加符合原始信號(hào)的自然發(fā)展趨勢(shì)。仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的LMD方法分解相比，該算法能夠有效抑制傳統(tǒng)LMD的端點(diǎn)效應(yīng)的影響，使得分解得到的分量特征更加明顯。

1 基于LMD分解的腦電信號(hào)處理

1.1 腦電信號(hào)的特點(diǎn)及處理

腦電信號(hào)幅度非常微弱，頻率范圍一般為0.5～50Hz，頭皮腦電信號(hào)只有50μV左右，超過(guò)±100μV的就可以看作是噪聲，而且腦電信號(hào)作為一種非平穩(wěn)信號(hào)，其統(tǒng)計(jì)量是隨時(shí)間變化的，在對(duì)腦電信號(hào)處理的過(guò)程中會(huì)需要提取出信號(hào)的時(shí)域、頻域的局部特征信息。腦電信號(hào)含有多種頻率成分，按頻率的高低可以分為δ波（0.5～3.5Hz)、θ波（4～7Hz)、α波（8～13Hz)、β波（14～30Hz)、γ波（30 Hz以上)，這些成分在生理學(xué)和病理學(xué)上具有特定意義。α，β波屬于快波，成年人清醒閉眼時(shí)，會(huì)出現(xiàn)明顯的α波，睜開(kāi)眼時(shí)α波減少，β波會(huì)增加。δ，θ波是慢波，成年人疲勞困倦時(shí)，其成分會(huì)增加。

LMD方法可以自適應(yīng)地將一個(gè)復(fù)雜多分量的腦電信號(hào)從高頻到低頻逐級(jí)分解，得到一系列有物理意義的乘積函數(shù)（Product function，PF)的組合，這些PF函數(shù)是單分量信號(hào)，包含了原腦電信號(hào)的頻幅信息。LMD的分解步驟具體如下［7-8］幾點(diǎn)。

1)找出信號(hào)x（t)中所有的局部極值點(diǎn)ni，利用ni分別計(jì)算出局部均值mi及局部包絡(luò)值ai，計(jì)算公式分別如下：

其中，i＝1，2，….

2)用滑動(dòng)平均法對(duì)mi和ai分別進(jìn)行平滑處理，得到局部均值曲線m11（t)和局部包絡(luò)曲線a11（t)。

3)從原始信號(hào)中分離出m11（t)，再用所得結(jié)果除以a11（t)，得到調(diào)頻信號(hào)s11（t)，即：

判斷所得s11（t)是否為純調(diào)頻信號(hào)，如果不是，則將s11（t)作為新的原始信號(hào)重復(fù)步驟1)～3)，循環(huán)n次，直到s1n（t)為純調(diào)頻信號(hào)，即它的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a1（n＋1)（t)＝1。

4)將以上迭代過(guò)程中產(chǎn)生的所有包絡(luò)估計(jì)函數(shù)作乘積，得到包絡(luò)信號(hào)a1（t)，即：

5)將式（4)得到的包絡(luò)信號(hào)a1（t)與純調(diào)頻信號(hào)s1n（t)作乘積，便可得到原始信號(hào)的第一個(gè)F分量：

6)從原始信號(hào)中將F1（t)分離出來(lái)，得到信號(hào)u1（t)，將u1（t)作為新的原始信號(hào)重復(fù)步驟1)～5)，循環(huán)k次，直至uk（t)為一個(gè)單調(diào)函數(shù)。至此，原始信號(hào)x（t)被分解成為一系列F分量和一個(gè)單調(diào)函數(shù)uk（t)之和，即：

可以明顯看出，LMD分解是完備的，沒(méi)有造成原始信號(hào)的信息丟失。

1.2 LMD在腦電信號(hào)處理中的不足

在實(shí)際的腦電信號(hào)中，對(duì)于端點(diǎn)以外的信號(hào)波動(dòng)趨勢(shì)無(wú)法得到精準(zhǔn)的衡量，端點(diǎn)附近的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)的值只能由已知的數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，這樣勢(shì)必會(huì)存在一定大小的誤差。因此，局域均值分解方法也存在端點(diǎn)效應(yīng)的問(wèn)題。為了有效抑制LMD的端點(diǎn)飛翼，筆者提出了一種相似波形加權(quán)平均的方法對(duì)信號(hào)的端點(diǎn)進(jìn)行延拓，該方法綜合考慮了信號(hào)的內(nèi)在規(guī)律及其在端點(diǎn)處的發(fā)展趨勢(shì)，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證了該方法是非常有效的。

2 改進(jìn)的LMD算法

LMD方法與EMD（經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解)方法類(lèi)似，在分解過(guò)程都會(huì)存在著端點(diǎn)效應(yīng)，因此都需要對(duì)信號(hào)的端點(diǎn)處進(jìn)行處理。針對(duì)EMD方法的端點(diǎn)效應(yīng)已經(jīng)提出了很多改進(jìn)的辦法，如：三次樣條插值法［9］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓法、極值點(diǎn)延拓法［10］等，這些方法都取得了一定的效果，但也存在著不足，如：鏡像延拓法在處理短數(shù)據(jù)時(shí)效果較差［11］；極值點(diǎn)延拓法只考慮了信號(hào)邊緣處的變化趨勢(shì)，沒(méi)有考慮到信號(hào)的內(nèi)在規(guī)律［12］等。根據(jù)EMD改進(jìn)辦法的經(jīng)驗(yàn)與不足，結(jié)合LMD產(chǎn)生端點(diǎn)效應(yīng)的原因，筆者提出一種相似波形加權(quán)平均的端點(diǎn)延拓法來(lái)改善其端點(diǎn)效應(yīng)的影響。

在詳細(xì)描述算法之前，先作如下假設(shè)，設(shè)s1（t)，s2（t)為時(shí)間軸上長(zhǎng)度均為l的兩個(gè)信號(hào)。取s1（t)上坐標(biāo)為（t1，s1（t1))的點(diǎn)p1，s2（t)上坐標(biāo)為（t2，s2（t2))的點(diǎn)p2，且滿(mǎn)足條件t1≠t2，但s1（t1)＝s2（t2)。不妨假設(shè)t1＜t2，將信號(hào)s1（t)沿時(shí)間軸t向右平移（t2-t1)個(gè)單位，使得p1與p2兩點(diǎn)重合，則信號(hào)s1（t)與信號(hào)s2（t)針對(duì)點(diǎn)p1（或點(diǎn)p2)的波形匹配度m可以定義為：

由上式可以看出，信號(hào)s1（t)與s2（t)的匹配度越高，m的值就越小。

根據(jù)信號(hào)分析理論可知，相似的波形在信號(hào)中會(huì)反復(fù)出現(xiàn)，因此可以根據(jù)這一規(guī)律，先找到這些與端點(diǎn)處波形相似的子波，然后對(duì)其進(jìn)行加權(quán)求平均得到一個(gè)平均波，再用該平均波對(duì)信號(hào)的端點(diǎn)進(jìn)行延拓。下面以左端點(diǎn)為例，詳細(xì)介紹本文提出的算法，設(shè)原始信號(hào)為x（t)：

1)以信號(hào)的左端點(diǎn)x（t0)為起點(diǎn)，向右取x（t)的部分曲線段，設(shè)該曲線段為w（t)，其中w（t)需包含且僅包含一個(gè)極值點(diǎn)（極大值或極小值均可)和一個(gè)過(guò)零點(diǎn)。

2)設(shè)曲線段w（t)的右端點(diǎn)是一個(gè)過(guò)零點(diǎn)，將其記為x（tn)。取w（t)的中間點(diǎn)x（tm)，其中tm＝（t0＋tn)／2。以x（tm)為參考點(diǎn)，沿著時(shí)間軸t向右平移子波w（t)，當(dāng)出現(xiàn)信號(hào)x（t)上某一點(diǎn)x（ti)與x（tm)重合時(shí)，取以點(diǎn)x（ti)為中點(diǎn)且與w（t)等長(zhǎng)度的子波，記為wi（t)。計(jì)算出wi（t)與w（t)的波形匹配度mi，并存儲(chǔ)該波形匹配度mi與wi（t)的前一小段數(shù)據(jù)波（取此段波形長(zhǎng)度為0.1l)，將這些長(zhǎng)度為0.1l的左鄰數(shù)據(jù)波依次記為v1（t)，v2（t)，…，vk（t)，最后得到一個(gè)如下的數(shù)據(jù)對(duì)集合：

3)若集合［V，m］為空，說(shuō)明原始信號(hào)波形極不規(guī)則，不宜采用此方法，則不對(duì)其延拓，轉(zhuǎn)5)。

4)若集合［V，m］不為空，則按求得的所有波形匹配度的值由小到大進(jìn)行排序，得到［V'，m'］，取出［V'，m'］的前n個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)，其中n＝。計(jì)算出這n個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)中所有子波的加權(quán)平均值，得到一個(gè)平均波vp，然后用vp對(duì)信號(hào)的x（t)的左端點(diǎn)進(jìn)行延拓。

5)延拓結(jié)束。

同理對(duì)信號(hào)x（t)的右端點(diǎn)進(jìn)行延拓。

3 實(shí)驗(yàn)仿真及結(jié)果的對(duì)比分析

3.1 腦電信號(hào)數(shù)據(jù)

為了驗(yàn)證該延拓算法在腦電信號(hào)處理中的有效性，筆者采用了來(lái)自美國(guó)加州理工學(xué)院的一組公開(kāi)腦電（EEG)信號(hào)數(shù)據(jù)作為對(duì)象進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并且將結(jié)果和傳統(tǒng)的LMD分解方法的分解結(jié)果做比較。該數(shù)據(jù)集的受試人為8名癲癇病人，其中4名男性4名女性，平均年齡30.87±15.27（最小的為6歲，最大的為51歲)，無(wú)其他生理或心理疾病。實(shí)驗(yàn)中，采用國(guó)際10～20電極系統(tǒng)，導(dǎo)聯(lián)數(shù)為64，抽樣頻率為102.4Hz，參考電極置耳垂，數(shù)據(jù)采樣時(shí)間為3min（癲癇發(fā)作前1min和發(fā)作后的2min)，我們?nèi)4導(dǎo)聯(lián)處的腦電數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，帶通濾波范圍為1～50Hz，原始腦電信號(hào)波形如圖1所示。

圖1 原始EEG信號(hào)

由圖1可以看出，原始EEG信號(hào)波形復(fù)雜，加大了直接通過(guò)腦電圖對(duì)監(jiān)測(cè)對(duì)象的大腦生理及病理狀態(tài)進(jìn)行診斷的難度。

3.2 腦電信號(hào)處理及分析

對(duì)本文的腦電數(shù)據(jù)直接進(jìn)行傳統(tǒng)的LMD分解，結(jié)果如圖2所示。

圖2 傳統(tǒng)的LMD分解的結(jié)果

圖2中，原始腦電信號(hào)被分解成7個(gè)PF分量和一個(gè)殘余量。在此過(guò)程中，原始腦電信號(hào)經(jīng)過(guò)56次迭代得到第一個(gè)分量PF1，將PF1從原信號(hào)分離出來(lái)，再經(jīng)過(guò)62次迭代得到第二個(gè)分量PF2，以此類(lèi)推，不斷進(jìn)行分離，不斷迭代，直到得到殘余分量Res為止。由于端點(diǎn)效應(yīng)的存在，可以看出，PF7和殘余量Res的幅值在邊緣出現(xiàn)了明顯的發(fā)散現(xiàn)象，這說(shuō)明分解受到了端點(diǎn)效應(yīng)的影響。

用筆者提出的方法對(duì)原始腦電信號(hào)先端點(diǎn)延拓后再進(jìn)行LMD分解，得到的分解結(jié)果如圖3所示。

圖3 端點(diǎn)延拓后的LMD分解結(jié)果

在圖3中，對(duì)原始腦電信號(hào)經(jīng)過(guò)端點(diǎn)延拓后的LMD分解，得到6個(gè)PF分量和一個(gè)殘余分量。我們?cè)O(shè)置的迭代終止條件為1-δ≤a1n（t)≤1＋δ，其中δ＝0.001，經(jīng)過(guò)24次迭代得到第一個(gè)分量PF1，把PF1從原腦電信號(hào)中分離出來(lái)，再經(jīng)過(guò)28次迭代得到第二個(gè)分量PF2，不斷分離，不斷迭代，直到能夠得到殘余分量Res為止。可以看到，該殘余量接近零，從而也說(shuō)明應(yīng)用該方法，端點(diǎn)效應(yīng)得到了抑制。

將通過(guò)傳統(tǒng)LMD和延拓端點(diǎn)的LMD分解得到的PF分量和原始的腦電信號(hào)做相關(guān)性分析，得各相關(guān)系數(shù)如下表1所示。

表1 兩種LMD方法分解相關(guān)度比較

由上表可以看出，對(duì)于兩種LMD分解，得到殘余量Res和原信號(hào)的相關(guān)度都比較小，可以視為偽分量，應(yīng)予以去除。端點(diǎn)延拓算法得到的相關(guān)系數(shù)值則更低，說(shuō)明其和原始信號(hào)的相關(guān)程度更低，因而說(shuō)明分解的更加徹底，特征信息更加突出。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)采用LMD方法處理腦電信號(hào)的時(shí)候，在分解過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題，筆者提出了一種基于相似波形加權(quán)平均的延拓算法，該算法綜合考慮了腦電信號(hào)的內(nèi)在規(guī)律及其在端點(diǎn)處的變化趨勢(shì)，使最終獲得的端點(diǎn)處數(shù)據(jù)更符合原數(shù)據(jù)自然走向，同時(shí)給出了波形匹配度的概念。利用該方法編制的LMD分解程序?qū)δX電信號(hào)進(jìn)行仿真，并且和傳統(tǒng)的不做延拓的LMD分解結(jié)果作了比較，仿真結(jié)果表明利用該方法延拓分解得到的PF分量在端點(diǎn)處不會(huì)發(fā)生明顯發(fā)散，大大降低端點(diǎn)效應(yīng)的影響，對(duì)分解得到的PF分量和原信號(hào)做相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)后的方法得到的PF分量特征更加明顯。

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