吳海燕

(哈爾濱德強商務(wù)學院)

0 引言

隨著人們生活水平的日益提高，葡萄酒現(xiàn)今已融入千家萬戶，所以對葡萄酒質(zhì)量的評價顯得尤為重要.而釀酒葡萄的好壞直接影響到葡萄酒的質(zhì)量，如何根據(jù)所釀葡萄酒的質(zhì)量及釀酒葡萄的理化指標對釀酒葡萄進行分級隨之成為大家關(guān)注的問題.利用2012全國數(shù)學建模競賽A題所提供的某一年份一些葡萄酒的評價結(jié)果及該年份這些葡萄酒和釀酒葡萄的成分數(shù)據(jù)，采用統(tǒng)計學中的Frank Wilcoxon秩和檢驗和多元統(tǒng)計分析方法對釀酒葡萄進行了分級.

該文第一部分利用Frank Wilcoxon秩和檢驗對兩組評酒員的評價結(jié)果的差異性進行了判別，F(xiàn)rank Wilcoxon秩和檢驗無需驗證樣本所在的總體是否服從正態(tài)分布，檢驗理論簡單，過程計算量小，是統(tǒng)計學中一種有效且方便的假設(shè)檢驗方法.鑒于兩組評酒員的部分評價結(jié)果存在差異性，第二部分對兩組葡萄酒樣品評價結(jié)果的變異系數(shù)進行了比較，變異系數(shù)的確定只需計算各組樣品對應(yīng)的均值及方差，為結(jié)果可信性的驗證帶來了方便，最終得出第二組評價結(jié)果的可信度更高.第三部分考慮到釀酒葡萄的理化指標多達60多項，部分理化指標之間可能存在相關(guān)性，所以首先利用主成分析法從中提取主成分，再將葡萄酒的質(zhì)量作為一級指標，采用聚類分析法，利用SPSS軟件對釀酒葡萄的進行了分級，最后的數(shù)值結(jié)果對比說明了方法的有效性.

1 Frank Wilcoxon秩和檢驗在葡萄酒評價結(jié)果是否具有顯著性差異判別中的應(yīng)用

Frank Wilcoxon秩和檢驗是統(tǒng)計學中一種有效且方便的檢驗方法，它無需考慮樣本來自的總體是否為正態(tài)總體，所以適用范圍較廣.

1.1 秩和檢驗的原理及步驟

步驟1 在顯著性水平α=0.05的條件下，對檢驗假設(shè)H0:μ1= μ2，H1:μ1≠μ2進行檢驗，其中μ1，μ2分別為兩個總體的均值.

步驟2 對兩組樣本數(shù)據(jù)進行編秩.即將兩組評酒員對每個樣品的評價結(jié)果的總分作為兩個總體的樣本，n1，n2分別為第一組和第二組的樣本容量.將兩組樣本值混合后按照從小到大的次序編號排列成如下形式:x1＜x2＜… ＜xn，其中 x1的下標 i即為 xi的秩，i=1，2，…，n，n=n1+n2.為了結(jié)果的可靠性，若遇到樣本值相同的情況，對這些樣本的秩的定義為下標的平均值.

步驟3 求樣本值的秩和及其分布.鑒于n1=n2，該文選取求第一組樣本值的秩和，記為R1，R1的觀測值記為r1.由Frank Wilcoxon秩和檢驗的理論可知當H0為真時，R1近似服從正態(tài)分布 N(μR1，)，其中

k表示秩相同的組的個數(shù)，ti(i=1，2，…，k)表示第i組中具有相同秩的樣本的個數(shù).

1.2 兩組評價結(jié)果是否具有顯著性差異判別舉例及最終結(jié)果

例1 以紅葡萄酒的樣品1為例，對兩組的評價結(jié)果是否具有顯著性差異進行判別.

解 首先將兩組樣本值混合，按自小到大的次序排序，得出各樣本值的秩見表1.

表1

由(1)和(2)式得μR1=10×21/2=105，=174.7.當 H0為真時，近似地有 R1～N(105，174.7)，拒絕域為1.96.現(xiàn)在R1的觀察值為r1=89，得=1.16＜1.96，故接受H0，認為兩組評酒員的評價結(jié)果無顯著性差異.

例1針對紅葡萄酒的樣品1具體給出了評價結(jié)果是否具有顯著性差異的判別結(jié)果.為了說明方法的有效性，利用C語言編程計算出了剩余的紅葡萄酒和白葡萄酒的樣本的評價結(jié)果是否有顯著性差異的判別結(jié)果.結(jié)果顯示:28個白葡萄酒的樣品中，僅有2個樣品的評價結(jié)果有顯著性差異，其余26組均無顯著性差異;27個紅葡萄酒的樣品中，有7個樣品的評價結(jié)果有顯著性差異，其余的20組均無顯著性差異.

鑒于部分結(jié)果存在差異性，下面將對兩組評價結(jié)果的可信性進行分析，以判別用哪組評價結(jié)果作為葡萄酒質(zhì)量的衡量標準.

2 兩組評價結(jié)果的可信性分析

鑒于所給評價結(jié)果數(shù)據(jù)是兩組評酒員分別對每個樣品的澄清度、色調(diào)、純正度、濃度、質(zhì)量、純正度、濃度、持久性、質(zhì)量和平衡 /整體評價等方面分別打分，再求和得到總分，所以該文通過對反映每個樣品品質(zhì)的參數(shù)求變異系數(shù)，再將各參數(shù)的變異系數(shù)求和得到該樣品的變異系數(shù).變異系數(shù)越大，可信度越低;變異系數(shù)越小，可信度越高.下面以紅葡萄酒樣品13為例對其變異系數(shù)做詳細分析:

設(shè) αij(i=1，2，…，20;j=1，2，…，10)表示第i個評酒員對第j個參數(shù)的評分，(i=1，2，…，m為第一組的分數(shù)，剩余的為第二組的分數(shù))，則樣品第j個參數(shù)得分的真值為，樣品第j個參數(shù)得分的真方差為DEj)2，樣品第j個參數(shù)的變異系數(shù)為

通過Excell數(shù)據(jù)整合處理，得到了紅葡萄酒樣品13的各參數(shù)的變異系數(shù)，見表2.

表2 紅葡萄酒樣品13的各參數(shù)的變異系數(shù)對照表

每個樣品評價結(jié)果的變異系數(shù)為其各參數(shù)變異系數(shù)之和.為了使結(jié)果更有說服力，更直觀的說明兩組評價結(jié)果變異系數(shù)的大小關(guān)系，將兩組紅白葡萄酒樣品的變異系數(shù)值用Excell生成圖的形式表示，見圖1和圖2.

圖1 兩組紅葡萄酒樣品的變異系數(shù)對照圖

圖2 兩組白葡萄酒樣品的變異系數(shù)對照圖

顯然，紅白葡萄酒樣品的評價結(jié)果均為第二組的變異系數(shù)較小，可信度更高，所以下面將以第二組的評價結(jié)果作為葡萄酒質(zhì)量的衡量標準，進一步對釀酒葡萄進行分級.

3 主成分分析和聚類分析方法在釀酒葡萄分級中的應(yīng)用

鑒于本部分要對釀酒葡萄進行分級，而影響到釀酒葡萄質(zhì)量的理化指標變量多達五六十個，所以首先考慮應(yīng)用主成分分析的方法，篩選出理化指標變量中的主成分.再對新得到的主成分變量進行系統(tǒng)聚類分析和均值聚類分析，進而對釀酒葡萄進行分級.下面首先根據(jù)兩種方法的原理，建立該文的相關(guān)數(shù)學模型，隨后利用統(tǒng)計分析軟件SPSS來選出主成分，再利用已經(jīng)標準化的原來指標計算出紅和白釀酒葡萄樣品的主成分的參數(shù)值，進而對其進行聚類分析，得到釀酒葡萄的分級結(jié)果.

3.1 主成分分析的原理及相關(guān)數(shù)據(jù)結(jié)果

3.1.1 主成分分析的原理

主成分分析法的核心思想是在力求數(shù)據(jù)信息丟失最少的前提下，對高維變量空間進行降維處理，即經(jīng)線性變換后，以少數(shù)新的低維綜合變量取代原始高維變量.具體步驟如下:

步驟1 數(shù)據(jù)標準化，將釀酒葡萄的理化指標對應(yīng)的原始數(shù)據(jù)變量 xi，i=1，2，…，63 經(jīng)Excell簡單處理后，再對其進行標準化處理，即zi，其中，Si分別為xi的樣本均值與樣本標準差.

步驟2 求樣本的相關(guān)系數(shù)矩陣R，R應(yīng)為63階的對稱矩陣，且對角線上的元素均為1.

步驟3 求樣本的相關(guān)系數(shù)矩陣R的特征值λi，i=1，2，…，63，其中λ1≥λ2≥…≥λm≥…≥0.

步驟4 求λi對應(yīng)的標準化特征向量li，i=1，2，…，63.

步驟5 選定主成分的累計貢獻率的標準，以大于或等于80%為宜，來定主成分中變量的個數(shù)m.

步驟6 最后得到主成分為yi=，i=1，2，…，m.

3.1.2 相關(guān)數(shù)據(jù)結(jié)果

以主成分的貢獻率85% 為標準，對主成分進行抽取，通過SPSS軟件分析后得到紅葡萄的主成分個數(shù)為12個，白葡萄的主成分個數(shù)為13個.即可以分別用12和13個新的變量來表示原來紅葡萄和白葡萄的63個對應(yīng)的理化指標.在進行分析的過程中，同時得到了樣本的相關(guān)系數(shù)矩陣特征值的碎石圖(如圖3)和主成分累計貢獻率的選取標準(以紅葡萄為例，見表3).

圖3 紅、白葡萄樣品經(jīng)主成分分析后得到的相關(guān)系數(shù)矩陣特征值的碎石圖

表3 紅葡萄的主成分的累計貢獻率與成分個數(shù)選取的對比

續(xù)表

3.2 系統(tǒng)聚類分析法的原理及相關(guān)數(shù)據(jù)結(jié)果

3.2.1 系統(tǒng)聚類分析的原理

系統(tǒng)聚類分析法是較常用的一種聚類方法，其基本思想是:首先將每個樣本各視為一類，定義類與類之間的距離，將距離最短的兩類合并為一個新類;再計算新類與其他類之間的距離，將距離最短的兩類合并為一個新類.如此下去，直到所有樣本全部合并為一個大類為止.最后，再根據(jù)事先給定的分類臨界值，確定分類，具體步驟如下:

步驟1 計算樣本兩兩之間的距離.

步驟2 將每個樣本各作為一類.

步驟3 將距離最近的兩類合并為一個新類.

步驟4 若類的個數(shù)等于1，轉(zhuǎn)為步驟5.否則，計算新類與其他各類之間的距離，轉(zhuǎn)為步驟3.

步驟5 畫聚類圖.

步驟6 根據(jù)給定的分類臨界值，確定最終分類結(jié)果.具體的分類原理結(jié)構(gòu)聚類圖(以白葡萄的聚類分析圖為例，如圖4所示).

圖4 白葡萄聚類分析的聚類圖

3.2.2 釀酒葡萄的分級結(jié)果

根據(jù)主成分分析法得到的主成分數(shù)據(jù)，同時將葡萄酒的質(zhì)量的評價結(jié)果作為一級指標利用聚類分析法對釀酒葡萄進行了等級劃分.下面是在臨界值為4(即將釀酒葡萄分為4類)的條件下進行分級得到的結(jié)果:

紅葡萄:{3，5，6，11，17，18，23}、{2，8，14，16，19，20，21，22，27}、{10}、{1，4，7，9，12，13，15，24，25，26}.

白葡萄:{1，8，13，15，16，18，19}、{27}、{3，24，28}、{2，4，5，6，7，9，10，11，12，14，17，20，21，22，23，25，26}

當然，只要事先選定一個臨界值，分級的結(jié)果就會有所調(diào)整，但總的方向是一致的.

4 結(jié)論

該文基于Frank Wilcoxon秩和檢驗，根據(jù)2012全國數(shù)學建模競賽A題所提供的某一年份一些葡萄酒的評價結(jié)果及該年份這些葡萄酒和釀酒葡萄的成分數(shù)據(jù)，利用主成分分析及聚類分析對釀酒葡萄進行了分級，相關(guān)數(shù)值結(jié)果得到了專家的認可，獲得了省級一等獎.

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