李彥青 殷德順 吳 浩
(河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院,南京 210098)
最近,分?jǐn)?shù)階微積分正在被廣泛地應(yīng)用于粘彈性材料的研究中[1-4].人們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型具有參數(shù)少、形式簡單等優(yōu)點,并且模型中的參數(shù)可以指代材料力學(xué)性質(zhì),使定量描述力學(xué)性質(zhì)成為可能.但是常分?jǐn)?shù)階中階數(shù)是不變的,不考慮力學(xué)性質(zhì)隨時間變化的情況,而在實際中,材料在受力過程中,力學(xué)性質(zhì)是隨時間變化的,這意味著在受力過程中階數(shù)也應(yīng)該是隨時間變化的,這就需要考慮采用變分?jǐn)?shù)階模型來定量描述材料力學(xué)性質(zhì)的變化情況.
變分?jǐn)?shù)階微積分本構(gòu)模型也開始引起廣大研究者的興趣[5],變分?jǐn)?shù)階微積分是分?jǐn)?shù)階微積分的最新發(fā)展,它的階數(shù)不但不再是整數(shù)而且可以隨時間或空間變化,即可以是一個變量.所謂變分?jǐn)?shù)階模型就是希望通過階數(shù)的變化來描述變形過程中力學(xué)性質(zhì)的演變.這一方面的研究在國際上剛剛起步,還沒有引起國內(nèi)學(xué)者的重視,本文希望建立變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型,可以定量描述粘彈性材料力學(xué)性質(zhì)演變.
本文在常分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上提出了變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型.從理論上講,可以通過變分?jǐn)?shù)階階數(shù)的變化來展示材料力學(xué)性質(zhì)的變化,但其結(jié)果是否可靠是個問題.通過對塑性金屬銅、鋁、低碳鋼進行了一系列的等應(yīng)變率加載試驗,并用本文所提的變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型進行分析,探求其在受力過程中力學(xué)性質(zhì)的演變與實際是否相符,以此來驗證該模型是否可以用來描述材料力學(xué)性質(zhì)演變.
本文所研究的階數(shù)的變化范圍為0到1,所以該模型也可用于其他粘彈性材料在具有時間效應(yīng)的受力及變形過程中力學(xué)性質(zhì)演變的分析,如巖土及高分子材料的應(yīng)力松弛與蠕變,等應(yīng)變率加載等.之所以選擇金屬作為研究對象是因為:①固體力學(xué)理論來源于塑性金屬;②塑性金屬性質(zhì)穩(wěn)定,而且對于金屬的性質(zhì)研究較為透徹.
變分?jǐn)?shù)階微積分是在常分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,目前對于變分?jǐn)?shù)階有很多定義[5-9],而階數(shù)α(t,τ)一般有3種形式[10]:α(t,τ)=α(t),α(t,τ)=α(τ),α(t,τ)=α(t-τ).而第1種形式?jīng)]有階數(shù)記憶性,第2種形式具有較弱的階數(shù)記憶性,第3種形式具有較強的階數(shù)記憶性.所謂階數(shù)記憶性是指歷史時間點的階數(shù)計算結(jié)果對當(dāng)前時間的計算結(jié)果有影響,而記憶性強弱是由階數(shù)改變產(chǎn)生的影響大小決定的.在本文中采用第3種形式.
本文采用Caputo型分?jǐn)?shù)階微分理論算子,對函數(shù)f(t)的α(t)階積分在α(t,τ)=α(t-τ)時的定義為
當(dāng)f(t)=at時,令公式(1)中的t-τ=x,則公式(1)變?yōu)?/p>
將公式(2)寫成疊加的形式,疊加形式所表示的物理意義則可由圖1來說明.令g(tk,αk)=),則可得
公式(3)中的a(t)按照表1變化.
表1 階數(shù)α(t)的取值
圖1為疊加形式的變分?jǐn)?shù)階函數(shù)物理意義的示意圖.圖1中的黑實線為新的變分?jǐn)?shù)階微分,虛線為階數(shù)分別為α1、α2、α3的常分?jǐn)?shù)階微分.從圖中可以看出黑色實線是由常分?jǐn)?shù)階部分曲線平移組成.圖1(a)中,按時間的先后順序,階數(shù)的順序為α1、α2、α3,如果順序變?yōu)棣?、α1、α3,則變分?jǐn)?shù)階就為圖1(b).通過圖1(a)與(b)的對比可以發(fā)現(xiàn),雖然t2到t3的階數(shù)都為α3,但是由于0到t2之間的階數(shù)不同,導(dǎo)致變分?jǐn)?shù)階的結(jié)果不同.由此可以看出新的變分?jǐn)?shù)階對階數(shù)有記憶性,再者新的變分?jǐn)?shù)階由常分?jǐn)?shù)階微分直接拓展而來,與常分?jǐn)?shù)階有直接的聯(lián)系,因此可以認(rèn)為這個定義比較適合將要建立的本構(gòu)模型.
圖1 疊加算法的物理意義示意圖
介于理想固體與理想流體之間的材料的本構(gòu)方程可以用Smit和De Vries[11]提出的“中間模型”來描述
式中,E、θ、μ均為材料常數(shù).當(dāng)α為常數(shù)時,材料的力學(xué)性質(zhì)不發(fā)生改變,因此這個模型被稱為常分?jǐn)?shù)階模型.
公式(4)的分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型能夠?qū)⒘W(xué)性質(zhì)看作一個序列,理想固體和牛頓流體位于序列的兩端.在一系列的參數(shù)α中,不同的α代表了材料不同的力學(xué)性質(zhì).這個模型最主要的創(chuàng)新點在于它可以將材料的力學(xué)性質(zhì)在理想固體和牛頓流體之間找到確切的定位,如圖2所示.
圖2 材料力學(xué)性質(zhì)劃分
當(dāng)公式(4)中的ε=αt時,即等應(yīng)變率加載時,公式(4)可變形為
由公式(5)可得,在等應(yīng)變率加載過程,應(yīng)力逐漸增大,常分?jǐn)?shù)階模型可描述等應(yīng)變率加載過程中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系曲線.但是公式(5)所提模型中的階數(shù)為常數(shù),意味著材料的力學(xué)性質(zhì)在等應(yīng)變率加載過程中均保持不變,而這顯然與實際不符,因此有必要探討采用變分?jǐn)?shù)階微積分理論,考慮材料在變形過程中力學(xué)性質(zhì)的變化.
在常分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型中,階數(shù)指代材料力學(xué)性質(zhì),對于材料性質(zhì)的認(rèn)識從定性認(rèn)識變?yōu)槎空J(rèn)識,但是仍然不能定量描述力學(xué)性質(zhì)變化過程,因此在這里考慮建立變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型.
Ingman[2]和Samko[5]曾經(jīng)提出
因為,式中,E 量綱是[應(yīng)力][時間]α(t),所以,其物理意義是不確定的.另外,這個變分?jǐn)?shù)階模型仍然不能反映材料力學(xué)性質(zhì)演變.
本文認(rèn)為正確的模型應(yīng)該為
與公式(4)類似,公式(7)中的力學(xué)參數(shù)都有明確的物理意義.
在等應(yīng)變率加載情況下,根據(jù)公式(2),則公式(7)寫為
公式中的,a為應(yīng)變率.
根據(jù)分?jǐn)?shù)階模型的物理意義,初始階數(shù)α1=0,在實驗曲線達(dá)到水平狀態(tài)時,材料力學(xué)性質(zhì)為牛頓流體,此時階數(shù)為1.因此參數(shù)E可以由前幾個線性狀態(tài)下的實驗點得到:
這里,σ1和ε1為材料處于彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)值.參數(shù)θ的值為
在這節(jié)中將用變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型對塑性金屬在等應(yīng)變率拉伸時的力學(xué)性質(zhì)演變進行分析、研究,以此來檢驗?zāi)P褪欠窨梢杂脕砻枋霾牧狭W(xué)性質(zhì)演變.
這里對3種金屬,包括銅、低碳鋼和鋁合金,進行了等應(yīng)變率拉伸試驗.試驗樣品的直徑為10mm,長度分別為50mm、100mm.拉伸試驗分為兩組,每組3次.兩組拉伸時的應(yīng)變率不同:銅為0.000 133/s和0.001 33/s;低碳鋼為0.000 1/s和0.001/s,鋁合金為0.000 2/s和0.00 2/s.
圖3~5為上述金屬試件拉伸試驗的應(yīng)力-應(yīng)變結(jié)果.通過這些曲線可以發(fā)現(xiàn),在加載初期,試件呈現(xiàn)出固體力學(xué)中的彈性狀態(tài),但是一旦超過這個階段的極限,材料性質(zhì)發(fā)生突變,而后進入非線性階段,很明顯在整個加載過程中材料的性質(zhì)是不斷變化的.圖3顯示應(yīng)變率對銅有明顯的影響,而從圖4與圖5中可以看出,鋁合金和低碳鋼對應(yīng)變率的依賴性比較弱.
圖3 銅的應(yīng)力-應(yīng)變曲線
基于公式(8),當(dāng)銅的應(yīng)變率為0.000 133/s時,其應(yīng)變-階數(shù)曲線如圖6所示.由于階數(shù)可以刻畫材料的力學(xué)性質(zhì),因此,可以根據(jù)圖6來描繪銅在加載過程中性質(zhì)的變化過程.由圖6可以看出整個力學(xué)性質(zhì)的變化過程可以分為3個階段:第1階段,階數(shù)為0,是線彈性階段;在第2階段,階數(shù)發(fā)生突變,對應(yīng)于材料晶格錯位,材料性質(zhì)發(fā)生突變;第3階段,階數(shù)按近似線性均勻變化,材料的力學(xué)性質(zhì)也均勻變化.并且將第3階段的階數(shù)-應(yīng)變進行線性擬合,再回代到上述本構(gòu)模型中,在圖7中給出了擬合曲線與試驗點的比對圖.可以發(fā)現(xiàn),變分?jǐn)?shù)階模型的階數(shù)變化可以描述材料力學(xué)性質(zhì)的演變過程.
上述結(jié)論僅僅是對銅在等應(yīng)變率拉伸過程中力學(xué)性質(zhì)演變一個分析,對于其他的金屬材料是否會得到類似的結(jié)論,需要對其他金屬材料的試驗數(shù)據(jù)進行分析,因此本文對低碳鋼和鋁合金也做了計算對比.
圖8~11中給出的是,試驗的應(yīng)變率分別為0.000 1/s(低碳鋼)和0.000 2/s(鋁合金)的試驗數(shù)據(jù)處理結(jié)果.在低碳鋼的試驗中,低碳鋼的晶格錯位明顯,力學(xué)性質(zhì)在第二階段特別明顯,而變分?jǐn)?shù)階模型的階數(shù)在這一階段的突變也很明顯,與之對應(yīng),再次證明了模型是可信的.
在不同的應(yīng)變率加載情況下,金屬材料的力學(xué)性質(zhì)演變是否會受到應(yīng)變率的影響,也是需要進行探討.在這里,對同種金屬材料在不同應(yīng)變率下的試驗數(shù)據(jù)進行了對比分析.圖12給出的是,銅在應(yīng)變率分別為0.000 133/s和0.001 33/s時的階數(shù)-應(yīng)變曲線,可以發(fā)現(xiàn)兩條階數(shù)-應(yīng)變曲線的走勢幾乎相同.從圖14(應(yīng)變率分別為0.000 2/s和0.001/s)低碳鋼的試驗及分析中也可以發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象.這進一步說明,變分?jǐn)?shù)階模型可以用來描述塑性金屬力學(xué)在不同應(yīng)變率情況下的性質(zhì)演變,并且在等應(yīng)變率加載條件下,塑性金屬力學(xué)性質(zhì)演變基本不受應(yīng)變率的影響.
通過上述金屬的試驗驗證,說明了變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型是可以用來定量描述力學(xué)性質(zhì)演變的.并且在等應(yīng)變率加載過程中,可以認(rèn)為金屬材料的性質(zhì)變化可以分為3個階段,第1個階段為線彈性階段;第2階段,材料從彈性變?yōu)樗苄缘倪^程稱為屈服階段,在這一階段金屬的晶格進行錯位,力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生突變,這與實驗相吻合;第3階段,力學(xué)性質(zhì)按線性變化.這些數(shù)據(jù)有力地說明了變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型是可以用來定量描述力學(xué)性質(zhì)演變的.另外加載時的應(yīng)變率對同種金屬材料的力學(xué)性質(zhì)演變基本沒有影響.
在常分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上提出了可以描述力學(xué)性質(zhì)演變的變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型.并用金屬材料試驗進行了驗證,發(fā)現(xiàn)該模型的階數(shù)能夠定量描述塑性金屬力學(xué)性質(zhì)的演變.
用本文提出的變分?jǐn)?shù)階模型對銅、鋁合金、低碳鋼在等應(yīng)變率拉伸時的試驗數(shù)據(jù)進行處理后發(fā)現(xiàn),階數(shù)-時間曲線的變化可以分為3個階段,對應(yīng)力學(xué)性質(zhì)的變化也可以分為3個階段:第1階段,力學(xué)性質(zhì)保持不變,為線彈性階段;第2階段,對應(yīng)拉伸過程中晶格錯位,力學(xué)性質(zhì)發(fā)生突變;第3階段,力學(xué)性質(zhì)按線性變化階段.在等應(yīng)變率加載條件下,金屬力學(xué)性質(zhì)變化基本不受應(yīng)變率影響.
在本文中所研究的等應(yīng)變率試驗中,應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線都達(dá)到一個極值點,而對于實際中未達(dá)到極值點的情況,則可以根據(jù)在第3階段中力學(xué)性質(zhì)按線性變化這一點,對相應(yīng)的應(yīng)力或應(yīng)變進行預(yù)測.
另外,因為該模型階數(shù)的變化范圍為0到1,所以該模型可用于其他粘彈性材料在具有時間效應(yīng)的受力及變形過程中力學(xué)性質(zhì)演變的分析,如巖土及高分子材料的應(yīng)力松弛與蠕變,等應(yīng)變率加載等.在此,筆者只是對一維的變分?jǐn)?shù)階本構(gòu)模型進行了分析,對于三維模型的建立,還需要進行更深入的研究.
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