張立萍

（赤峰學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

FLMS算法的Matlab設(shè)計(jì)與仿真

張立萍

（赤峰學(xué)院 物理與電子信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

自適應(yīng)濾波技術(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于數(shù)字通信、雷達(dá)和工業(yè)控制等領(lǐng)域.本文以隨機(jī)干擾噪聲信號(hào)作為研究對(duì)象，利用Matlab工具設(shè)計(jì)了FLMS去噪自適應(yīng)濾波器的程序，并進(jìn)行了仿真，為硬件實(shí)現(xiàn)提供了有力的參考.

自適應(yīng)濾波器；LMS算法；FLMS算法

1 快速塊FLMS算法簡(jiǎn)介

LMS算法是用均方誤差來做為性能指標(biāo)，也就是使濾波器的期望輸出值和實(shí)際輸出值之間的均方誤差(Mean Squared Errer,MSE)達(dá)到最小.

設(shè)自適應(yīng)濾波器的輸入矢量為：

加權(quán)矢量(即濾波器參數(shù)矢量)為：

濾波器的輸出為：

誤差信號(hào)e(n)定義為期望輸出d(n)與濾波器實(shí)際輸出之間的誤差，即

W(n)是常數(shù)矢量的情況下，其均方誤差可表示為

權(quán)矢量遞推公式，即LMS算法遞推公式為：

雖然LMS算法計(jì)算簡(jiǎn)單，但是收斂速度慢.為了克服LMS算法收斂緩慢的問題，實(shí)現(xiàn)具有長(zhǎng)記憶功能的自適應(yīng)FIR濾波器，提出了塊LMS處理算法，就是將L個(gè)權(quán)系數(shù)構(gòu)成一塊.在處理每個(gè)塊時(shí)，令各權(quán)值保持不變，而每個(gè)塊處理完后權(quán)值才改變.設(shè)第k塊處理期間自適應(yīng)濾波器的輸出為

其中，W(k)=[w0(k),w1(k),…,wL-1(k)T為第k塊處理期間的時(shí)域權(quán)矢量，其各元素wl(k)(l=0,1,…,L-1)保持為常數(shù).第k塊處理后，權(quán)矢量調(diào)整的迭代公式為

式中?(k)向量是互相關(guān)的.

通過數(shù)字信號(hào)處理理論可知：快速傅立葉變換（即FFT算法）是實(shí)現(xiàn)卷積和相關(guān)的快速運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)FFT可以采用重疊保留法和重疊相加法，其中重疊保留法較為常用.盡管重疊保留法的重疊部分長(zhǎng)度可為任意值，但是運(yùn)算效率最高的是1/2重疊（即塊的大小等于系數(shù)的個(gè)數(shù)）.快速LMS（即FLMS）算法是時(shí)域塊處理LMS(BLMS)算法在頻域的快速實(shí)現(xiàn).下面將式(2)的輸出改寫成濾波器輸入與權(quán)系數(shù)的線性卷積公式如下：

式（4）線性卷積可通過重疊保留法，用FFT實(shí)現(xiàn).由于1/2的數(shù)據(jù)重疊是最有效的，即在M(M=L)點(diǎn)濾波器抽頭系數(shù)后補(bǔ)M個(gè)零，再進(jìn)行N點(diǎn)的FFT，這里N=2M，即：

令X(k)為第k-1塊與第k塊輸入經(jīng)2M點(diǎn)FFT后所構(gòu)成的對(duì)角陣，即：

這樣，式(4）線性卷積的頻域?qū)崿F(xiàn)如下式，它為第 塊的濾波輸出值,是 維向量：

因?yàn)樽钋懊娴腗個(gè)元素進(jìn)行循環(huán)卷積，式中只需保留最后M個(gè)元素即可.

下面考慮式(3)中?(k)的線性相關(guān).對(duì)于第k塊，定義M'1期望響應(yīng)向量：

及相應(yīng)的M'1誤差信號(hào)向量：

如果注意到，在式(7)所述線性卷積實(shí)現(xiàn)中，開始的M個(gè)元素已從輸出中廢棄掉，則可將誤差信號(hào)e(k)向量變換到頻域，得

由于線性相關(guān)實(shí)際上是與線性卷積相似的一種運(yùn)算形式，因此可將重疊存儲(chǔ)方法用于矢量?(k)中，則?(k)可用IFFT計(jì)算如下：

最后，頻域權(quán)矢量調(diào)整的迭代公式為：

公式(6)、(7)、(8)、(9)、(10)就是 FLMS 自適應(yīng)濾波算法，其信號(hào)流圖如圖1所示.實(shí)際上FLMS算法是一種變換到頻域的快速算法，它與塊LMS算法有相同的收斂特性，而FLMS算法的收斂速率可以在不影響最小均方誤差條件下，通過調(diào)節(jié)每個(gè)可調(diào)權(quán)值的步長(zhǎng)來進(jìn)行調(diào)節(jié)和改善.

圖1 FLMS算法的信號(hào)流圖

2 FLMS算法的Matlab設(shè)計(jì)與仿真

本文利用MATLAB工具箱編寫.M文件FLMS.m對(duì)快速塊LMS算法進(jìn)行設(shè)計(jì)，并利用繪圖函數(shù)得到仿真波形，從而驗(yàn)證算法的可行性.其中，各參數(shù)代表的含義如下:

FLMS算法中權(quán)向量{w}的更新表達(dá)式在M文件中的實(shí)現(xiàn)代碼為:

仿真時(shí)，正弦信號(hào)為sin(0.01*Pi*t)，其中t=1:dian，加入標(biāo)準(zhǔn)白噪聲信號(hào)作為干擾信號(hào)，在Matlab中運(yùn)行FLMS.m文件，得到快速塊LMS算法的仿真結(jié)果如圖2.

圖2 FLMS算法的輸入和輸出曲線

3 結(jié)束語

下面將快速塊LMS(即FLMS)算法與傳統(tǒng)LMS算法的計(jì)算復(fù)雜性進(jìn)行比較.由于濾波器的實(shí)現(xiàn)快慢主要取決于乘法的次數(shù)，下面以塊長(zhǎng)度為N時(shí)兩種算法需要的總乘法次數(shù)進(jìn)行比較.具有N個(gè)抽頭權(quán)值（實(shí)數(shù)）的傳統(tǒng)LMS算法，每計(jì)算一個(gè)輸出需要N次乘法，同時(shí)更新一次權(quán)值需要N次乘法，所以每次迭代共要2N次乘法，而對(duì)于濾波器的N個(gè)輸出值，共需要2N2次乘法.現(xiàn)在分析FLMS算法所需的乘法次數(shù)：每個(gè)M(M=2N)點(diǎn)快速傅立葉變換（即FFT）需要約Mlog2M次乘法運(yùn)算，如果要執(zhí)行5次頻率變換，共要計(jì)算5Mlog2M次乘法，計(jì)算頻域輸出需要4M次乘法，而且計(jì)算互相關(guān)（與梯度向量估計(jì)有關(guān)）運(yùn)算也需要4M次乘法，快速塊LMS算法總共需要的乘法次數(shù)為

5Mlog2M+8M=10Nlog2(2N)+16N=10Nlog2N+26N

如果取抽頭值為1024，傳統(tǒng)LMS算法所需乘法次數(shù)大概是200萬次，快速塊LMS算法所需乘法次數(shù)大概為12.6萬次，計(jì)算速度快了15倍左右.

〔1〕杜培宇.基于自適應(yīng)濾波器的噪聲抑制技術(shù)研究[D].碩士學(xué)位論文.山東大學(xué)，2005.

〔2〕黃埔堪，陳建文，樓生強(qiáng).現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理[M].北京：電子工業(yè)出版社，2003.

〔3〕沈福民.自適應(yīng)信號(hào)處理[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2001.

〔4〕王建中，羅欣武，劉文江，等.一種改進(jìn)的DMT系統(tǒng)頻域均衡器[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2006（24）：98-101.

〔5〕齊海兵.基于FPGA的橫向LMS算法的實(shí)現(xiàn)[J].國(guó)外電子元器件，2007（1）：31-34.

TN91

A

1673-260X（2012）11-0038-02