李寶萍

（安徽三聯(lián)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230601）

常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

李寶萍

（安徽三聯(lián)學(xué)院 基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230601）

本文介紹了常微分方程的發(fā)展，數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)，通過新產(chǎn)品推廣模型、化工車間的通風(fēng)問題模型、如何確定商品價(jià)格浮動(dòng)規(guī)律模型.重點(diǎn)介紹了常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，總結(jié)了常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的重要性.

常微分方程；數(shù)學(xué)建模；模型

1 引言

微分方程作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的中心學(xué)科至今已有近300年的發(fā)展歷史，為了尋求、解決類似物體在自由下落過程中下落距離和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系；研究火箭在空中飛行時(shí)的飛行軌道等這類實(shí)際性的問題，往往就要求我們找到滿足某些特定條件的一個(gè)或多個(gè)未知數(shù)方程，為了解決這類實(shí)際問題從而產(chǎn)生了微分方程.把含有未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱之為微分方程.微分方程是在處理實(shí)際問題的過程中產(chǎn)生的,微分方程的研究又促進(jìn)實(shí)際問題的解決,同時(shí)也促進(jìn)其他學(xué)科的發(fā)展.回顧微分方程的發(fā)展歷史，我們發(fā)現(xiàn)微分方程與物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)等方面都有著密切的聯(lián)系，特別是科技的飛速發(fā)展使得微分方程的應(yīng)用更為廣泛.

隨著社會(huì)和科技的發(fā)展，無(wú)論是在各學(xué)科，還是在各行業(yè)均涌現(xiàn)出了大量的、亟待人們?nèi)パ芯亢徒鉀Q的實(shí)際課題.這就要求相關(guān)的工作人員能靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法和知識(shí)來(lái)解決所遇到的問題，從而取得的最大的社會(huì)和經(jīng)濟(jì)效益.對(duì)復(fù)雜的問題進(jìn)行研究、分析，并發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系及規(guī)律，同時(shí)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表述出來(lái)，把一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，這個(gè)問題便稱為數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model），而把建立數(shù)學(xué)模型的過程稱為數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）.數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)和實(shí)際問題的紐帶，是數(shù)學(xué)在相關(guān)領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用的媒介，數(shù)學(xué)建模有很多種分類方法，而微分方程模型是其中的重要一種.微分方程建模在解決很多實(shí)際問題時(shí)是一種特別有效的數(shù)學(xué)手段.

2 常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

用常微分方程解決實(shí)際問題一般可以分如下幾步：第一步，提出實(shí)際問題；第二步，根據(jù)實(shí)際問題的規(guī)律列出相應(yīng)的微分方程（即建立數(shù)學(xué)模型）；第三步，解出微分方程或者對(duì)方程進(jìn)行進(jìn)一步定性分析；第四步，通過方程的解（或性質(zhì)）來(lái)解釋或者預(yù)測(cè)實(shí)際問題的發(fā)展，也就是通過數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述實(shí)際現(xiàn)象.下面由不同領(lǐng)域的幾個(gè)例子來(lái)介紹常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的廣泛應(yīng)用.

2.1 新產(chǎn)品的推廣模型

在管理和經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)研究關(guān)于經(jīng)濟(jì)量的增長(zhǎng)、變化和邊際等方面的問題，我們一般可以結(jié)合實(shí)際，再建立相應(yīng)的微分方程模型，從而尋找出經(jīng)濟(jì)量的變化發(fā)展規(guī)律并做出相應(yīng)的預(yù)測(cè)和決策，新產(chǎn)品的推廣模型是經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的一種數(shù)學(xué)模型，下面我們來(lái)做些簡(jiǎn)要的介紹：

假設(shè)有一種新產(chǎn)品現(xiàn)在要推向市場(chǎng)，t時(shí)刻的銷量為x(t)，由于產(chǎn)品的性能較好，每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品，因此t時(shí)刻產(chǎn)品銷量的增長(zhǎng)率與x(t)成正比，同時(shí)，考慮到產(chǎn)品的銷售會(huì)存在一定的市場(chǎng)容量N，統(tǒng)計(jì)表明，與尚未購(gòu)買該產(chǎn)品的顧客潛在的銷售數(shù)量N-x(t)也成正比，于是有

通過分離變量、兩邊積分，可以解出

方程(1)稱為邏輯斯諦模型，通解表達(dá)式(2)稱為邏輯斯諦曲線，由

國(guó)內(nèi)外很多經(jīng)濟(jì)學(xué)家根據(jù)調(diào)查表明，很多產(chǎn)品的銷售曲線與公式(2)的曲線十分接近，按照對(duì)曲線的性狀分析，專家認(rèn)為：在新產(chǎn)品推出的初期階段應(yīng)采取小批量的生產(chǎn)并加強(qiáng)廣告宣傳力度；在產(chǎn)品用戶達(dá)到20%至80%階段，產(chǎn)品應(yīng)采取大批量的生產(chǎn)；而在產(chǎn)品用戶超過80%時(shí)，應(yīng)做適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣才能達(dá)到最大的經(jīng)濟(jì)效益.

2.2 化工車間的通風(fēng)問題模型

由于化工生產(chǎn)過程中，經(jīng)常要排出一些不利于環(huán)境的物質(zhì).為了保持車間內(nèi)的環(huán)境衛(wèi)生，必須通入大量的新鮮空氣，這就是通風(fēng)問題.

設(shè)有一個(gè)30×30×12m3的車間，其中空氣中含有0.12%的CO2,如需要在10分鐘后CO2的含量不超過0.06%.（設(shè)新鮮空氣中CO2的含量為0.04%），問每分鐘應(yīng)通入多少m3的新鮮空氣？

解 引入下列符號(hào)：

y——時(shí)間t時(shí)CO2的濃度；

a——通入的空氣量[m3/min]；

v——車間的體積[m3]；

y0——CO2的初濃度；

g——新鮮空氣CO2的濃度；

解決這個(gè)問題主要依據(jù)下列兩個(gè)物質(zhì)平衡式：

現(xiàn)在考慮在時(shí)間間隔[t,t+dt]內(nèi)CO2的進(jìn)入量與排出量.由（2）式知

CO2的進(jìn)入量=agdt

CO2的排出量=aydt

在瞬間t，CO2的總量等于vy；在瞬間t+dt，CO2的總量等于v(y+dy).所以在dt這段時(shí)間內(nèi)，CO2的增量為v(y+dy)-vy=vdy.

根據(jù)上述分析，由（1）式可得 vdy=agdt-aydt

上述方程是一階變量可分離方程.顯然初始條件是y|t=0=y0.容易求解得

上式就是這個(gè)車間中空氣中CO2的濃度y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系.

也就是說(shuō)每分鐘應(yīng)通入1500[米3]的新鮮空氣，就能在10分鐘后，使車間內(nèi)的CO2含量不超過0.06%.

實(shí)際上所需的新鮮空氣量，比上面的數(shù)要小.因?yàn)樾迈r空氣并不是象假設(shè)那樣很快地與混濁空氣混合，而是逐步地與混濁空氣混合，并且在很大程度是將它排擠出去的.

2.3 如何確定商品價(jià)格浮動(dòng)規(guī)律模型

設(shè)某種商品的供給量Q1與需求量Q2是只依賴于價(jià)格P的線性函數(shù)，并假定在時(shí)間t時(shí)價(jià)格P(t)的變化率與這時(shí)的過剩需求量成正比，試確定這種商品的價(jià)格隨時(shí)間t的變化規(guī)律.

其中a、b、c、d都是已知的正常數(shù).(1)式表明供給量Q1是價(jià)格P的遞增函數(shù)；（2）式表明需求量Q2是價(jià)格P的遞減函數(shù).

當(dāng)供給量與需求量相等時(shí)，由（1）與（2）求出平衡價(jià)格為

容易看出，當(dāng)供給量小于需求量時(shí)，即Q1

由假定知道，P(t)的變化率與Q2-Q1成正比，即有

其中 k=α(b+d),h=α(a+c)，都是正的常數(shù).

（3）式是一個(gè)一階線性微分方程.求通解如下：

如果已知初始價(jià)格P(0)=P0，則（3）式的特解為：

上式即為商品價(jià)格隨時(shí)間的變化規(guī)律.

3 結(jié)束語(yǔ)

常微分方程理論在數(shù)學(xué)建模中的廣泛應(yīng)用，將數(shù)學(xué)理論方法和生活實(shí)際巧妙地結(jié)合了起來(lái),給人們提供了一種解決問題的嶄新的思維方式.在解決實(shí)際問題的過程中應(yīng)用微分方程理論所建立的數(shù)學(xué)模型,一般都是動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)模型,整個(gè)推導(dǎo)過程相當(dāng)繁雜,但是結(jié)果極其簡(jiǎn)明,還是能提供給人們合理的解釋.因此如果能有機(jī)地將常微分方程理論與數(shù)學(xué)建模結(jié)合起來(lái),必定能使常微分方程理論在實(shí)際應(yīng)用過程中發(fā)揮更大的作用、解決更多的實(shí)際問題,從而產(chǎn)生更好的經(jīng)濟(jì)效益.

〔1〕王高雄.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1983.

〔2〕姜啟源.數(shù)學(xué)模型（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1993.

〔3〕李心燦.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用 205例[M].北京：高等教育出版社，1997.

〔4〕郭爽，侯麗英,李秀麗.常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2009（4）:57-60.

〔5〕歐陽(yáng)瑞,孫要偉.常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].宿州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（2）:146-147.

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1673-260X（2012）11-0-001-02

安徽三聯(lián)學(xué)院2010年度院級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目(10ZIGC004)