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        賠付率超額再保險風(fēng)險模型中的鞅方法

        2012-10-17 10:15:00沈亞男
        對外經(jīng)貿(mào) 2012年4期
        關(guān)鍵詞:模型

        沈亞男

        (哈爾濱商業(yè)大學(xué),黑龍江哈爾濱150028)

        一、課題研究背景

        隨著高科技的不斷發(fā)展和廣泛應(yīng)用,以及高新產(chǎn)業(yè)的大量涌現(xiàn),大額保險標的日益增多,這些標的一旦發(fā)生事故,損失可高達幾千萬,甚至上億美元,遠非一家保險公司所能承擔(dān)。為了增強投保人及保險公司的利益保障,再保險應(yīng)運而生。所謂再保險,也稱為分保,在原保險的基礎(chǔ)上,通過簽訂分保合同,保險公司將其承保的部分或全部風(fēng)險責(zé)任向其他一個或多個保險人進行保險的方式。本文通過對再保險風(fēng)險模型進行進一步研究,提出了一類帶有干擾項的賠付率超額再保險Poisson風(fēng)險模型,從而可為保險公司的穩(wěn)健經(jīng)營提供可靠的理論保障。

        二、賠付率風(fēng)險模型的建立

        (一)相關(guān)準備

        賠付率超額再保險是指按年度賠款與保費的比率來確定自負責(zé)任和再保險責(zé)任的一種再保險方式。在約定的年度內(nèi),當賠付率超過分出的自負責(zé)任比率時,超過的部分由再保險公司負責(zé)。賠付率超額再保險是以原保險人一段時間(一般是1年)的總損失額為理賠基礎(chǔ)。記Ci為單位時間收取的保費,單位時間是以年為單位,Xi(i=1,2,……)為第i年的理賠額。則原保險公司的賠付模型表示為:

        式中:βi是第i年約定的自負責(zé)任比率,(0<βi<1)。

        (二)模型的建立

        (Ω,F(xiàn),P)表示一個完備的概率空間,以下隨機過程(變量)均定義在該空間之上。

        ①u≥0是保險公司初始資本;

        ②{N(t),t>0}是一個齊次Poisson過程,其強度分別為σ,且N(0)=0,它表示[0,t)時間內(nèi)(規(guī)定到整年止)接受保險業(yè)務(wù)的年數(shù);

        ③{Ci,i=1,2,……},{Xi,i=1,2,……}分別是取值于(0,+∞)的獨立同分布隨機變量序列,設(shè)E[Xi] =λ1,E[Ei] = λ2,實際意義如前所述;

        ④{W(t),t>0}是一標準的布朗運動,時刻t的均值為0,方差為t的正態(tài)分布,它表示保險公司的不確定性付款或投資收益,作為干擾項,ρ為干擾因子;

        ⑤CR表示再保險費率

        假定{N(t),t>0}、{Ci,i=1,2,……}、{Xi,i=1,2,……}、{W(t),t>0}是相互獨立的。則

        稱{U(t),t≥0}為帶干擾的賠付率超額再保險的Poisson風(fēng)險模型,它表示保險公司到時刻t后的總資本;

        稱為到時刻t后的盈余資本。為了保證保險公司經(jīng)營的持續(xù)性,E[S(t)] >0,即

        于是,記 Tu=inf{t:U(t) <0,t>0},inf? = ∞,T 為保險公司有賠付率再保險情況下首次破產(chǎn)的時刻,即首次盈余為負的時刻,簡稱為破產(chǎn)時刻;記ψ(u)=Pr{TU<∞|U(0)=u}為再保險條件下,初始盈余為u情況下破產(chǎn)發(fā)生時的概率,稱其為最終破產(chǎn)概率,簡稱破產(chǎn)概率。并且假定 Ci,Xi(i=1,2,…)的矩母函數(shù)均存在,即存在r>0,使得 MXi(r)=E[erXi] < + ∞ ,MCi(r)=E[erCi] <+∞。

        三、相關(guān)引理

        引理1 盈利過程{S(t),t≥0}是一個右連續(xù)隨機過程,且具有下列性質(zhì)

        (2)具有平穩(wěn)獨立增量性;

        (3)存在正數(shù)r,使得E(e-rS(t))<+∞;

        (4)存在函數(shù)g(r)使得E[e-rS(t)] =etg(r);其中g(shù)(r)

        MXi(r)=E[erXi] < + ∞,MCi(r)=E[erCi] < + ∞分別為年理賠額和保費的矩母函數(shù)。證明:(1),(2),(3)顯然成立。

        (4)證明如下:

        Xi>αiβi同樣可證引理2對于任意的r,令A(yù)u(t)=則{Au(t),t≥0}是鞅。其中定義事件流FSt=σ{FNt∨FWt,t≥0}。

        證明:由Au(t)可測,且E|Au(t)|<+∞,對于任意的0<m≤t。

        {Au(t),t≥0}是鞅。

        引理3 存在惟一的正常數(shù)R,使得g(r)=0,稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)。其中g(shù)(r)如引理1所示。

        引理4 Tu是停時。

        四、結(jié)論

        定理:在賠付率超額再保險風(fēng)險模型{U(t),t≥0}下,最終破產(chǎn)概率仍滿足Lundberg不等式ψ(u)≤e-Ru;最終破產(chǎn)概率仍滿足公式其中,稱為調(diào)節(jié)系數(shù)。

        證明 因為Tu是停時,選取t0<+∞,易知t0∧Tu是有界停時,根據(jù)引理1和有界停時定理有

        由于在{Tu<∞}的條件下,u+S(Tu)<0,

        上式兩端令t0→+∞,得

        ψ(u,φ,h)≤e-ru·et·g(r)

        取R=sru>p0{r:g(r)≤0}

        所以 ψ (u,φ,h)≤e-Ru

        根據(jù)上(1)式,取r=R得

        I(A)表示集合A的示性函數(shù),有

        由于0≤e-RU(t0)·I{u(T0)≥0}≤1且根據(jù)強大數(shù)定律可證當時t0→+∞

        由控制收斂定理有

        于是在(2)兩端令t0→+∞,即得

        證畢。

        基于保險公司的實際運營還有很多不確定因素,如利率、不確定付款和收益等,還有待于對完善的再保險風(fēng)險模型進行進一步的分析研究。另外,保險公司經(jīng)營的險種往往不是一種或幾種,多險種的再保險風(fēng)險模型仍需繼續(xù)深入探索,為保險公司的實際運營提供可靠的理論依據(jù)。

        [1] 唐國強,楊端翠.成數(shù)再保險和超額賠款再保險策略[J] .廣西科學(xué)學(xué)院學(xué)報,2006,22(1):58-60.

        [2] 粟芳,許謹良.保險學(xué)[M] .北京:清華大學(xué)出版社,2006.

        [3] 孔繁亮.B值漸進鞅的強弱大數(shù)定律[J] .數(shù)學(xué)學(xué)報,1998,41(3):667-672.

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