曲霄紅

山西大同大學(xué)教育科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 山西 037009

0 前言

開源科學(xué)計(jì)算自由軟件SCILAB具有運(yùn)行穩(wěn)定，占用計(jì)算機(jī)資源少，運(yùn)行速度快等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)被廣泛地引進(jìn)到教育研究、教學(xué)及產(chǎn)品開發(fā)中。

教育考試的目的是根據(jù)考生在考試設(shè)計(jì)的行為目標(biāo)上的測(cè)量結(jié)果，推測(cè)考生具有哪些心理結(jié)構(gòu)，包括心理結(jié)構(gòu)的性質(zhì)和不同心理結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。以考試語言表述，這些心理結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)就是考試測(cè)量的能力，能力結(jié)構(gòu)就是指這些能力的性質(zhì)以及它們的相互關(guān)系?？荚嚲S度是指完全描述考生群體在考試中表現(xiàn)出的差異所要求的最小能力數(shù)。

從教育測(cè)量的角度看，命題人員希望同一試卷中部分試題測(cè)量的是某一主要潛質(zhì)，另一部分試題測(cè)量另一主要潛質(zhì)，即一個(gè)試卷可以分解成若干個(gè)單維量表。每個(gè)單維量表總分的意義比較明確，可以解釋考生在考試中的表現(xiàn)依據(jù)。這就需要研究考試的能力結(jié)構(gòu)和維度。

1 能力結(jié)構(gòu)和維度分析的原理

從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度看，我們可以利用因子分析的方法分析考試的能力結(jié)構(gòu)和維度。因子分析實(shí)際上是一種統(tǒng)計(jì)方法，該方法分析一組觀察變量與少數(shù)假設(shè)變量的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱這些假設(shè)變量為因子，并且認(rèn)為這些因子包含了分析的觀察變量的大部分信息。因子分析利用觀察變量之間的相互關(guān)系，以及觀察變量與因子之間的關(guān)系，用少數(shù)因子來解釋觀察變量的大部分信息。

設(shè)有p個(gè)觀察變量，對(duì)n個(gè)考生進(jìn)行測(cè)試后，獲得的測(cè)量結(jié)果為xi(i=1，2，…，p)，而且測(cè)量結(jié)果已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化，即每個(gè)觀察變量的測(cè)量結(jié)果的平均值為0，方差為1。因子模型為：

式中，F(xiàn)j(j=1，2，…，m)是由標(biāo)準(zhǔn)化的觀察變量分解出來的相互獨(dú)立的公共因子，其平均值為 0，方差為 1，它們是不可觀測(cè)的，其含義要根據(jù)具體情況來解釋。Ei是各觀察變量xi所特有的因子，稱為特殊因子。它們與公共因子Fj相互獨(dú)立，表示xi中所不能被公共因子解釋的部分。aij是觀察變量i在因子j上的負(fù)荷，也就是觀察變量i與因子j的相關(guān)系數(shù)。

上式也可以表示成矩陣形式：

2 因子分析的步驟

2.1 確定觀察變量是否合適做因子分析

因子分析是從眾多的原始變量中構(gòu)造出少數(shù)幾個(gè)具有代表意義的因子變量。這里有一個(gè)潛在的要求，即原有變量之間要具有比較強(qiáng)的相關(guān)性。如果原有變量之間不存在較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，那么就無法從中綜合出能反映某些變量共同特性的少數(shù)公共因子變量來。

判斷原始變量是否合適做因子分析，最簡(jiǎn)單的方法就是計(jì)算變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣。如果在相關(guān)系數(shù)矩陣在進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，大部分相關(guān)系數(shù)都小于 0.3，那么這些變量不適合做因子分析。

2.2 構(gòu)造因子變量和因子矩陣

因子分析中有多種確定因子變量的方法，獲得了相關(guān)系數(shù)矩陣后，需要決定采用哪一種因子分析模型進(jìn)行因子分析?？傮w上主成分法是最常用的確定因子變量的方法。

提取出因子后，必須確定應(yīng)該保留多少個(gè)因子，也就是確定考試的維度。保留的因子數(shù)不同，對(duì)考試內(nèi)部結(jié)構(gòu)解釋也不同，考試結(jié)果的一系列處理方式都將相應(yīng)不同。因此，因子分析研究時(shí)要認(rèn)真考慮應(yīng)該保留多少個(gè)因子。確定保留的因子數(shù)有多種規(guī)則，這里選用的規(guī)則是：根據(jù)方差的累積貢獻(xiàn)率來確定，通常取累積貢獻(xiàn)率為80%。

2.3 因子旋轉(zhuǎn)

提取出因子后，有時(shí)可能難以根據(jù)因子負(fù)荷對(duì)因子進(jìn)行解釋和命名。解決這個(gè)問題的方法就是對(duì)因子進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。因子旋轉(zhuǎn)可以改變因子的負(fù)荷結(jié)構(gòu)，因此可以改進(jìn)對(duì)因子的解釋。

實(shí)際應(yīng)用過程中，可以對(duì)因子分析結(jié)果進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，因子旋轉(zhuǎn)分為正交旋轉(zhuǎn)和斜交旋轉(zhuǎn)。通常最常用的因子旋轉(zhuǎn)方式是正交旋轉(zhuǎn)中的方差最大正交旋轉(zhuǎn)。

2.4 因子含義的解釋

因子分析的最主要結(jié)果是因子負(fù)荷和因子得分。這些結(jié)果一般以旋轉(zhuǎn)的因子負(fù)荷矩陣和因子得分系數(shù)矩陣形式報(bào)道。

對(duì)因子進(jìn)行解釋實(shí)際上就是解釋哪些觀察變量在因子上的負(fù)荷有意義。這種意義包含兩個(gè)方面，統(tǒng)計(jì)意義和實(shí)際意義。

實(shí)際意義就是要確定一個(gè)變量在因子上的負(fù)荷應(yīng)該多大才有實(shí)際意義。如果變量在因子上的負(fù)荷為 0.2，則該因子只能解釋該變量方差的4%，這個(gè)結(jié)果可能太小。J.F.Hair等建議，為了保證因子對(duì)變量方差的解釋有實(shí)際意義，一般因子負(fù)荷最低應(yīng)該在0.3，比較重要的變量應(yīng)該在0.4以上，大于0.5才真正有實(shí)際意義。

3 SCILAB實(shí)現(xiàn)分析考試的能力結(jié)構(gòu)和維度

3.1 因子分析算法

根據(jù)因子分析法的原理和步驟，這里描述利用因子分析法分析考試的能力結(jié)構(gòu)和維度的計(jì)算過程(如圖1所示)。

圖1 因子分析流程圖

3.2 分析英語考試的能力結(jié)構(gòu)和維度

以 2009年貴陽市中考英語科目的部分試題分?jǐn)?shù)為例，并選用試卷中的3道閱讀方面的試題t1,t2,t3和4道寫作方面的試題t4,t5,t6,t7的分?jǐn)?shù)作為變量。在SCILAB 4.1.2 平臺(tái)上編寫因子分析算法，利用因子分析法確定其能力結(jié)構(gòu)和維度。

表1是根據(jù)2009年貴陽市中考英語科目的部分試題成績計(jì)算的相關(guān)系數(shù)矩陣，從中得知觀察變量的測(cè)量結(jié)果是可靠的。表1可看出試題間相關(guān)系數(shù)都大于0.30。說明試題間有較好的相關(guān)性，適合進(jìn)行因子分析。

從表1可以看出，有兩組相關(guān)度較高的試題變量。一組是閱讀試題t1，t2，t3，另一組是寫作試題t4，t5，t6和t7。每一組變量都是某一潛在變量，即因子的外顯變量。

表1 試題相關(guān)系數(shù)矩陣

表2是由表1中試題相關(guān)系數(shù)求得的相關(guān)系數(shù)的特征值和特征向量表，從表2中可以看出前兩個(gè)特征值的累積百分比為86.0%，結(jié)合因子保留的規(guī)則，可以提取兩個(gè)公共因子，并且認(rèn)為這兩個(gè)因子基本反映了原變量的絕大部分信息。

表2 相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根和特征向量

由表3得知，絕大多數(shù)的變量共同度都在0.80以上，說明這7項(xiàng)指標(biāo)之間存在著高度的信息重疊，既驗(yàn)證了數(shù)據(jù)間的高度相關(guān)性，也體現(xiàn)了資料數(shù)據(jù)的較高可靠性。從表3中可以看出，所有試題變量在因子1上都有相差不太大的正負(fù)荷，因子2上負(fù)荷有正有負(fù)，暫時(shí)不好解釋因子變量的含義。

表3 公共因子負(fù)荷矩陣、共同度、及公共因子方差貢獻(xiàn)

為了更加合理解釋因子變量的含義，需要將表3中的初始因子負(fù)荷矩陣進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過因子旋轉(zhuǎn)后，三道閱讀試題t1，t2，t3負(fù)荷集中在因子2上，負(fù)荷分別為0.92,0.87和0.93；最小的負(fù)荷為0.87，最大的負(fù)荷為0.93。四道寫作試題在因子1上的負(fù)荷分別是0.91,0.89，0.92和0.91，介于0.89到0.92之間。因此，可以確定因子1為寫作能力因子，解釋為表達(dá)信息的能力；因子2為閱讀能力因子，解釋為接受信息的能力；確定測(cè)試是二維的。

由上述分析得出考試的能力結(jié)構(gòu)同實(shí)際水平基本吻合，這兩個(gè)因子的累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá) 86.1%，它們基本上解釋了每個(gè)試題變量的變異的絕大部分。

4 結(jié)論

考試的能力結(jié)構(gòu)和維度是考試效度的重要依據(jù)，本文引入多元統(tǒng)計(jì)理論中的因子分析法分析考試的能力結(jié)構(gòu)和維度，并利用科學(xué)計(jì)算軟件SCILAB編寫分析算法，結(jié)合實(shí)際進(jìn)行分析計(jì)算后，得到了與實(shí)際情況比較吻合的結(jié)果。

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