曲曉燕 呂曉峰 李小晨

（1.海軍航空工程學(xué)院兵器科學(xué)與技術(shù)系 煙臺(tái) 264001）（2.徐州空軍學(xué)院航空彈藥系 徐州 221000）

1 引言

一般而言，電子設(shè)備的可靠度與其通電時(shí)間是密切相關(guān)的，大量的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，大部分電子設(shè)備的“通電時(shí)間壽命”均服從指數(shù)分布［1～2］，因此可以將機(jī)載電子設(shè)備通電時(shí)間壽命的分布當(dāng)作指數(shù)分布處理，即：

f（t）＝λexp（－λt），t＞0，0＜λ＜＋∞ （1）其中λ為失效率。對(duì)于樣本量較大，并且壽命試驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)失效樣本的情形，壽命分布模型及參數(shù)估計(jì)的相關(guān)理論已經(jīng)比較成熟?？煽慷确矫娴南嚓P(guān)理論已經(jīng)有較為成熟的處理方法［3～4］。但隨著機(jī)載電子設(shè)備可靠性的提高，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)壽命試驗(yàn)過(guò)程中沒有失效樣本的情況，但這并不意味著設(shè)備的可靠度為1，需要在一定置信度水平下合理評(píng)估設(shè)備的可靠性水平，此時(shí)的處理方法與傳統(tǒng)方法有較大的差異［5～6］。當(dāng)已經(jīng)確定產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布時(shí)，傳統(tǒng)的可靠性理論通常根據(jù)樣本失效時(shí)間及數(shù)量，對(duì)失效率作極大似然估計(jì)，進(jìn)而估計(jì)產(chǎn)品的可靠度；對(duì)于無(wú)失效數(shù)據(jù)時(shí)的情況，本文提出了一種基于失效率上限已知的Bayes產(chǎn)品可靠度估計(jì)方法。

2 失效率相關(guān)信息未知時(shí)的處理方法

對(duì)于壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品，當(dāng)進(jìn)行定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)未出現(xiàn)失效樣品時(shí)，在1－α置信水平下，其最優(yōu)可靠度置信下限為［7］

這里將某型機(jī)載電子設(shè)備出現(xiàn)不可修復(fù)故障定義為失效。在監(jiān)控使用的條件下，n部該型電子設(shè)備經(jīng)過(guò)一定的通電時(shí)間后均未出現(xiàn)不可修復(fù)故障。因此對(duì)于這n部設(shè)備而言，該監(jiān)控使用過(guò)程屬于無(wú)失效樣品的定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)。實(shí)際一共有13部設(shè)備，因此試驗(yàn)次數(shù)n＝13，每次試驗(yàn)的樣品個(gè)數(shù)為1，試驗(yàn)的截尾時(shí)間即設(shè)備的通電時(shí)間（小時(shí)）如下：

根據(jù)式（2）可以求得該型機(jī)載電子設(shè)備通電時(shí)間為t時(shí)，置信水平為1－α＝1－0.1＝0.9的最優(yōu)可靠度下限。該型機(jī)載電子設(shè)備的可靠度隨通電小時(shí)數(shù)的變化趨勢(shì)如圖1所示。

該型機(jī)載電子設(shè)備的通電可靠度在整個(gè)使用期內(nèi)服從指數(shù)分布。但因?yàn)樵O(shè)備的可靠性水平非常高，其壽命分布中的失效率參數(shù)值很小，所以在較短的時(shí)間范圍內(nèi)可靠度與通電時(shí)間近似呈線性關(guān)系。

圖1 機(jī)載電子設(shè)備可靠度

3 基于Bayes理論的估計(jì)方法

采用Bayes方法結(jié)合失效率的上限值分析設(shè)備的可靠性可以有效地利用先驗(yàn)信息（通電壽命服從指數(shù)分布和失效率的上限值）和后驗(yàn)信息（通電小時(shí)數(shù)），進(jìn)而提高該型機(jī)載電子設(shè)備可靠度的預(yù)測(cè)精度。

在無(wú)失效數(shù)據(jù)的情形下，失效率λ不會(huì)很大，若能根據(jù)先驗(yàn)信息給出λ的一個(gè)比較保守的上限λ0（即0＜λ＜λ0，其中0＜λ0＜＋∞），則可以有效地提高產(chǎn)品可靠性預(yù)測(cè)精度。如果只知道0＜λ＜λ0，而其它一無(wú)所知，不妨?。?，λ0）上的均勻分布作為λ的先驗(yàn)分布，其概率密度函數(shù)為：π（λ）＝1／λ0，其中0＜λ＜λ0。

對(duì)壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品進(jìn)行n次定時(shí)截尾試驗(yàn)，每次試驗(yàn)截尾時(shí)間為ti，（i＝1，2，…，n），t1＜t2＜…＜tn，與之相對(duì)應(yīng)的樣品數(shù)為mi（i＝1，2，…，n），結(jié)果所有樣品無(wú)一失效，獲得的無(wú)失效數(shù)據(jù)為（ti，mi），i＝1，2，…，n。若λ的先驗(yàn)概率密度為π（λ）＝1／λ0，則λ的置信水平為1－α的Bayes置信上限估計(jì)［8～9］為

式（3）成立的證明［10］如下：

對(duì)壽命服從指數(shù)分布的產(chǎn)品進(jìn)行n次定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，若第i次試驗(yàn)的mi個(gè)樣品中有Xi個(gè)樣品失效，則Xi服從參數(shù)為mi和p的二項(xiàng)分布B（mi，p），其中p＝∫ti0λexp（－λt）dt＝1－exp（－λti），對(duì)于無(wú)失效的情況，失效率λ很小，所以ti不太大時(shí)，λti→0，忽略高階無(wú)窮小有p＝1－exp（－λti）≈λti。根據(jù)泊松定理，可用泊松分布逼近二項(xiàng)分布，因此Xi的分布近似的服從參數(shù)為mitiλ的泊松分布，則有：

若每次截尾試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，則λ的似然函數(shù)：

對(duì)于無(wú)失效情況，即ri＝0時(shí)，則有：

根據(jù) Bayes定理，λ的后驗(yàn)密度［11，13］為

其中0＜λ＜λ0。在1－α置信水平下，λ的Bayes置信上限λU應(yīng)滿足p（λ≤λ0）＝1－α，即：

解得：

4 已知失效率上限時(shí)的可靠性評(píng)估

采用Bayes方法估計(jì)該型機(jī)載電子設(shè)備的可靠性，首先要估計(jì)出失效率λ的上限λ0。該設(shè)備生產(chǎn)研制單位給出的可靠性指標(biāo)為：無(wú)故障完成100次掛飛任務(wù)的概率不小于95%。設(shè)備在此期間內(nèi)的通電總時(shí)間T≈250h，則設(shè)備在T時(shí)刻最低的可靠性R（T）＝0.95，即exp（－250λ0）＝0.95，λ0＝2.05×10－4／h。

在監(jiān)控使用的條件下，13部設(shè)備均未出現(xiàn)不可修復(fù)故障。因此該監(jiān)控使用過(guò)程屬于無(wú)失效樣品的定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)。試驗(yàn)次數(shù)n＝13，每次試驗(yàn)的樣品個(gè)數(shù)為1即mi＝1，試驗(yàn)的截尾時(shí)間即設(shè)備的通電時(shí)間（小時(shí)）如下：

在1－α＝1－0.1＝0.9置信水平下，根據(jù)式（3），求得λU＝1.63×10－4。

則該型機(jī)載電子設(shè)備的可靠度下限為R（t）＝exp（－λUt）＝exp（－1.63×10－4t），將設(shè)備的可靠度隨通電時(shí)間的變化趨勢(shì)列于表1。

5 兩種可靠性評(píng)估方法的比較

為便于比較分析，將該型機(jī)載電子設(shè)備的兩種可靠性評(píng)估方法：基于指數(shù)分布的可靠性評(píng)估（方法Ⅰ）和基于Bayes估計(jì)的可靠性評(píng)估（方法Ⅱ）的結(jié)果繪于圖2。

從圖2可以看出：

該型機(jī)載電子設(shè)備的通電時(shí)間可靠度服從指數(shù)分布，但在比較短的時(shí)間段內(nèi)其可靠度與通電時(shí)間近似呈線性關(guān)系。

方法Ⅰ求得的可靠性下限值偏小，這是因?yàn)榉椒á裰焕昧送妷勖闹笖?shù)分布這一信息，而對(duì)于失效率λ的分布形式和失效率λ上限均沒有考慮，故求得結(jié)果過(guò)于保守。

圖2 不同評(píng)估方法得到的可靠性水平

方法Ⅱ求得的可靠性下限值較方法Ⅰ的結(jié)果要大，這是因?yàn)榉椒á虿粌H利用了通電壽命服從指數(shù)分布這一信息，而且還考慮了失效率λ的上限λ0，故求得的結(jié)果更接近于實(shí)際情況。

在進(jìn)行無(wú)失效數(shù)據(jù)可靠度估計(jì)時(shí)，如果只知道設(shè)備可靠度服從指數(shù)分布而失效率λ上限未知時(shí)，應(yīng)在一定置信水平下采用方法Ⅰ估計(jì)設(shè)備的可靠度下限。如果已知設(shè)備可靠度服從指數(shù)分布，并且已知失效率λ上限，應(yīng)在一定置信水平下采用方法Ⅱ估計(jì)設(shè)備的可靠度下限，此時(shí)求得的結(jié)果要優(yōu)于方法Ⅰ。

6 結(jié)語(yǔ)

機(jī)載電子設(shè)備可靠度高，常常需要在無(wú)失效數(shù)據(jù)的情況下分析其可靠性水平，傳統(tǒng)的分析方法已不適用。本文提出的方法是根據(jù)機(jī)載電子設(shè)備通電使用壽命服從指數(shù)分布的特點(diǎn)，采用基于貝葉斯理論的無(wú)失效數(shù)據(jù)處理方法，在一定置信水平下評(píng)估它們的通電可靠度。該方法考慮了設(shè)備的失效率上限，因而具有較高的精度，可以為確定該型機(jī)載電子設(shè)備使用壽命提供依據(jù)，并能夠?yàn)橹朴喓侠淼木S修資源提供理論依據(jù)。

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