莫協(xié)強(qiáng)

（梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543000）

路徑積分法在隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中的應(yīng)用

莫協(xié)強(qiáng)

（梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543000）

路徑積分法在隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中有著重要作用，本文介紹了基于Guass-Lgenedre公式的路徑積分法的原理和算法，并研究了諧和激勵(lì)與隨機(jī)激勵(lì)作用下的Duffing一Ryaelihg振子，推導(dǎo)用于計(jì)算時(shí)間上的平均概率密度路徑積分?jǐn)?shù)值表達(dá)式，探討隨機(jī)跳躍現(xiàn)象存在性和概率密度峰的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.

路徑積分法；隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)；Guass-Legenedre公式

它的基本思想是在空間和時(shí)間路徑積分的離散化,將取代路徑和積分、非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)可能有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的確定性和隨機(jī)響應(yīng)反應(yīng),Yim和Naess,等等…隨機(jī)響應(yīng)分析混沌響應(yīng)的概率密度,即通過不確定性系統(tǒng)中激勵(lì)引進(jìn)隨機(jī)干擾,混沌吸引子的不確定性系統(tǒng)存在也能有效地使用相空間的隨機(jī)響應(yīng)的概率密度演化來描述.本文主要利用路徑積分方法研究了非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)混亂的反應(yīng).

1 路徑積分法的原理

在空間和時(shí)間是途徑和離散化,而不是整體,這是路徑積分方法的基本思想.即通過短期的轉(zhuǎn)移概率密度的連接形式的全球轉(zhuǎn)移概率密度,得到狀態(tài)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù).雖然每條路徑的貢獻(xiàn)的定性概念的總和是透明的,但它應(yīng)該給予的總和更精確的數(shù)學(xué)定義,路徑是一個(gè)高階無限數(shù)目的音樂,是道路的間隔什么樣的措施應(yīng)給與不明顯.目的是為了給這樣的數(shù)學(xué)定義,該定義是挺麻煩的.路徑積分法是最優(yōu)越的特性可以得到負(fù)面,更準(zhǔn)確的尾部概率密度.此外,路徑積分法也可以計(jì)算非平穩(wěn)信號(hào)的系統(tǒng)暫態(tài)概率密度和問題,如第一次通過.最簡單的定義路徑積分方法是連續(xù)的過程離散化在空間和時(shí)間限制的小格子點(diǎn)通透.然而,一個(gè)連續(xù)的過程的離散并不是唯一的.因此,對(duì)于不同的離散規(guī)則,你有許多不同的路徑積分方法.為建立路徑積分協(xié)變的,需要選擇特定離散規(guī)則,導(dǎo)致許多研究人員并沒有被具體的離散規(guī)則,提出了各種各樣的推導(dǎo)的路徑積分法協(xié)變.Wehner和wolfer路徑積分方法研究首次提出以尋求“非線性隨機(jī)“FPK方程可得到精確穩(wěn)態(tài)解形式解.給出不確定的道路路徑積分的近似解的初始值適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),路徑積分形式的解決方案可能在平衡熱力學(xué)領(lǐng)域熱力學(xué)平衡延續(xù)的概念.實(shí)際上大部分人致力于用路徑積分表示下列FPK方程：

其中P（q1,q2,…,qn,t）是滿足上述“非線性隨機(jī)”FPK方程的概率密度，是擴(kuò)散張量，是漂移向量，重復(fù)下標(biāo)表示求和.即將方程（1.1）的解表示為如下形式的泛函積分：

其中Dμ(q)是積分測(cè)度，通常看作是Onsgear-Machl up泛函.若使等式(1.2)是協(xié)變形式，那就是當(dāng)來自行星光狀態(tài)矢量空間的非線性隨機(jī)點(diǎn)變換,Onsgaer-Machl up功能也根據(jù)通常的計(jì)算規(guī)則了相應(yīng)的改造,那么問題將變得更為復(fù)雜.因此,困難的路徑積分是不可能Onsgaer-Machl up唯一肯定的功能.如果你想獲得基于路徑的非平衡熱力學(xué)理論一致的積分,那么這個(gè)屬性是必不可少的.最簡單的定義路徑積分方法是連續(xù)的過程離散在時(shí)間和空間充滿了小有限網(wǎng)格點(diǎn).然而,一個(gè)連續(xù)的離散化過程不僅這樣的話,分別對(duì)應(yīng)著不同的離散規(guī)則,你有許多不同的路徑積分方法.建立了路徑積分協(xié)變的,需要選擇特定離散規(guī)則.在所有可能的路徑,一個(gè)特定的路徑由適當(dāng)?shù)臈l件決定,最低的原則是表示,此次行動(dòng)是最桶色條件的一種方式.換句話說.存在一定數(shù)量的年代,我們可以計(jì)算出,每條路徑,經(jīng)典軌道;是最少的年代的軌道.事實(shí)上,真正的條件S只是一個(gè)極值.也就是說,如果這路徑;X稍作改變,S價(jià)值為一階來表達(dá)相同的,所以我們不給出具體如此在各種規(guī)則的建議是協(xié)變的沿程積分方法.在實(shí)際應(yīng)用中,即使路徑積分法的概念具有一定的參考價(jià)值,而是解析解和數(shù)值,公式(1.2)的計(jì)算是不太可能推廣到一般的情況,wehner和wol f er首先討論基于方程(1.2)的數(shù)值計(jì)算方法,提出了等效離散形式,起點(diǎn)是路徑,路徑積分或離散網(wǎng)格.的目的是尋求FPK方程可得到精確穩(wěn)態(tài)解(1.1)的解決方案,路徑,并能很好的為基礎(chǔ)的數(shù)值計(jì)算方法.路徑和通常寫成：

其中 G(qi+1,qi,τ)=μiexp[-τv(qi+1,qi,τ)]稱作短時(shí)傳播子，不同離散規(guī)則有不同的G，傳播子的唯一條件是它滿足方程（1.1）達(dá)到O(τ2).確定數(shù)值方法的簡單的、最準(zhǔn)確的路徑和公式是：

2 基于Gauss-Legendre公式的路徑積分法

在許多喬條件出現(xiàn)的特色功能是一種高斯分布,泊松分布假設(shè)隨機(jī)脈沖,從而介紹其二階近似的指數(shù)關(guān)系,并得到高斯功能,事實(shí)上,一些本質(zhì)的物理過程看起來像個(gè)他們分布.在傳統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)理論,高斯分布符合物理現(xiàn)象.這是因?yàn)楹芏嚯S機(jī)出現(xiàn)的綜合結(jié)果的獨(dú)立的事情.這就是那個(gè)機(jī)遇去中心極限定理理論的結(jié)論,同樣的結(jié)論適用于分布的功能.因?yàn)樵S多路徑積分可以劃分為若干路徑積分因素、制度是在一個(gè)特定國家和功能,可以寫每種模式下的是產(chǎn)品的一個(gè)因素.最基本的理念是路徑積分在空間和時(shí)間離散化、道路、而不是整體,即通過連接短期轉(zhuǎn)移概率密度形成全球轉(zhuǎn)移概率密度,得到狀態(tài)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù).設(shè)(X)t是n維狀態(tài)向量，其演化概率密度為

其中q(x,t|x(0),t0)是轉(zhuǎn)移概率密度，由非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)相應(yīng)的FPK方程確定，p(x(0),t0)是X（t）在t=t 0處初始概率分布，R 是X（t）的 n維狀態(tài)空間.將[t 0，t]分成 N 個(gè)子區(qū)間可得：

實(shí)際上，路徑積分是在縮減的狀態(tài)空間Rx內(nèi)積分，Rx之外的區(qū)域轉(zhuǎn)移概率密度因?yàn)槌浞中《雎圆挥?jì).即：

利用不同的插值公式就形成不同的路徑積分?jǐn)?shù)值方法.目前主要有兩類廣泛應(yīng)用的路徑積分?jǐn)?shù)值方法.一種是，Naess等利用三次B樣條插值來離散積分式(2.3)，可以計(jì)算尾部低于10-6數(shù)量級(jí)的平穩(wěn)概率密度.進(jìn)一步,Naess提出了概率密度的B樣條插值的對(duì)數(shù)函數(shù)代替直接在概率密度自身的插值,能明顯地提高計(jì)算精度和效率.另一個(gè)是,玉將(2.3)根據(jù)Guass-Lgenedre公式離散化,得到Guass-Legnedre基于路徑的積分公式數(shù)值計(jì)算方法.高斯積分點(diǎn)其他的點(diǎn)概率密度能通過插值.所以,只有我i時(shí)刻高斯積分點(diǎn)計(jì)算相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度,大大減少了計(jì)算量.最終可得到適合編程實(shí)現(xiàn)的表達(dá)式.一維情形即：

其中K是子區(qū)間數(shù),Lk是第k子區(qū)間的高斯積分點(diǎn)數(shù)，δk是第k子區(qū)間的長度，xkl是高斯積分點(diǎn)，ckl是相應(yīng)的權(quán)值.這種方法的優(yōu)點(diǎn)是沒有重新構(gòu)造插值函數(shù)數(shù)值積分團(tuán)聚的,可以直接利用Guass-Lgenedre離散積分公式的類型(2.4).對(duì)時(shí)變系統(tǒng),特別是膨脹系數(shù)漂移或包含一個(gè)傳播周期函數(shù)的系統(tǒng),它的時(shí)刻就在時(shí)間迫使一個(gè)騎表達(dá)期刊,用簡單的方法是通過求解一個(gè)周期的時(shí)間步ChangShang力矩方程出發(fā).每一刻的解方程周期保持不變,為下星期期間短期轉(zhuǎn)移概率密度的均值和方差的估計(jì).路徑積分的數(shù)值方法,主要計(jì)算是一種轉(zhuǎn)移概率密度的近似,因?yàn)橄嗤碾娏ο到y(tǒng)的時(shí)候,正好方程表達(dá)不依賴時(shí)間的,只要計(jì)算一下方程;不為高斯白噪聲的動(dòng)態(tài)激勵(lì)機(jī)制,一般沒有辦法直接轉(zhuǎn)矩方程d只有通過開拓系統(tǒng)d系統(tǒng)推力矩方程出發(fā),再用路徑積分?jǐn)U張維數(shù)值對(duì)應(yīng)的FPK方程可得到精確穩(wěn)態(tài)解高維系統(tǒng)的分析.噪音強(qiáng)度在一定的非線性隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的概率密度演化可以用來描繪了混沌算子的吸引結(jié)構(gòu)特點(diǎn).

3 路徑積分法基于Gauss-Legenedre公式求解時(shí)間上平均概率密度

對(duì)時(shí)變系統(tǒng),特別是漂移或包含在擴(kuò)散系數(shù)的周期函數(shù)的系統(tǒng),介紹了概率密度定義的平均時(shí)間.

其中T=2π/ω,ω一般是諧和激勵(lì)或周期系數(shù)的角頻率.當(dāng)（3.1）式中t'充分大，在整個(gè)諧和激勵(lì)周期T上平均的概率密度可逼近系統(tǒng)響應(yīng)的近似平穩(wěn)概率密度.將Yu的路徑積分?jǐn)?shù)值方法推廣到時(shí)間上平均的概率密度的計(jì)算，不難導(dǎo)出利用Gauss-Legnedre公式計(jì)算平均概率密度的表達(dá)式.即積分表達(dá)式(3.1)可離散成如下的Guass-Legendre積分表達(dá)式

其中K是[t'，t'+T]內(nèi)的子區(qū)間數(shù)，Lk是第k子區(qū)間的高斯積分點(diǎn)，δK是第k子區(qū)間的長度，每一tkl是一個(gè)周期內(nèi)的高斯積分時(shí)刻，而ckl是相應(yīng)的權(quán)重，而p(x1,x2,tkl)的計(jì)算可直接參考上面的計(jì)算方法.Guass-Legnedre于使用路徑積分公式法研究了高斯白噪聲的沖擊只有幾個(gè)隨機(jī)非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng),結(jié)果表明該方法在計(jì)算盡頭的一個(gè)更小的概率密度是歷史上其他數(shù)值方法精度高,本研究是首次通過更重要.合理假設(shè)短期轉(zhuǎn)移概率密度為高斯分布,利用高斯三種方法已關(guān)閉的力矩方程出發(fā),推導(dǎo)出能算出這道短的轉(zhuǎn)移概率密度的一階矩和二階矩.在此基礎(chǔ)上,利用路徑積分法求解系統(tǒng)的平滑概率密度.不同于簡單形狀的激情,基于路徑積分方法Guass-Lgenedre公式的隨機(jī)性和沖突,促進(jìn)共同作用的非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),利用非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)參與的隨機(jī)研究更為復(fù)雜.這些研究結(jié)果將和其他數(shù)值方法的結(jié)果進(jìn)行了比較,得出了計(jì)算尾概率密度具有較高的計(jì)算精度.

4 結(jié)語

在路徑積分對(duì)幾串理論的這些應(yīng)用中，如果被積函數(shù)是高斯型的.那么我們就可以大量地應(yīng)用這個(gè)技術(shù).這些問題正好都是一些用其他方法也可以解決的問題，不一定要用路徑積分.人們可以有理由懷疑路徑積分有無實(shí)際用途.如果問題不是高所型的，則至少可以用路徑積分研究它并將其公式化.然而，路徑積分方法使一個(gè)問題的各種表述方式之間可以迅速地相互轉(zhuǎn)換，并且常常清楚而迅速地得到關(guān)于某個(gè)關(guān)系式的提示，而用更通常的方式推導(dǎo)它會(huì)要慢一些.

〔1〕李杰.隨機(jī)結(jié)構(gòu)分析的擴(kuò)階系統(tǒng)方法(Ⅱ)——結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析[J].地震工程與工程振動(dòng),1995(04).

〔2〕李杰.隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的擴(kuò)階系統(tǒng)方法[J].工程力學(xué),1996(01).

〔3〕廖松濤,李杰.隨機(jī)結(jié)構(gòu)正交展開分析的Ritz動(dòng)力聚縮法[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào),2002(01).

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〔6〕孫曉娟,徐偉,馬少娟.含有界隨機(jī)參數(shù)的雙勢(shì)阱DuffingvanderPol系統(tǒng)的倍周期分岔[J].物理學(xué)報(bào),2006(02).

〔7〕馬少娟,徐偉,李偉.基于Laguerre多項(xiàng)式逼近法的隨機(jī)雙勢(shì)阱Duffing系統(tǒng)的分岔和混沌研究 [J].物理學(xué)報(bào),2006(08).

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〔9〕戎海武,徐偉,孟光,方同.諧和與隨機(jī)噪聲聯(lián)合作用下非線性非線性隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào),2001（04）.

〔10〕戎海武,徐偉,王向東,孟光,方同.窄帶噪聲作用下二自由度非線性非線性隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)[J].力學(xué)學(xué)報(bào),2001（06）.

〔11〕朱位秋,黃志龍,應(yīng)祖光.非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)與控制的哈密頓理論框架[J].力學(xué)與實(shí)踐,2002（03）.

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1673-260X（2012）05-0009-03